С различающимися частотами. Фигуры Лиссажу

Сложение ортогональных колебаний

с различающимися частотами. Фигуры Лиссажу

 

В случае, когда отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний выражается рациональным числом, траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям Х и У и соответственно равны 2А1 и 2А2, а центр совпадает с точкой О. Такие траектории называются фигурами Лиссажу (ФЛ). Вид ФЛ зависит от w2¤w1, А2¤А1 и
j2 – j1, причем отношение частот равно отношению числа касаний ФЛ с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который она вписывается (рис. 2.6).

 

 

Пусть частоты исходных колебаний w₁ и w₂ относятся как целые числа: w₁/w₂ = n₁/n₂. В данном случае результирующее колебание будет иметь более сложную, чем эллипс, фигуру.

Рассмотрим следующий пример:

 

x = A₁sinwt;

(2.10)

y = A₂sin2wt.

 

Для нахождения вида фигуры Лиссажу используем метод графического исключения t. Изобразим на одном графике зависимости x(t) и y(t). Отметим на этом графике положение точек в некоторые последовательные моменты времени. Затем перенесем эти точки на плоскость XY. В результате получим фигуру Лиссажу типа восьмерки, симметричной относительно осей координат (Dj = 0), (см. рис. 2.7, а). При Dj = p/2 фигура Лиссажу примет вид параболы (см. рис. 2.7, б). Если взять колебания с разностью начальных фаз, отличающейся от 0 и p/2, то при таком же соотношении частот получим фигуры Лиссажу типа восьмерки, несимметричной относительно осей координат.

Существует правило частот Лиссажу, согласно которому можно определить отношение частот складываемых колебаний. Это отношение равно отношению числа точек пересечения фигуры прямыми, параллельными соответствующим осям координат:

 

w_y/w_x = n_x/n_y. (2.11)

 

где n_x и n_y – число пересечений фигурой Лиссажу осей X и Y соответственно (или параллельных им прямых).

 

Докажем справедливость правила (2.11). Обозначим за t минимальное время, в течение которого полностью описывается фигура Лиссажу. Очевидно, что t равно наименьшему кратному периодов колебаний T_x и T_y, совершаемых вдоль осей X и Y. За один период конец вектора r пересечет ось X два раза. Следовательно, за время t число пересечений этой оси будет равно n_x = 2t/T_y. Аналогично получим, что n_y = 2·t/T_x. Следовательно, n_y/n_x = T_y/T_x = w_x/w_y.

Метод фигур Лиссажу широко используется для определения соотношения частот и фаз складываемых колебаний, например, в радиотехнике для градуировки генераторов. Чувствительность фигуры Лиссажу к разности фаз используется также для исследования фазовых соотношений в цепях переменного тока.

 

Учебное издание

 

МаксименкоВиталий Александрович