преобразование и построение Матриц
Пример 1.
Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы строятся по следующей формуле 
, где область указана рисунке.
В задачах о выделении областей в матрицах необходимо научиться записывать уравнения изменения индексов при движении по линиям, параллельным главной диагонали, и по линиям, перпендикулярным диагонали.
Запишем уравнение линий (1) и (2), проходящих через фиксированную точку (i,j). Пусть изменяемые индексы – l и k. Тогда уравнение прямой (1) (см. рис.1) имеет вид: l = j – i + k, а прямая (2) описывается соотношением: l = j + i - k. Области изменения индексов показаны на рисунке. Если необходимо описать заштрихованную область, то это следует делать так, как это делается при описании областей на плоскости. Легко видеть, что индекс k изменяется в пределах от 1 до i. Индекс l удовлетворяет неравенству 1 £ l £ n. Область выше линии (1) описывается неравенством l > j – i + k, а область выше линии (2) - l < j + i - k. Так как указанная область является пересечением указанных областей, то все перечисленные выше неравенства следует соединять в логическом выражении союзом «и». Таким образом, при построении матрицы В следует воспользоваться четырьмя вложенными циклами, где два внешних описывают индексы матрицы В, то есть изменяются от 1 до n. Что касается двух внутренних циклов, то индекс k изменяется от 1 до i, а индекс l изменяется в пределах от прямой (1) до прямой (2). Ограничения 0 и n следует внести в условие оператора if. Схематически структуру циклов можно изобразить так:
i =1 ¸ n
j =1 ¸ n
k = 1 ¸ i
l = j – i + k ¸ j + i – k
1 £ l £ n
Конец цикла по l
Конец цикла по k
Конец цикла по j
Конец цикла по i
Программа решения этой задачи и результаты ее выполнения представлены ниже.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define m 6
void main()
{ int i,j,k,l,n;
float a[m][m],b[m][m];
clrscr();
gotoxy(5,5); printf("ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ");
gotoxy(5,6); printf(" b(i,j)=max a(k,l), k,l принадлежат");
gotoxy(9,7); printf(" заштрихованной области");
gotoxy(35,10); printf("┌ ┐");
gotoxy(35,11); printf("│ * * * * * * * * * * * * * │");
gotoxy(35,12); printf("│ * * * * * * * * * * * * │");
gotoxy(35,13); printf("│ * * * * * * * * * * * │");
gotoxy(35,14); printf("│ * * * * * * * * * │");
gotoxy(35,15); printf("│ * * * * * * * │");
gotoxy(35,16); printf("│ * * * * * │");
gotoxy(35,17); printf("│ * * * │");
gotoxy(35,18); printf("│ * │");
gotoxy(35,19); printf("│ │");
gotoxy(35,20); printf("│ │");
gotoxy(35,21); printf("│ │");
gotoxy(35,22); printf("└ ┘");
getchar();clrscr();
do{
printf("\n\nВведите размерность матрицы <=%d ",m);
scanf("%d",&n);
}while(!(n>0 && n<=m));clrscr();
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++){
printf("Введите a(%d,%d)=",i,j);scanf("%f",&a[i-1][j-1]);
}
clrscr();
printf("ИСХОДНАЯ МАТРИЦА\n");
for (i=1;i<=n;i++){
for (j=1;j<=n;j++)
printf("%7.2f",a[i-1][j-1]);
printf("\n");
}
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++){
b[i-1][j-1]=-1.e20;
for (k=1;k<=n;k++)
for (l=j-i+k;l<=j+i-k;l++)
if (l>=1 && l<=n && a[k-1][l-1]>b[i-1][j-1])
b[i-1][j-1]=a[k-1][l-1];
}
printf("ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА\n");
for (i=1;i<=n;i++){
for (j=1;j<=n;j++)
printf("%7.2f",b[i-1][j-1]);
printf("\n");
}
getchar();getchar();
}
При выполнении данной программы на экране монитора будет выведено следующее:
ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ
b(i,j)=max a(k,l), k,l
принадлежат заштрихованной области
┌ ┐
│* * * * * * * * * * * * * │
│ * * * * * * * * * * * * │
│ * * * * * * * * * * * │
│ * * * * * * * * * │
│ * * * * * * * │
│ * * * * * │
│ * * * │
│ * │
│ │
│ │
│ │
└ ┘
Введите размерность матрицы <=6 4
Введите a(1,1)= 1.00
Введите a(1,2)= 4.00
Введите a(1,3)= 2.00
Введите a(1,4)= -3.60
Введите a(2,1)= 8.90
Введите a(2,2)= -22.10
Введите a(2,3)= 5.00
Введите a(2,4)= 0.78
Введите a(3,1)= -3.45
Введите a(3,2)= 2.40
Введите a(3,3)= 9.80
Введите a(3,4)= 6.12
Введите a(4,1)= -23.50
Введите a(4,2)= 1.00
Введите a(4,3)= 7.00
Введите a(4,4)= 89.00
ИСХОДНАЯ МАТРИЦА
1.00 4.00 2.00 -3.60
8.90 -22.10 5.00 0.78
-3.45 2.40 9.80 6.12
-23.50 1.00 7.00 89.00
ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА
1.00 4.00 2.00 -3.60
8.90 4.00 5.00 2.00
8.90 8.90 9.80 6.12
8.90 9.80 9.80 89.00
Пример 2.
Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы строятся по следующей формуле 
, где область указана рисунке. Область в этом случае следует описать сначала по l, так как этот индекс изменяется в пределах от j до n. Следовательно, внутренние циклы будут: сначала по l от j до n, а затем цикл по k от j+i-l до l-j+i. Так как ищется минимум, то начальное значение следует выбрать достаточно большим. Текст программы и результаты ее работы представлены ниже.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define m 6
void main()
{ int i,j,k,l,n;
float a[m][m],b[m][m];
clrscr();
gotoxy(5,5);
printf("ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ");
gotoxy(5,6);
printf(" b(i,j)=min a(k,l), k,l принадлежат");
gotoxy(9,7);
printf(" заштрихованной области");
gotoxy(35,10); printf("┌ ┐");
gotoxy(35,11); printf("│ │");
gotoxy(35,12); printf("│ * │");
gotoxy(35,13); printf("│ * * │");
gotoxy(35,14); printf("│ * * * │");
gotoxy(35,15); printf("│ * * * * │");
gotoxy(35,16); printf("│ * * * * * │");
gotoxy(35,17); printf("│ * * * * * * │");
gotoxy(35,18); printf("│ * * * * * │");
gotoxy(35,19); printf("│ * * * * │");
gotoxy(35,20); printf("│ * * * │");
gotoxy(35,21); printf("│ * * │");
gotoxy(35,22); printf("│ * │");
gotoxy(35,23); printf("└ ┘");
getchar();clrscr();
do{
printf("\n\nВведите размерность матрицы <=%d ",m);
scanf("%d",&n);
}while(!(n>0 && n<=m));clrscr();
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++){
printf("Введите a(%d,%d)=",i,j);scanf("%f",&a[i-1][j-1]);
}
clrscr();
printf("ИСХОДНАЯ МАТРИЦА\n");
for (i=1;i<=n;i++){
for (j=1;j<=n;j++)
printf("%7.2f",a[i-1][j-1]);
printf("\n"); }
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++){
b[i-1][j-1]=1.e20;
for (l=j;l<=n;l++)
for (k=j+i-l;k<=l-j+i;k++)
if (k>=1 && k<=n && a[k-1][l-1]<b[i-1][j-1])
b[i-1][j-1]=a[k-1][l-1]; }
printf("ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА\n");
for (i=1;i<=n;i++){
for (j=1;j<=n;j++)
printf("%7.2f",b[i-1][j-1]);
printf("\n"); }
getchar();getchar();}
При выполнении данной программы на экране монитора будет выведено следующее:
ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ
b(i,j)=min a(k,l), k,l принадлежат заштрихованной области
┌ ┐
│ │
│ * │
│ * * │
│ * * * │
│ * * * * │
│ * * * * * │
│ * * * * * * │
│ * * * * * │
│ * * * * │
│ * * * │
│ * * │
│ * │
└ ┘
Введите размерность матрицы <=6 4
Введите a(1,1)= 2.50
Введите a(1,2)= 3.80
Введите a(1,3)=-2.28
Введите a(1,4)= 4.00
Введите a(2,1)= 6.21
Введите a(2,2)= 9.80
Введите a(2,3)=-3.54
Введите a(2,4)= 6.00
Введите a(3,1)= 1.34
Введите a(3,2)= 6.80
Введите a(3,3)=-2.13
Введите a(3,4)= 5.00
Введите a(4,1)= 4.00
Введите a(4,2)= 8.12
Введите a(4,3)= 5.00
Введите a(4,4)= 3.00
ИСХОДНАЯ МАТРИЦА
2.50 3.80 -2.28 4.00
6.21 9.80 -3.54 6.00
1.34 6.80 -2.13 5.00
4.00 8.12 5.00 3.00
ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА
-3.54 -3.54 -2.28 4.00
-3.54 -3.54 -3.54 6.00
-3.54 -3.54 -2.13 5.00
-3.54 -2.13 3.00 3.00
Пример 3. Дан одномерный массив целых чисел Р размерностью 64. Получить квадратную матрицу порядка 8 ,элементами которой являются числа массива Р, расположенные в ней по схеме, приведенной на рисунке.
Эта задача решается с помощью одного основного цикла, в котором организуется управление изменением индексов в зависимости от условий размещения элементов. Для отслеживания направления движения по диагонали вводится вспомогательная переменная l. Ее значение равно 0 при движении вниз по диагонали и 1 при движении вверх.
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<conio.h>
void main()
{ clrscr();
float p[64];
float a[8][8];
int n=8,i=0,j=0,k,l=0;
for (k=0;k<n*n;k++)
p[k]=k;
for (k=0;k<n*n;k++)
{ a[i][j]=p[k];
if (j==0 && i<n-1 && l==0 )
{ i++ ;l=1; }
else if (i==0 && j<n-1 && l==1 )
{ j++; l=0;}
else if ( j==n-1 && l==1)
{ i++ ;l=0; }
else if (i==n-1 && l==0)
{ j++; l=1;}
else if (l==0)
{ i++; j--;}
else
{ i--; j++; }
}
for (i=0;i<n;i++)
{ for (j=0;j<n;j++)
printf("%3.0f ",a[i][j]);
printf ("\n");
}
}
Упражнения
1. Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы строятся по следующей формуле , где область указана рисунках 1-10.
2. Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы являются средним значением всех элементов матрицы A в заштрихованной области, где область указана рисунках 1-10.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
3. Дан одномерный массив целых чисел А размерностью 64. Получить квадратную матрицу порядка 8 ,элементами которой являются числа массива А, расположенные в ней по схемам, приведенным на рис. 11-17
11 12
 |
13 14
 |  |
15 16
 | |||
 | |||
 |
ЛИТЕРАТУРА
- Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Семон М.И. Задачи по программированию. - М.:, Наука, 1998.
- Контрольные задания по информатике для учащихся заочных подготовительных курсов. Сост. В.А.Гришагин, С.Н.Карпенко. Н.Новгород: ННГУ, 2000.-80 с.
- Сборник задач по программированию. Сост. Е.Е.Манишина, В.Г.Манишин. Н.Новгород: ННГУ, 2000.-78 с.
- Пильщиков В.Н. Сборник упражнений по языку Паскаль. - М.:, Наука, 1989.
Сборник заданий по вычислительному практикуму на языке Си.
для студентов механико-математического факультета
(специальность математика, прикладная математика, механика)
Составители
Денисов Вадим Вадимович
Маркина Марина Викторовна
Сабаева Татьяна Анатольевна
Савихин Олег Геннадиевич
___________________________________________
Подписано к печати .Формат 60´84 1/16
Печать офсетная. Бумага оберточная. Усл. печ. л.
Тираж 300 экз. Заказ .Бесплатно.
____________________________________________________
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского.
603600 ГСП-20, Н.Новгород, просп. Гагарина, 23.
___________________________________________
Типография ННГУ,603000,Н.Новгород, ул. Б. Покровская 37.
___________________________________________