Уравнения потенциального движения
Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.
Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция
. (2.5)
Равенство (2.5) можно переписать в виде
(2.6)
или, учитывая закон Дарси,
. (2.7)
Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации;
gradj- градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,
;
(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты;
i, j, k , eQ , ej , er , ez - единичные вектора по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система ).
Подставляя (2.7)в (2.1) 
получим
, (2.8)
а для установившегося течения
. (2.9)
Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.
Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:
1. сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;
2. произведение частного решения на константу - также решение.
Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.
В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид
;
где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.
Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды
Общая система уравнений
В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать характерные особенности такой среды (рис.1.2):
1) такой пласт моделируется системой двух сред с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);
2) между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.
При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.
Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем
. (2.10)
Для жидкости в пористых блоках
. (2.11)
Здесь q1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма с размерностью МL-3T-1.
Будем полагать, что q1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред
q1,2=Q (j2 - j1), (2.12)
где Q - коэффициент переноса, размерности L-2.
Для чисто трещиноватого пласта считаем q1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р1=р2=р получаем
(2.13)
Для чисто трещинного пласта
. (2.14)