Оценивание случайных погрешностей прямых измерений
Оценивание систематических погрешностей результата прямых измерений на основе класса точности средств измерений
Погрешности, вносимые в результат измерения средствами измерения, определяются классом точности СИ.
Класс точности СИ – это обобщенная характеристика, выражаемая пределами допускаемых погрешностей.
Классы точности конкретного типа СИ устанавливают в нормативной документации. Класс точности (предел допускаемой погрешности) может быть также нанесен на лицевую панель прибора. В зависимости от типа СИ пределы допускаемых погрешностей СИ выражаются по-разному.
1) класс точности выражен числом в кружке:
Это означает, что предел допускаемой относительной погрешности для любого измеренного значения в пределах шкалы равен 1,5 % ( = 1,5%). Учитывая формулу (4), найдем абсолютную погрешность:
2) Класс точности выражен числом без кружка: 0,5.
Это означает, что предел допускаемой приведенной погрешности равен 0,5 ( = 0.5%). Тогда абсолютная погрешность определиться из формулы (5):
3) Класс точности выражен дробью c/d (0,02/0,01). Это означает, что относительная погрешность определяется формулой:
(6)
После вычисления относительной погрешности, легко определить абсолютную погрешность по формуле (4).
Пример №1
Милливольтметром В3-38 измерялось напряжение переменного тока. В нормальных условиях получено значение 100 мВ, на поддиапазоне 0 - 300 мВ. В паспорте прибора указано: предел допускаемой основной погрешности в процентах от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен 2,5% на поддиапазоне измерений от 0 до 300 мВ.
Решение:
Приведенная погрешность = 2,5% , 
= 300 мВ, следовательно, абсолютная погрешность будет равна:
Результат измерения: U = (100,0 ± 7,5) мВ.
Оценивание систематической погрешности косвенных измерений
4.1 Пусть решается задача измерения некоторой величиныy, которая является функцией суммы n аргументов:
(7)
И пусть при измерении величин 
присутствуют только систематические погрешности: 
.
Абсолютную погрешность косвенного измерения можно записать в виде:
(8) 
В тех случаях, когда нужно определить возможную предельную погрешность результата измерения при n>3 применяют простое суммирование:
. (9)
Пример №2
Два резистора сопротивлениями R1=50 Ом и три резистора сопротивлениями R2=100 Ом соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны R1 = ±1 Ом и R2 = ±2 Ом. Определить сопротивление цепи и его погрешность.
Решение:
Общее сопротивление вычисляется по формуле:
R=2R1+3R2=250+3100=400 Ом.
Определим максимальную абсолютную погрешность, учитывая, что n>3:
R=R1+R1+R2+R2+R2=2R1+3R2=±(21+32)= ±8 Ом.
Результат измерения: R = (400±8) Ом.
4.2 Пусть функция выражается в виде произведения сомножителей:
, (10)
где c, , , – любые положительные или отрицательные константы.
В этом случае вычисляется сначала относительная погрешность:
. (11)
Прологарифмируем функцию (10), (логарифм произведения равен сумме логарифмов):
(12)
Продифференцируем выражение (12), заменяя dx и dy на x и y:
(13)
Зная относительную погрешность, легко определить абсолютную:
(14)
Пример №3
Два резистора R1 = 100 Ом и R2 = 200 Ом соединены параллельно. Их систематические погрешности равны R1 = ±1 Ом и R2 = ±2 Ом. Найти сопротивление цепи и оценить его погрешность.
Решение:
Сопротивление цепи R вычисляется по формуле:
Ом
Максимальная возможная относительная погрешность согласно (13) определяется:
%
Абсолютная погрешность:
Ом
Результат измерения: R = (66,7±2,0) Ом
Оценивание случайных погрешностей прямых измерений
Из-за влияния на средство измерений помех различного происхождения (изменение температуры окружающей среды, электромагнитных полей, вибраций, изменения частоты и амплитуды сетевого напряжения, изменения атмосферного давления, влажности и т.д.), результаты повторных измерений одной и той же физической величины (особенно ее малых значений) будут в большей или меньшей степени отличаться друг от друга. Результат измерений является случайной величиной, которая характеризуется наиболее вероятным значением и разбросом (рассеянием) результатов повторных измерений вблизи наиболее вероятного значения. Если при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерений не отличаются друг от друга, то это означает, что случайная составляющая погрешности измерений является несущественной и ею можно пренебречь. При этом неисключенную систематическую погрешность результата измерений оценивают по величине пределов допускаемых погрешностей применяемых средств измерений. Если же при повторных измерениях одной и той же величины наблюдается разброс показаний, то это означает, что наряду с большей или меньшей неисключенной систематической погрешностью, имеет место и случайная погрешность, принимающая при повторных измерениях различные значения.
Пусть получен ряд из n измеренных значений величины x:
(15)
При многократных измерениях за результат измерения принимается среднее значение измеряемой величины:
, (16)
где: xi – результат i – го измерения;
n – число проведенных измерений в данной серии измерений.
Затем находят оценку среднеквадратического отклонения 
наблюдений, характеризующую степень рассеяния результатов отдельных наблюдений вблизи 
, по формуле:
, (17)
где 
- отклонение результатов отдельных измерений xi от оценки среднего значения.
Точность оценки наиболее вероятного значения измеряемой величины зависит от числа наблюдений 
. Нетрудно убедиться в том, что результаты нескольких оценок по одному и тому же числу отдельных измерений будут отличаться. Таким образом, сама оценка также является случайной величиной. В связи с этим вычисляется оценка среднеквадратического отклонения результата измерения , которую обозначают 
. Эта оценка характеризует степень разброса значений по отношению к истинному значению результата, т.е. характеризует точность результата, полученного усреднением результата многократных измерений. Для различных она определяется по формуле:
. (18)
Следовательно, точность результата многократных измерений увеличивается с ростом числа последних.
Случайная погрешность оценивается доверительным интервалом:
, (19)
где 
- коэффициент Стьюдента.