Эквипотенциальные поверхности

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью.

Между двумя любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд (рис. 112).

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис. 113).

По известной напряженности поля будем искать разность потенциалов между двумя точками для различных случаев полей.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости задается формулой: E=σ/(2ε0), где σ — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, которые лежат на расстояниях x1 и х2 от плоскости, равна (используем формулу Ex = -∂φ/∂x)

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей задается формулой: Е=σ/ε0, где σ — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между плоскостями, ежду которыми расстояние равно d (используем формулу Ex = -∂φ/∂x), равна

(1)

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы

(r>R) задается формулой: (4πε0)-1(Q/r2) разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1>R, r2>R, r2>r1), равна

(2)

Если положить r1=r и r2=∞, то потенциал поля вне сферической поверхности, согласно формуле (2), равен выражению

Внутри сферической поверхности потенциал везде одинаков и равен

График зависимости φ от r приведен на рис. 1.


Рис.1

4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R) вычисляется, как известно, по формуле E = (4πε0)-1(Q/r2), поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра шара (r1>R, r2>R, r2>r1), задается формулой (2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r' от его центра (r'<R), напряженность определяется выражением (82.4): E = (4πε0)-1(Qr'/r3) Значит, разность потенциалов между двумя точками, которые расположены на расстояниях r1' и r2' от центра шара (r1'<R, r1'<R, r2'>r1' ), равна

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, который заряжен с линейной плотностью τ, вне цилиндра (r>R) задается формулой: E = (2πε0)-1(τ/r) Значит, разность потенциалов между двумя точками, которые расположены на расстояниях r1 и r2от оси заряженного цилиндра (r1>R, r2>R, r2>r1), равна

 

Билет №6

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:

В системе СИ единица электроемкости называется фарад (Ф):

Конденса́тор (от лат. condensare — «уплотнять», «сгущать») — двухполюсник с определённым значением ёмкости и малой омической проводимостью; устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. В простейшем варианте конструкции состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок (см. рис.). Практически применяемые конденсаторы имеют много слоёв диэлектрика и многослойные электроды, или ленты чередующихся диэлектрика и электродов, свёрнутые в цилиндр или параллелепипед со скруглёнными четырьмя рёбрами (из-за намотки).
  Название Ёмкость Электрическое поле Схема
  Плоский конденсатор
  Цилиндрический конденсатор
  Сферический конденсатор
  Сфера
Соединения конденсаторов.  
Параллельное соединение конденсаторов  
Обкладки конденсаторов соединяют попарно, т.е. в системе остается два изолированных проводника, которые и представляют собой обкладки нового конденсатора  
Вывод: При параллельном соединении конденсаторов а) заряды складываются, б) напряжения одинаковые, в) емкости складываются. Т.о., общая емкость больше емкости любого из параллельно соединенных конденсаторов
Последовательное соединение конденсаторов  
Производят только одно соединение, а две оставшиеся обкладки - одна от конденсатора С1 другая от конденсатора С2 - играют роль обкладок нового конденсатора.  
Вывод: При последовательном соединении конденсаторов а) напряжения складываются, б) заряды одинаковы, в) складываются величины, обратные емкости. Т.о., общая емкость меньше емкости любого из последовательно соединенных конденсаторов.
           

Билет №7

1.Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Как мы уже знаем, электростатические силы взаимодействия консервативны; значит, система зарядов обладает потенциальной энергией. Будем искать потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2, которые находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (используем формулу потенциала уединенного заряда):

где φ12 и φ21 — соответственно потенциалы, которые создаются зарядом Q2 в точке нахождения заряда Q1 и зарядом Q1 в точке нахождения заряда Q2. Согласно,

и

поэтому W1 = W2 = W и

Добавляя к нашей системе из двух зарядов последовательно заряды Q3, Q4, ... , можно доказать, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(1)

где φi — потенциал, который создается в точке, где находится заряд Qi, всеми зарядами, кроме i-го.

2.Энергия заряженного уединенного проводника. Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна

");?>" alt="элементарная работа сил электрического поля заряженного проводника">

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу

(2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(3)

Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ - потенциал проводника, то из (1) найдем

где Q=∑Qi - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из заряженных проводников поэтому обладает энергией, которая из формулы (3) равна

(4)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, Δφ — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (4), будем искать механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для этого сделаем предположение, что расстояние х между пластинами изменилось на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = — dW, откуда

(5)

Подставив в (4) выражение для емкости плоского конденсатора, получим

(6)

Продифференцировав при фиксированном значении энергии (см. (5) и (6)), получим искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля. Используем выражение (4), которое выражает энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, и спользуя выражением для емкости плоского конденсатора (C=ε0εS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Δφ=Ed. Тогда

(7)

где V= Sd — объем конденсатора. Формула (7) говорит о том, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(8)

Билет №8