Теорема 1.Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.
Рассмотрим пример, к которому приложима теорема.
Фронтальные проекции q2 сферы Q и W2 эллиптического цилиндра W, имеющих общую окружность m(m2) с центром О(О2) (рис.8.36).
| 
| ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 8.36. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра | |||
Плоскость σ, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций.
Общая окружность радиуса r – это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость α которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии σ, а следовательно и П2. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П2 в виде отрезка прямой n2. Для ее построения следует воспользоваться точками А2 и В2, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.
Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.
| 
| ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 8.37 Пересечение сферы и эллиптического цилиндра имеющих две точки касания | |||
Например, по двум окружностям m и n пересекается сфера S и эллиптический цилиндр Q (рис.8.37). Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально- проецирующих плоскостях γ и δ.
Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.
| 
| ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 8.38. Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу | |||
В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра Q (рис.8.38), описанных около сферы W, будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостяхa и b), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А2В2 и С2Д2,
Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.
Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.
| 
|
| а) модель | б) эпюр |
| Рисунок 8.39. Пересечение сферы и цилиндра |
Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра Q и центром сферы S (рис.8.39). Плоскости принадлежат и симметричные сами себе точки A, B, CиD линий пересечения. Проекция же линий на фронтальную плоскость имеет форму параболы m2 и аналитически описывается формулой параболы.
Лекция №8 часть 4
Развертка поверхности. Основные свойства развертки. Развертка поверхности многогранников. Развертка цилиндрической поверхности. Развертка конической поверхности. Задание касательной плоскости на эпюре Монжа. Поверхность касательная к поверхности.
| Развертка поверхности |
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.
| Основные свойства развертки |
1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой;
2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;
3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке;
4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;
5. Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.