Оцінка точності результатів подвійних рівноточних вимірів однорідних величин
Пояснювальний матеріал
Виміри однієї або декількох однорідних величин називаються рівноточними, якщо вони були проведені за однаковими умовами вимірювання: інструментами однакової точності, одним і тим же методом, спостерігачами однакової кваліфікації та досвідченості, за приблизно однаковими зовнішніми умовами тощо. У геодезичній практиці, як правило, умови вимірювання регулюються спеціальними настановами та інструкціями через встановлення допусків на кожний з чинників, що впливають на точність вимірів.
Математична обробка ряду рівноточних вимірів однієї величини
Під час обробки ряду результатів рівноточних вимірів однієї величини необхідно:
1) визначити найнадійніше, або найімовірніше значення вимірюваної величини;
2) знайти середню квадратичну похибку т одного виміру, яка характеризує точність вимірів за даними умовами;
3) визначити середню квадратичну похибку остаточного значення, одержаного в результаті обробки.
За найнадійніше, або найімовірніше значення вимірюваної величини, яке можна одержати з результатів скінченного числа рівноточних вимірів цієї величини, застосовують середнє арифметичне, що обчислюють за формулою:
. 
(1)
Математичні властивості середнього арифметичного:
1) якщо L0- li = υi , де і=1, 2, ...., п. υi - відхилення даних величин від їх середнього арифметичного.
[υ] = 0 . (2)
2) сума [υυ] квадратів відхилень даного ряду величин li і=1,2,., п від їх середнього арифметичного L0 завжди буде менша від суми [δδ] квадратів відхилень цих величин від будь-якого довільного числа L'
[δδ]>[ υυ] . (3)
Але ще краще, особливо для великої кількості вимірів п, знаходити його за допомогою наближеного заокругленого значення l0 і відхилень ɛ= li - l0 за формулою:
L0 = l0 +[ɛi]/ п (4)
де ɛi - відхилення виміряних значень від наближеного (як правило, за наближене значення l0 приймають мінімальне значення з результатів вимірів).
Якщо відомі відхилення ɛi, то відхилення виміряних значень від середнього арифметичного можна обчислити за формулою:
δі = ɛi - [ɛ]/ п . (5)
Середня квадратична похибка т одного виміру визначається за формулою Бесселя
т = ± 
(6)
з контролем обчислення за формулою Петерса
т = 
(7)
Після обчислення середньої квадратичної похибки т виконують її власну оцінку точності за формулою:
mm= ± 
. (8)
Для контролю обчислень використовуються формули:
[ 
] = пα , (9)
де а - помилка заокруглення для обчислення середнього арифметичного Ь0.
[ 
] = [ ɛ] , (10)
[ 2] = [ɛ2] - [ɛ]2/n . (11)
Середня квадратична похибка М середнього арифметичного визначається за формулою:
М = ± 
. (12)
Кінцевий результат обробки ряду рівноточних вимірів подається у вигляді L0 ± М.
Оцінка точності результатів подвійних рівноточних вимірів однорідних величин
У геодезичному виробництві часто доводиться проводити подвійні виміри однорідних величин: кутів, довжин ліній, перевищень між пікетами тощо. Вимірюючи будь-яку величину два рази, за найімовірніше її значення приймають середнє арифметичне, і середня квадратична похибка його М буде в 
разів менша від похибки т одного виміру. Але така оцінка точності не є надійною, тому що вона виведена тільки з двох вимірів. Крім того, точність кожного середнього арифметичного буде характеризуватись своєю похибкою М і кожна з них не може бути прийнята за величину для оцінки точності всіх результатів подвійних вимірів однорідних величин загалом. Через це точність подвійних вимірів оцінюють так.
Нехай маємо результати рівноточних подвійних вимірів однорідних величин 
(і= 1,2,..., n).
Знайдемо їх різниці
di = 
- 
. (13)
Методика оцінювання точності залежить від наявності чи відсутності в різницях подвійних вимірів систематичних похибок.
За відсутності систематичних похибок виконується умова [d] = 0 |[d]|≤0,25[|d|]
Тоді d є істинними похибками, тому середня квадратична похибка однієї різниці:
, (14)
де п - кількість подвійних вимірів.
Середня квадратична похибка одного виміру:
. (15)
Середня квадратична похибка середнього значення з пари вимірів:
mсер=± 
. (16)
У разі систематичних похибок [d] ≠ 0 |[d]|>0,25[|d|].
Тоді для виключення систематичних похибок припускаємо, що значення їх у всіх різницях однакові та дорівнюють:
d0 = [d]/п ; (17)
∆di = di - d0 , (18)
де ∆di - можна вважати за найімовірніші похибки.
Середня квадратична похибка однієї різниці:
md = ± 
Середня квадратична похибка одного виміру:
т = ± 
(20)
Середня квадратична похибка середнього значення з пари вимірів:
mcep=± 
(21)