Общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью.
Позиционные задачи. Пересечение поверхностей. Способ посредников. Алгоритм решения типовых задач.
Основные позиционные задачи.
Построение линии пересечения поверхности плоскостью.
Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер.
Общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью.
1. Позиционные задачи.
К позиционным задачам можно отнести две группы задач:
1. Взаимопринадлежность одного геометрического образа другому, например, построение точки или линии на плоскости или поверхности; проведение плоскости или поверхности через точку или линию;
2. Построение точек или линий пересечения прямых, плоскостей или поверхностей.
Первую группу задач мы освоили в теме прямая, плоскость и поверхность. При решении позиционных задач не учитываются метрические свойства геометрических тел, которые могут быть выявлены в результате измерения.
Начиная рассматривать вторую группу задач необходимо понять общий алгоритм ее решения. В общем случае в начертательной геометрии линия пересечения двух произвольных поверхностей находится с помощью вспомогательных секущих поверхностей. Его суть: две данные поверхности Γ и Φ пересекаются некоторой вспомогательной поверхностью (или плоскостью) α. Находятся линии пересечения m =α Χ Γ и n =α Χ Φ введенной вспомогательной поверхности α с каждой из заданных и находятся общие точки пересечения m и n. Полученные точки с учетом требуемой точности построения и видимости соединяют и получают искомую линию. Итак, алгоритм решения задач на построение линии пересечения геометрических образов заключается в следующем:
1. Выбор вспомогательной секущей поверхности. Чаще всего используют в качестве этих поверхностей либо плоскости, либо сферы. Выбирать надо такие, которые дают в сечении известные и графически простые (для построения на чертеже) линии (прямые или окружности). Причем задача упрощается, если секущая плоскость будет проецирующей. Если заданные поверхности имеют случайное расположение в системе плоскостей проекций, то для удобства решения полезно способами преобразования сделать их положение частными.
Лекция 7 -2
1. Построение опорных точек линии пересечения. Опорные точки почти всегда позволяют видеть, в каких пределах нужно применять вспомогательные поверхности для построения промежуточных точек. К опорным относятся: точки, лежащие на контурных или очерковых линиях поверхностей – они отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой; экстремальные точки – высшие и низшие, близкие и далекие; затем точки, лежащие на ребрах и линиях оснований поверхностей.
Иногда для построения опорных точек требуются дополнительные построения.
3. Построение промежуточных точек на линии пересечения данных поверхностей.
4. Проведение искомой линии пересечения с учетом ее видимости и формы, если она известна (прямая, окружность, эллипс, парабола, гипербола и т.д.).
2. Основные позиционные задачи.
Первая основная задача- построение точки пересечения прямой с плоскостью.
Для начала разберем первый частный случай: определить точку пересечения плоскости общего положения, заданного треугольником АВС, с прямой частного положения, в данном случае, горизонтально – проецирующей прямой l (Рис.1). Искомая точка пересечения будет лежать, конечно, на заданной прямой l . Ее горизонтальная проекция – след - точка, и в ней будет находиться горизонтальная проекция точки пересечения. Теперь остается только построить фронтальную проекцию этой точки, для чего надо провести через нее какую-либо прямую, например А1, принадлежащую плоскости треугольника АВС.
Второй частный случай: определить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью частного положения, например, горизонтально проецирующей α (Рис. 3). На горизонтальной проекции отмечаем точку К' пересечения горизонтальной проекции прямой n с горизонтальным следом плоскости, как единственную общую точку для прямой и плоскости. Фронтальная проекция точки К" пересечения находится по линии проекционной связи на прямой n".
l" B" 1" K" n"
K C" 
A"
α'
B'
K'=l' 1' n'
A' C' K'
Рис. 1 Рис. 2
Лекция 7 –3
Далее, разберем еще один частный пример: построить линию пересечения плоскости общего положения, заданного треугольником АВС с горизонтально - проецирующей плоскостью α (Рис. 3). Чтобы найти линию пересечения необходимо найти две общие для этих плоскостей точки. Обозначим их 1 и 2. Помня о собирательном свойстве проецирующих плоскостей (все точки и линии, принадлежащие проецирующим плоскостям, проецируются на горизонтальный след плоскости, если она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции и на фронтальный, если она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций), найдем точки, в которых горизонтально проецирующая плоскость α пересечет стороны треугольника АВС – это точки 1' и 2'. Построив фронтальные проекции точек 1'' и 2'', соединив их прямой, получим линию пересечения. Причем, горизонтальная проекция этой линии совпадает с горизонтальной проекцией (следом) плоскости α.
Алгоритм решения главной позиционной задачи - пересечение прямой c плоскостью:
1. Зададим вспомогательную проецирующую плоскость α, проходящую через прямую m є α;
2. Построим линию пересечения 12 вспомогательной плоскости α с заданной плоскостью АВС (смотри рис. 3).
3. Построим искомую точку К - пересечения линии 12 с заданной m.
4. Определим видимость прямой m и плоскости АВС, применяя метод конкурирующих точек (точки 1 и 3, точки 4 и 5).
B" 4 1"
3"=1" K" 5" 2" C" m"
2" m"
A" K"
1" 2"
 |
2' C' K' 2'
3' 4' =5' m'
A' K'
1' B' m'
Рис. 3 Рис. 4
Лекция 7 –4
Вторая позиционная задача: построить линию пересечения двух плоскостей (Рис.5). Пусть заданы две плоскости общего положения треугольниками ABC и DEK. Задача решается с применением первой позиционной задачи (смотри рис. 5). Сначала заключаем сторону АВ треугольника АВС в горизонтально - проецирующую плоскость α и находим линию пересечения 12 этой плоскости с треугольником DEK. Затем на фронтальной проекции ищем точку М пересечения линии12 со стороной АВ. Эта одна из искомых общих точек для треугольников АВС и DEK и плоскости α. Следовательно, она принадлежит линии пересечения. Аналогично находим еще одну точку N. Соединяем точки и рассматриваем видимость треугольников.
По общему алгоритму решается и задача построения линии пересечения плоскостей, заданных иначе, например, плоскость β двумя пересекающими и плоскость γ двумя параллельными прямыми (Рис.6). Для решения проводим две фронтально – проецирующие плоскости α1 и α2. Затем находим линии пересечения вспомогательных плоскостей с каждой из заданных плоскостей. И, наконец, в точках пересечения этих линий будут лежать искомые две общие точки М и N.
Рис. 5
Лекция 7 -5 
1" β" γ''
5 " 2" 
3" 4"
6" М" 
8"
7"
N"
 |
5' 6' 
N' 7' 8 α2'
α 
1'
1' 2' M ' 3' 4'
β' γ'
Рис. 6
Таким образом, способ построения линии пересечения двух поверхностей заключается в применении вспомогательных проецирующих плоскостей. Каждая из проецирующих плоскостей дает в пересечении с поверхностями одну общую точку искомой линии пересечения. Этот прием можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей и, в частности, при нахождении линии пересечения двух многогранников. При этом проводятся такое количество вспомогательных проецирующих плоскостей, которое необходимо для определения достаточного числа точек линии пересечения.
3. Построение линии пересечения поверхности плоскостью.
Линия пересечения, которая получается от пересечения поверхности с плоскостью, является плоской кривой, лежащей в секущей плоскости. Чтобы ее построить надо найти проекции отдельных точек и, соединяя одноименные проекции плавными кривыми (по лекалу), получают проекции искомой линии. Среди точек кривой пересечения выделяют опорные точки: самая близкая или самая удаленная относительно плоскостей проекций (экстремальные точка); точки, расположенные на крайних образующих некоторых поверхностей – точки видимости, имеющие проекции на линии очертания, точки наибольшей ширины кривой и т.д.
Основной прием – способ вспомогательных плоскостей - построения линии пересечения поверхности с плоскостью заключается в следующем:
- Вводится вспомогательная секущая плоскость, пересекающая поверхность, как правило, по окружности, а плоскость – по прямой. Кроме того, важно, чтобы проекция получающейся окружности имела наиболее простой вид – одна проекция была бы окружностью, а другая в виде отрезка прямой.
Полученные промежуточные точки пересечения полученной кривой и прямой принадлежат поверхности и секущей плоскости, то есть являются точками линии их пересечения. Находятся необходимое количество произвольных точек и затем соединяются с условием видимости по отношению к заданным образам и плоскостям проекций.
Линии, получаемые в сечении конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями. Возьмем пример конуса вращения, который является частным случаем для конуса второго порядка (Рис. 7):
1. если плоскость параллельна основанию конуса, то в сечении получаем окружность. Ее радиус равен расстоянию от оси конуса до крайней образующей, т.е. лежащей в плоскости главного меридиана;
2. если плоскость пересекает вершину конуса и его основание, то в сечении получаем образующие – прямые линии;
3. если плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получаем эллипс.
4. если плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получаем параболу;
5. если плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получаем гиперболу;
6. если плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получаем эллипс.
Приведенные выше общие правила используем в решении примеров на рисунках 8, 9. Задание:
1. Построить линию пересечения цилиндра с горизонтально – проецирующей плоскостью и найти точки пересечения прямой общего положения с поверхностью цилиндра (Рис.8).
2. Построить линию пересечения конуса с фронтально – проецирующей плоскостью и найти точки пересечения прямой общего положения с поверхностью конуса (Рис.8).
3. Построить линию пересечения сферы с фронтально – проецирующей плоскостью (Рис.9).
В сечении сферы плоскостью всегда получается окружность с радиусом, равным расстоянию от оси сферы до точки пересечения плоскости и очерка сферы. Но на одну из плоскостей проекций эта окружность может проецироваться еще либо линией, либо эллипсом, который надо строить по точкам.
S гипербола
эллипс
 | |
 |
окружность
 |
парабола
две прямые Рис. 7
a "= α" 
5"
1" 4"= 41
N"
a" = α" 3"=3"1
2" M"
1" 2"=2"1
 |
2'
2'1 4'1
5'
1' 1
N'
1' M' 2' 4'
 | |||
 |
Рис. 8 Рис. 9