Принципиальное отличие задания состояния частицы в квантовой и классической механике. Волновая функция и ее статистический смысл.

Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,px,py,pz). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются непосредственно на опыте измеряемыми величинами. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией (x,y,z). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса и не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая связана с волновой функцией -
* .
Изменение состояния классической частицы во времени описывается уравнениями Гамильтона

= H/ p, = - H/ t,

где H - функция Гамильтона

H = p2/2m + U(r),

где U(r) - потенциал поля, в котором движется частица.

 

Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А "говорить" следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно ,что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(wt- kх+jО)

или в экспоненциальной форме

S=АOехр[i(wt- kх+jО)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) w и k=2p/l через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

Y =АOехр[(-i/ )(Еt- pх)]. (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет |Y| 2, то это несущественно).

Функцию Yназывают волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интепретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того , что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP=|Y| 2 dV=YY*dV (17)

где Y* - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина |Y| 2=YY* = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные Yпо координате х и времени t:

откуда

(19)