Эффективная ставка наращения
В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.
Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,
S = P ´ (1 + j)n = P ´ (1 + ic/m)m ´ n,
т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением
j = (1 + ic/m)m ´ n – 1.
Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.
В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид
j = (S/P)1/n – 1, (3.9)
где
P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;
S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;
n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;
T – период на котором определена эффективная ставка j.
Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P) и результирующих данных (S) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.
ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.
Решение: Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000)1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).
ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.
Решение: Первоначальную сумму обозначим как P. Наращенная сумма за пять лет S = P + I1 + I2 = P(1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P(1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P)1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).
ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.
Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S(1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S/S ´ (1 – 0,1 ´ 4))1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).
Упражнения
1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов ic = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.
2. При какой ставке сложных процентов ic деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.
3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет ? Овет: 25,84%.
4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.
5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.
6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.
7. Сумма денег инвестируется при ставке ic = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.
8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме ic = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.
9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.
10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.
11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.
12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.
13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.
14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.
15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.
16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.
ВОПРОСЫ
1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.
2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.
3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.
4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.
5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.
6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.