Интерполяционные формулы Ньютона.
Пусть f(x0), f(x1), f(xn) - (n+1) значений некоторой функции y=f(x), определённой на [a, b], которые вычислены в узловых точках x0, x1, …, xn. При этом функция y=f(x) задана на сетке равностоящих узлов интерполирования xk=kh (k=0,1,…, n) и для нее построена таблица конечных разностей.
Замечание 1.Конечные разности представляют собой выражения вида:
вплоть до k-го порядка включительно (при этом 
, где i=0,1,2,..,n).
Таблица конечных разностей.
| 
| ||||||
| |||||||
| 
| 
| |||||
| 
| ||||||
| 
| 
| 
| ||||
| 
| … | |||||
| 
| 
| 
| ||||
| 
| ||||||
| 
| 
| … | ||||
| … | ||||||
| 
| … | |||||
| … | |||||||
| … | … | ||||||
Будем строить интерполяционный многочлен Pn(x) в виде:
(1)
Его n+1 коэффициент 
находится из n+1 интерполяционных равенств 
(i=0,1,…, n) следующим образом: пусть i=0, x=x0, тогда 
, а по условию интерполяции 
, следовательно, а0=у0.
Аналогичными рассуждениями, при i=1 выводится равенство
в которое подставим уже найденное значение а0=у0. Разрешая полученное равенство относительно а1 получим 
.
При i=2 имеем: 
отсюда 
и в результате получим: 
.
В итоге, аk коэффициент вычисляется по формуле: 
(это можно доказать, применив метод математической индукции). Подставляя найденные коэффициенты в формулу (1) получим многочлен
. (2)
Полученный многочлен называется первым интерполяционным многочленом Ньютона.
Так как каждое слагаемое многочлена, начиная со второго, содержит множитель 
, то многочлен (2) наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла . В таких случаях узел называется базовым. Введем новую переменную q, которая определяется равенством: 
, то есть 
. Тогда 
и многочлен Ньютона примет вид:
(3)
Полученная формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона
Замечание 2.Первая интерполяционная формула Ньютона обычно применяется при значениях 
, для интерполирования вперед (при 
, то есть при 
).
Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице нет никаких индексов - номеров узлов, то за базовый для формулы (3) узел 
можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке x, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых для (3) разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются исходящие диагонали таблицы конечных разностей (см. таб.), то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.
Учёт этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определённом смысле слова, формулы для (3), которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (1), форма интерполяционного многочлена 
берётся такой, которая предусматривает поочерёдное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и так далее, то есть
(4)
Его коэффициенты находится из n+1 интерполяционных равенств (i=0,1,…, n) аналогичным выше изложенному способом, но подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится в обратном порядке. Полагая x=xn, x=xn-1, …, x=x1 получим:
,
, отсюда 
,
, следовательно
и так далее.
в результате: 
(это можно доказать, применив метод математической индукции). Подставляя найденные коэффициенты в формулу (*) получим многочлен
(5)
Полученный многочлен называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона в котором базовым является узел xn и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от yn диагонали.
Пусть 
, то есть введем новую переменную q, которая определяется равенством: 
и преобразуем к ней входящие в (5) разности. Тогда 
и многочлен Ньютона примет вид:
(6)
Полученная формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона.
Замечание 3.Вторая интерполяционная формула Ньютона обычно применяется при значениях , для интерполирования назад при 
, то есть в окрестности узла xn.