Линейный коэффициент вариации
Тема: Обобщающие статистические показатели.
Средние величины.
Задача 1
По торговой фирме имеются следующие данные за отчётный период:
| № предприятия | Численность работников, чел. | Прибыль, тыс. руб. | Выработка в расчёте на одного работника, тыс. руб. | Рентабельность, % |
| 15,2 | ||||
| 18,4 | ||||
| 12,0 |
Определить по фирме в целом:
а) среднюю численность работников и среднюю прибыль в расчёте на одно предприятие;
б) среднюю выработку одного работника;
в) средний уровень рентабельности, учитывая, что рентабельность = прибыль / издержки
Решение
Среднюю численность работников и среднюю прибыль определяется по формуле средней арифметической простой, так как индивидуальные значения «осредняемого» признака являются абсолютными величинами, и данные не сгруппированы:
,
=380 (чел.)
где 
– индивидуальные значения признака (численность работников или прибыль);
n – число единиц совокупности.
Средняя выработка одного работника рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:
.
15,8 (тыс. руб.)
В данном случае речь идёт об исчислении средней из средних величин. При этом в расчёте применяется формула взвешенной средней, поскольку имеется возможность использовать при расчёте «веса» :
– выработка одного работника на каждом предприятии;
– численность работников на каждом предприятии (статистический вес);
– общий объём произведённой продукции в стоимостном выражении по предприятиям.
Средний уровень рентабельности рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:
,
15,1(%)
где 
– прибыль;
– рентабельность;
– издержки.
В данном случае речь идёт о расчёте средней из относительных величин.Любая относительная величина получается в результате соотношения двух величин:
,
где 
Гармоническая средняя применяется в том случае, если отсутствует величина, стоящая в знаменателе исходного отношения. В данном примере расчёт среднего уровня рентабельности по совокупности предприятий сводится к отношению суммарной прибыли к суммарным издержкам. Формула средней гармонической взвешенной позволяет получить в знаменателе недостающую величину издержек 
и определить значение средней. Рассчитанная средняя имеет ту же форму выражения и те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака. Уровни рентабельности по предприятиям взяты для расчёта в процентах. Поэтому значение средней также выражено в процентах.
Приложение 4
Таблица - Показатели деятельности предприятий за отчётный период
| № предприятия | Численность работников, чел. | Прибыль, тыс. руб. | Выработка в расчёте на одного работника, тыс. руб. | Рентабельность, % |
| 15,0 | ||||
| 19,4 | ||||
| 12,2 | ||||
| 14,8 | ||||
| 18,6 | ||||
| 12,9 | ||||
| 15,4 | ||||
| 19,5 | ||||
| 12,1 | ||||
| 15,7 | ||||
| 19,8 | ||||
| 11,8 | ||||
| 16,0 | ||||
| 17,4 | ||||
| 15,1 |
Варианты заданий:
| № варианта | №№ предприятий | № варианта | №№ предприятий | 15,2 | |
| 1,2,3 | 1,3,5 | 18,4 | |||
| 2,3,4 | 2,4,6 | 12,0 | |||
| 3,4,5 | 3,5,7 | ||||
| 4,5,6 | 4,6,8 | ||||
| 5,6,7 | 5,7,9 | ||||
| 6,7,8 | 6,8,10 | ||||
| 7,8,9 | 7,9,11 | ||||
| 8,9,10 | 8,10,12 | ||||
| 9,10,11 | 9,11,13 | ||||
| 10,11,12 | 10,12,15 | ||||
| 11,12,13 | 1,4,7 | ||||
| 12,13,14 | 2,5,8 | ||||
| 13,14,15 | - | - |
Задача 2.
Распределение предприятий отрасли по размеру прибыли характеризуется следующими данными:
Таблица 1 – Распределение малых предприятий по размеру прибыли
| Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий |
| До 500 | |
| 500 - 1000 | |
| 1000 - 1500 | |
| 1500 - 2000 | |
| 2000 и более |
Определите:
1) средний размер прибыли в расчёте на одно предприятие по формуле средней арифметической;
2) моду и медиану.
Решение.
Для определения среднего размера прибыли по совокупности предприятий на основе интервального вариационного ряда распределения используем формулу средней арифметической взвешенной:
;
где 
- индивидуальные значения признака,
- частоты
В качестве индивидуальных значений признака можно взять середины интервалов.
Середина интервала определяется как полусумма верхней и нижней границы интервала. В случае открытых интервалов, их границы определяются условно (разъяснения по расчёту содержатся в материале лекции по соответствующей теме).
Частотами являются данные о числе предприятий по интервалам.
В данной задаче имеются открытые интервалы. Размер интервала внутри ряда равен 500 тыс. руб. Можно предположить, что размеры начального и конечного интервала равны такой же величине. Исходя из такого предположения, легко определить неизвестные границы. Ряд распределения с закрытыми интервалами представлен в таблице 2
Расчётные данные необходимо представить в таблице в Word:
Таблица 2–Расчётные данные для определения средней арифметической, моды и медианы
| Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий (частота),
| Середины интервалов,
| 
| Накопленные частоты |
| 0 - 500 | ||||
| 500 - 1000 | ||||
| 1000 - 1500 | ||||
| 1500 - 2000 | ||||
| 2000 -2500 | ||||
| Итого | х | х |
(тыс. руб.)
Средний размер прибыли по совокупности предприятий составил 1млн. 65 тыс. руб.
Мода и медианаотносятся к структурным средним, представляющим собой характеристики вариационных рядов распределения.
Мода – значение признака, имеющее наибольшую частоту.
Вычисление моды в интервальных вариационных рядах распределения производится о формуле:
(1.1)
где
- нижняя граница модального интервала;
- величина интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту.
В ряду распределения предприятий по прибыли модальным является второй интервал (прибыль от 500 до 1000 руб.), т. к. в этот интервал попадает наибольшее число предприятий – 35.
(тыс. руб.)
Медианой является значение, стоящее в середине ранжированного ряда распределения. Ранжированный ряд – это ряд, в котором значения признака расположены в порядке их возрастания ( или убывания).
В интервальных вариационных рядах распределения медиана определяется по формуле:
(1.3)
где, - нижняя граница медианного интервала;
- величина медианного интервала;
- половина суммы частот ряда;
-ь накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
- частота медианного интервала.
Для нахождения медианного интервала необходимо определить накопленные частоты (последняя графа в таблице 1.1)
Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или впервые превышает половину суммы частот ряда.
В данном случае, медианным является второй интервал, накопленная частота которого равна 50.
(тыс. руб..)
Таким образом, 
900 < 1000 < 1065.
Различные виды средних дают разные результаты. В данном случае, наименьшее значение средней даёт мода, а наибольшее – средняя арифметическая.
Соотношение между данными видами средних величин говорит о характере (форме) распределения признака, и о симметричности (асимметричности) распределения.
Если распределение признака по форме близко нормальному закону, то медиана находится между модой и средней арифметической. Можно сделать вывод о том, что распределение размера прибыли по совокупности предприятий близко к закону нормального распределения.
При правосторонней асимметрии
при левосторонней асимметрии 
Распределение прибыли по совокупности предприятий характеризуется правосторонней асимметрией.
Сопоставление значений моды и средней арифметической позволяет получить показатель асимметрии (коэффициент асимметрии
К. Пирсона) по формуле:
,
где 
- среднее квадратическое отклонение (один из показателей вариации).
Расчёт показателей вариации и коэффициента асимметрии представлен в следующей задаче.
Порядок расчётов в Excel.
Для определения среднего размера прибыли по формуле средней арифметической взвешенной необходимо ввести данные в программе Excel в диапазоне А1:D7.
В ячейке D8 посчитываем сумму в диапазоне (D3:D7)
В ячейку Е3 вводим формулу =(В3+С3)/2 и протягиваем маркером заполнения вниз до Е7.
В ячейку F3 вводим формулу =Е3*D3 и протягиваем маркером заполнения вниз до F7.
В ячейке F8 подсчитываем сумму значений в диапазоне (F3:F7).
В ячейку F9 вводим формулу=F8/D8.
Получаем значение средней 
| А | В | С | D | Е | F | |
| № интервала | Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий | Середина интервала | Произведение середины интервала на частоту | ||
| 
| |||||
Для интервального ряда распределения с равными интервалами значение моды можно вычислить по интерполяционной (адаптированной) формуле:
Необходимо продолжить работу с данными в диапазоне А1:D7 (открыть следующий лист)
В ячейку Е3 ввести формулу=С3-В3 и протянуть маркером заполнения вниз до ячейки Е7. Получим величину интервала.
| А | В | С | D | Е | |
| № интервала | Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий | Величина интервала | ||
|
|
| ||||
Для расчёта моды в ячейку С8 вводится формула:
=В4+Е4*(D4-D3)/(D4-D3+D4-D5)
Получим значение моды 900.
Для нахождения медианы сначала определяют номер медианы как полусумму частот ряда
Затем отсчитывают накопленные частоты и находят интервал, для которого сумма накопленных частот не меньше номера медианы. Медиана определяется по адаптированной формуле:
Исходные данные ранее уже введены
В ячейке D8 подсчитываем сумму в диапазоне (D3:D7)
В ячейку F3 вводим формулу =D3, а в ячейку F4 формулу =F3+D4
Затем ячейку F4 протягиваем маркером заполнения вниз до F7.
Медианным является интервал №2.
| А | В | С | D | Е | F | |
| № интервала | Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий | Величина интервала | Накопленная частота | ||
|
|
| |||||
В ячейку D9 вводим формулу =D8/2
В ячейку С10 вводим формулу = B4+E4*(D9-F3)/D4
Получим значение медианы 
1000.
Задача 3
Проанализировать вариацию прибыли по совокупности предприятий с помощью системы показателей вариации.
Таблица 3 – Исходные и расчётные данные для определения средней и показателей вариации
| Прибыль, тыс. руб. | Число предприятий (частота),
| Расчётные величины | |||
середины интерва
лов
|
|
|
| ||
| 0 - 500 | |||||
| 500 - 1000 | |||||
| 1000 - 1500 | |||||
| 1500 - 2000 | |||||
| 2000 -2500 | |||||
| Итого |
Для анализа вариации признаков используются абсолютные и относительные показатели вариации.
1. Размах вариации:
3.1
где, 
- максимальное значение признака,
- минимальное значение признака.
Показатель может быть определён исходя из середин интервалов
2. Среднее линейное отклонение :
(3.2)
Для этого в таблицу необходимо внести дополнительные расчётные величины:
- отклонения от общей средней,
- взвешенное отклонение от средней (модуль отклонений)
3. Дисперсия:
(3.3)
где, - взвешенный квадрат отклонений от средней (последняя графа таблицы 1)
4. Среднее квадратическое отклонение:
(3.4)
5. Относительные показатели вариации:
а) коэффициент вариации,
б) линейный коэффициент вариации,
в) коэффициент осцилляции.
Коэффициент вариации
, (3.5)
- в данном случае общая средняя - 
.
Коэффициент вариации служит критерием однородности совокупности по данному признаку. Считается, что если 
не превышает по величине 33%, то совокупность (группу) можно считать однородной.
Линейный коэффициент вариации
(3.6)
Коэффициент осцилляции
(3.7)
Графически дискретные вариационные ряды распределения изображаются в виде полигона распределения, интервальные ряды распределения – в виде гистограммы. Поскольку, в данной задаче интервальный ряд распределения преобразован в дискретный ряд (рассчитаны середины интервалов), гистограмму и полигон распределения можно представить на одном графике.
Порядок работы в Excel.
Для вычисления показателей вариации необходимо взять исходные и расчётные данные, используемые для расчёта среднего значения признака по формуле средней арифметической (данные таблицы Excel в диапазоне А1: F9).
1. Определяем отклонения отдельных значений признака (середин интервалов) от общей средней величины.
Для этого в ячейку G3вводим формулу = Е3-F|9 (использовать функциональную клавишу F4) . Затем ячейку G3 протягиваем маркером заполнения вниз до G7.
2. Определяем абсолютные отклонения от общей средней, для чего с помощью Мастера функций в ячейке Н3 получаем абсолютное значение ячейки G3 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем АВС: число G3). Затем ячейку H3 протягиваем маркером заполнения вниз до H7 .
3.Определяем взвешенные отклонения от общей средней. Для этого в ячейку I3 вводим формулу = Н3*D3. Затем ячейку I3 протягиваем маркером заполнения вниз до I7. В ячейке I8 получаем сумму рассчитанных значений.
4. Определяем среднее линейное отклонение, для чего в ячейку I9 вводим формулу = I8/D8.
Получаем значение 
=465
5. Определяем квадраты отклонений от общей средней.
Для этого с помощью Мастера функций в ячейке J3 получаем квадрат значения ячейки G3 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем степень: число G3степень 2). Затем ячейку J3 протягиваем маркером заполнения вниз до J7 .
6. Определяем взвешенные квадраты отклонений от общей средней. Для этого в ячейку K3 вводим функцию = J3*D3. Затем ячейку K3 протягиваем маркером заполнения вниз до K7.
В ячейке K8 получаем сумму рассчитанных значений.
7. Определяем дисперсию, для чего в ячейку K9 вводим функцию = K8/D8.
Получаем значение 
= 313275
6. Определяем среднее квадратическое отклонение. Для этого с помощью Мастера функций в ячейке K10 получаем квадратный корень значения ячейки K9 (на панели формулы выбираем вставить функцию: математическую, выбираем корень: число K9).
Получаем значение 
= 559,7097
560
Порядок вычисления средней арифметической, моды и медианы необходимо представить в таблице 2 Word, показателей вариации - в таблице 3.
В заключении необходимо рассчитать коэффициент асимметрии и сформулировать выводы.
Варианты заданий для задач № 2 и № 3:
Таблица 1 – Распределение малых предприятий по размеру прибыли
| Прибыль, тыс. руб. | Номера вариантов по числу предприятий | |||||||||
| До 1000 | ||||||||||
| 1000 - 1500 | ||||||||||
| 1500 - 2000 | ||||||||||
| 2000 - 2500 | ||||||||||
| 2500 и более |
Таблица 2 – Распределение магазинов по стоимости основных фондов
| Основные фонды, млн. руб. | Номера вариантов по числу магазинов | |||||||||
| 2,2 – 3,7 | ||||||||||
| 3,7 – 5,2 | ||||||||||
| 5,2 – 6,7 | ||||||||||
| 6,7 – 8,2 | ||||||||||
| 8,2 – 9,7 |
Таблица 3 – Распределение по размеру товарооборота
| Товарооборот, млн. руб. | Номера вариантов по числу магазинов | |||||||||
| 50 - 100 | ||||||||||
| 100 - 150 | ||||||||||
| 150 - 200 | ||||||||||
| 200 - 250 | ||||||||||
| 250 - 300 |