Определение принадлежности точек заданным поверхностям

А) плоские кривые

Локальные свойства кривой характеризуются касательной и нормалью.

Касательной называют предельное положение секущей t (t ^/, t ^//, . . .) когда точка М₂ стремится к точке М. Нормаль – это прямая перпендикулярная касательной в данной точке (n t).

А) пространственные кривые

Локальные свойства пространственной

кривой характеризуются:

– соприкасающейся плоскостью.

M₁

M₂

– предельное положение некоторой плоскости определяемой точками M₁, M, M₂ , когда точки M₁ и М₂ стремятся к точке М (M₁M и М₂М).

– нормальной плоскостью (перпендикулярная касательной t).

– спрямляющаяся плоскость.

Нормальная плоскость перпендикулярна касательной t .

Спрямляющаяся плоскость проходит через касательную t, и перпендикулярна соприкасающейся плоскости É t,

Дифференциальные свойства пространственных кривых характеризуют:

n – нормаль кривой ;

t – касательная ;

b – бинормаль ;

Задача №1

На комплексном чертеже заданы фронтальная и горизонтальные проекции кривой f. Определить какой является кривая, плоской или пространственной.

План решения:

1. Строим прямые AC и BD пересекающие заданную кривую f.

2. Строим точки пересечения (K₁ и K₂) проекций прямых AC и BD на фронтальной и горизонтальной проекциях.

3. Так как точки пересечения K₁ и K₂ не находятся на одной линии проекционной связи, то кривая a является пространственной.

Способы задания кривых поверхностей

Поверхность – это непрерывное двухпараметрическое множество точек.

1 Задание поверхности с помощью алгебраических уравнений

В этом способе задания поверхность рассматривается как геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют определенно заданному алгебраическому уравнению. Например, точка A принадлежит поверхности сферы, если её координаты удовлетворяют алгебраическому уравнению:

2 Задание поверхности с помощью параметрических уравнений

Точка A определяется параметрическими уравнениями:

где u и v – текущие параметры.

3 Каркасно-кинематический способ

Поверхность представляется линейным каркасом, т.е. совокупностью линий, принадлежащих поверхности, имеющих единый закон образования и связанных определенной зависимостью.

Кривая l в качестве которой выступает эллипс принадлежит плоскости S ^ x , которая перемещается вдоль оси x.