Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что 
, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Вариант 16
Часть I
Аналитическое описание функции:
Практическая часть.
1. Построим периодическое продолжение с периодом Т = 2 функции , заданной на отрезке [0;2]:
Рис. 1.
Проверим достаточные условия разложения 2- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция имеет период 2, кроме того на отрезке [-1;1]
непрерывна на интервалах (-1,0) и (0,1) и имеет конечное число точек разрыва первого рода: х = -1, х = 0, х = 1; ее производная 
на отрезке [-1;1] непрерывна на интервалах (-1,0) и (0,1) и имеет конечное число точек разрыва первого рода: х = -1, х = 0, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Представим данную функцию рядом Фурье общего вида.
Ряд Фурье
l = T/2 = 2/2 = 1
Представим ряд Фурье в тригонометрической форме:
Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках x = 2k и x = 1 + 2k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 2).
Рис.2
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 10 гармоник представлен на рис.3
Рис.3
2. Построим четное продолжение на отрезок [-2;0] функции функции ,
заданной на отрезке [0;2].
Рис.4
Построим периодическое продолжение с периодом Т = 4 функции, полученной на отрезке [-2;2].
Рис.5
Проверим достаточные условия разложения 4- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция имеет период 4, кроме того на отрезке [-2;2] 
непрерывна на интервалах [-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число точек разрыва первого рода, а именно две: х = -1, х = 1; ее производная 
на отрезке [-2;2] непрерывна на интервалах [-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число точек разрыва первого рода, а именно три: х = -1, х = 0, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Найдем коэффициенты ряда Фурье и запишем разложение.
Ряд Фурье
l = T/2 = 4/2 = 2
Определим значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках
х = -1 + 4k, x = 1 + 4k и x = 2 + 4k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 7).
Рис.7
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 5 гармоник представлен на рис.8
Рис.8
3. Построим нечетное продолжение на отрезок [-2;0] функции функции , заданной на отрезке [0;2].
Рис.9
Построим периодическое продолжение с периодом Т = 4 функции, полученной на отрезке [-2;2].
Рис.10
Проверим достаточные условия разложения 4- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция 
имеет период 4, кроме того на отрезке [-2;2] она непрерывна на интервалах [-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число точек разрыва первого рода, а именно две: х = -1, х = 1; ее производная 
на отрезке [-2;2] непрерывна на интервалах [-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число точек разрыва первого рода, а именно две: х = -1, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Найдем коэффициенты ряда Фурье и запишем разложение.
Ряд Фурье
l = T/2 = 4/2 = 2
Определим значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках
х = -1 + 4k, x = 1 + 4k и x = 2 + 4k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 11).
Рис.11
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 5 гармоник представлен на рис.12
Часть II