Геометрической вероятности 2 страница

Указание. Применить формулу 1.12.

Ответ: .

Вариант 23. Имеются десять одинаковых ящиков. В девяти из них находятся по два чёрных и по два белых шара, а в одном пять белых и один чёрный шар. Из случайно выбранного ящика извлечён белый шар. Какова вероятность, что этот шар выбран из ящика с пятью белыми шарами?

Указание. Применить формулу 1.12.

Ответ: .

Вариант 24. В магазине имеются книги по программированию и математике. Вероятность того, что любой покупатель возьмёт книгу по программированию, равна 0,7, а по математике – 0,3. Определить вероятность того, что пять покупателей подряд возьмут книги или только по программированию, или только по математике, если каждый из них покупает только одну книгу.

Указание. Применить формулу 1.13.

Ответ: .

Вариант 25. Пять электрических лампочек включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при скачке напряжения в сети произойдёт обрыв цепи, если вероятность выхода из строя любой лампочки одинакова и равна 0,95.

Указание. Применить формулу 1.15.

Ответ: .

Вариант 26. Вероятность того, что лампа остаётся исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трёх ламп остаётся исправной после 1000 часов Работы?

Указание. Применить формулу 1.15.

Ответ: .

Вариант 27. Аппаратура содержит 2000 одинаково надёжных элементов, вероятность отказа для каждого из них равна . Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

Указание. Применить формулу 1.18.

Ответ: .

Вариант 28. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна . Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытание.

Указание. Использовать формулу 1.18.

Ответ: .

Вариант 29. Производится 60 опытов в одинаковых условиях. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в большинстве опытов.

Указание. Использовать формулу 1.17.

Ответ: .

Вариант 30. Вероятность выхода из строя за 1000 часов одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение 1000 часов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.

Указание. Использовать формулу 1.17.

Ответ: .

Глава II

Случайные величины

Дискретная случайная величина имеет конечное или счётное множество значений. Каждое значение дискретная случайная величина принимает с некоторой вероятностью , при этом выполняется равенство:

. (2.1)

В отличие от дискретной величины непрерывная случайная величина может принимать любые числовые значения в заданном интервале. Для математического исследования непрерывных случайных величин вводят функцию распределения:

. (2.2)

Для функции распределения (2.2) характерны следующие свойства:

, если , (2.3)

, , (2.4)

. (2.5)

Первая производная от функции распределения называется плотностью вероятности и обозначается :

. (2.6)

Справедлива следующая формула, которая следует из (2.4), (2.6):

. (2.7)

Пример 2.1.

Из партии, состоящей из 100 изделий, среди которых имеется 10 бракованных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки качества. Построить распределение числа бракованных изделий в выборке.

Решение:

Количество бракованных изделий – дискретная случайная величина, имеющая шесть значений:

.

Применяя методы главы I нетрудно подсчитать вероятность каждого из этих значений:

.

В результате расчётов по этой формуле с точностью до получим распределение .

	0,583	0,34	0,07	0,007

Пример 2.2.

Пусть функция распределения некоторой непрерывной случайной величины имеет вид:

.

Определить в этих условиях значение неизвестных постоянных .

Решение:

Для решения этой задачи используем свойство функции распределения (2.4):

, .

Для вычисления этих пределов используем свойства функции :

, .

На основании этого определяем значения :

,

.

Окончательно получаем:

.

Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

К основным числовым характеристикам случайных величин относят математическое ожидание , дисперсию , а также среднеквадратическое отклонение .

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется формулой:

. (2.8)

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

. (2.9)

Из формулы (2.9) можно получить удобную для расчётов формулу:

, (2.10)

где .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:

, (2.11)

. (2.12)

В формулах (2.11), (2.12) интегрирование проводится по множеству , где .

Пример 2.3.

Бросается игральный кубик. Если выпадает чётное число очков, то игрок получает от количество рублей равное числу выпавших очков. Если выпадает нечётное количество очков, то игрок получает от такое же количество рублей. Определить средний выигрыш каждого игрока.

Решение:

Составим распределения для игроков и .

Игрок А

	–1		–3		–5
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Игрок B

		–2		–4		–6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Определим математические ожидания игроков и :

,

.

Как видно из этих расчётов данная игра является проигрышной для игрока .

Пример 2.4.

Функция распределения случайной величины имеет вид:

Из условия непрерывности определить постоянные и . Найти плотность вероятности , , и .

Решение:

Из условия непрерывности получаем серию выкладок:

,

,

.

Решая эту систему определяем , .

По формуле (2.6) определяем :

Далее, по формулам (2.11), (2.12) рассчитаем и :

,

Последний интеграл равен половине площади круга радиуса единица.

.

Нормальная случайная величина имеет плотность вероятности, выражаемую формулой:

, (2.13)

где , .

Справедлива следующая основная формула для расчётов вероятностей, связанных с нормальной величиной:

, (2.14)

где (функция Лапласа).

Для расчётов по формуле (2.14) можно использовать таблицу 3, помещённую в конце пособия.

Задача №2

Дискретная случайная величина, её распределение и числовые характеристики.

Вариант 1. Опыт состоит из трёх независимых бросаний монеты. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения и вычислить , и .

Вариант 2. Производится стрельба по мишени до первого попадания либо до полного израсходования патронов, число которых равно пяти. Построить распределение случайного числа выстрелов. Определить , и . Вероятность промаха .

Вариант 3. Опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов ряд распределения, , и . Вероятность успеха .

Вариант 4. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадёт. Построить ряд распределения случайного числа бросков для каждого баскетболиста, если вероятность промаха для первого 0,25, а для второго 0,3. Определить среднее число бросков для каждого баскетболиста.

Вариант 5. Мишень состоит из круга №1 и двух колец №2 и №3. Попадание в круг №1 даёт 10 очков, в кольцо №2 – 5 очков, в кольцо №3 – минус 1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и кольца №2 и №3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Определить среднее число полученных очков при трёх выстрелах.

Вариант 6. Испытуемый прибор состоит из трёх элементов. Отказы элементов независимы, а вероятности их элементов с номером равны: . Определить средне число отказавших элементов.

Вариант 7. Определить среднее число приборов, отказавших во время испытания. Вероятность отказа у всех одинакова и равна 0,15. Число приборов .

Вариант 8. Автоматическая линия может выпускать бракованное изделие с вероятностью 0,05. Переналадка линии производится сразу после появления брака. Найти среднее число изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

Вариант 9. Случайная величина имеет следующее распределение:

						…
						…

Определить , , и .

Вариант 10. Случайная величина может получать любые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии так, чтобы .

Вариант 11. Из ящика с 3 белыми и 2 чёрными шарами извлекают с возвращением шары до тех пор, пока не появится белый шар. Каково среднее число вынутых чёрных шаров?

Вариант 12. Бросается кубик. Если в бросаниях выпалов чётное число очков, а в бросании нечётное число очков, то игрок получает от рублей. Если же , то платит один рубль. Определить выигрыш игрока .

Вариант 13. Реле состоит из элементов , и , собранных по схеме.

Вероятности отказов элементов , и равны соответственно: 0,12; 0,13; 0,17. Реле испытывают до первого отказа. Каково в этих условиях среднее число безотказных срабатываний?

Вариант 14. Из урны с 4 белыми и 3 чёрными шарами извлекают с возвращением шары до появления чёрного шара. Составить ряд распределения для случайного числа белых шаров . Определить .

Вариант 15. Величина имеет распределение:

				…
				…

Определить и по условию .

Вариант 16. Мишень состоит из центрального круга (10 очков) и концентрических колец №1 (5 очков), №2 (1 очко) и №3 (–12 очков). Вероятности попадания в эти объекты равны соответственно 0,5; 0,3; 0,15; 0,05. Найти среднее количество очков и среднеквадратическое отклонение .

Вариант 17. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность промаха для первого 0,15, для второго 0,17. Какой стрелок в среднем произведёт больше выстрелов?

Вариант 18. Бросается игральный кубик. Если число очков не превосходит 4 игрок получает от игрока 3 рубля, в противном случае платит рублей. Определить из условия безобидности данной игры. Какова при этом дисперсия выигрыша игрока ?

Вариант 19. Бросается игральный кубик. Если выпадает 1 очко игрок платит игроку рублей. При выпадении 6 очков игрок получает от 5 рублей. В остальных случаях игрок получает от рублей. Определить из условия безобидности данной игры. Чему равно среднеквадратическое отклонение выигрыша игрока ?

Вариант 20. Реле состоит из одинаковых элементов , собранных по схеме.

Вероятность отказа элемента равна 0,005. Реле испытывают до первого отказа. Время испытания сек. Определить срок службы реле.

Вариант 21. Случайная величина задана распределением:

Определить и , если известно, что .

Вариант 22. Случайная величина имеет распределение:

Определить и , если известно, что .

• ⇐ Назад
• 123
• 4
• 5
• 6
• 7
• Далее ⇒