Приклади|зразки| складання рівнянь руху механічних систем за допомогою рівнянь Лагранжа

Складатимемо рівняння руху механічних систем, для яких вже вибрані узагальнені координати, і отримані|одержувати| вирази узагальнених сил в прикладах|зразках| 1-5.

Передбачається|припускається|, що читач знайомий з|із| обчисленням|підрахунком| кинетичної| енергії матеріальних точок|точок| і твердих тіл. При складанні рівнянь руху необхідно виразити|виказувати| кінетичну енергію системи через прийняті узагальнені координати і узагальнені швидкості.

Приклад 2.1. Довжина маятника (рис. 1.8) рівна l, його маса m . Скласти рівняння його руху, прийнявши як узагальнену координату а)

Оскільки дана механічна система має одну ступінь свободи, то складається одне рівняння руху у формі:

(2.24)

Вираз для узагальненої сили, відповідній прийнятій узагальненій координаті, Q=P=mg (див. (1.28)). Кінетична енергія маятника

.

Проекція швидкості на вісь х через накладений зв'язок (1.27) рівна

. (2.25)

Підставляючи (2.25) у вираз|вираження| кінетичній енергії, отримаємо|одержуватимемо|

. (2.26)

Звідки

.

Підставимо отриманий|одержувати| вираз|вираження| в (2.24)

.

Після скорочення на m отримуємо рівняння руху маятника у вигляді

. (2.27)

б)

Рівняння руху складаємо у формі

. (2.28)

Вираз для узагальненої сили був отриманий у вигляді (1.29) .

Отримаємо|одержуватимемо| вираз|вираження| кінетичній енергії , де через накладений зв'язок (1.27)

. (2.29)

Звідки

, ],

.

Підставимо отриманий|одержувати| вираз|вираження| в (2.28)

.

Після скорочення на m отримуємо рівняння руху маятника у вигляді:

. (2.30)

в) q=S.

Складаємо рівняння руху у вигляді|виді| .

Вираз|вираження| узагальненої сили був отриманий|одержувати| раніше - (1.30): .

Кінетична енергія маятника , але |та|, тому .

Звідки

Отримуємо|одержуємо| рівняння руху маятника у вигляді|виді| ,

або . (2.31)

Для малих коливань маятника можна прийняти , тоді рівняння малих коливань має вигляд|вид|

.(2.32)

г) q=φ.

Рівняння руху складаємо у вигляді . Вирази для узагальненої сили було вже отримано (див.(1.31)) .

Кінетична енергія матеріальної точки|точки|: , де , тобто .

Звідки , .

Отримуємо рівняння руху маятника , або, враховуючи, що P=mg

. (2.33)

Для малих коливань маятника вважають|гадають| і рівняння (2.33) приймає вигляд|вид| . (2.34)

Зіставляючи|співставляти| диференціальні рівняння руху маятника у вигляді|виді| (2.27), (2.30), (2.31) і (2.33) потрібно зробити висновок|висновок|, що вибір узагальненої координати може бути вдалим|успішним| і невдалим. При вдалом| виборі узагальнених координат рівняння руху виходять простіше, отже, і вирішувати|рішати|, або аналізувати ці рівняння | буває значно легше.

Приклад 2.2. Скласти диференціальні рівняння руху подвійного математичного маятника (рис. 1.10). Як узагальнені координати при обчисленні узагальнених сил були прийняті кути φ1і φ2.

Рівняння Лагранжа мають вигляд:

, .

Узагальнені сили були отримані|одержувати| раніше (див. (1. 33)) .

Складемо вираз|вираження| кінетичній енергії системи

,

де V1і V2- абсолютні швидкості точок. Якщо скористатися виразами та , буде допущена помилка, оскільки якщо V1- абсолютна швидкість першої маси, то - відносна швидкість другої маси щодо першої рухомої маси. Скористаємося координатним способом визначення швидкостей . Координати точок M1і M2при прийнятому позначені осей і виборі узагальнених координат визначається через прийняті узагальнені координати виразами (1.32, а)

, ,

, .

Диференціюючи їх за часом, отримаємо|одержуватимемо|:

, ,

, .

Тоді

.

Кінетична енергія системи набере вигляду:

.

Складемо спочатку рівняння Лагранжа по координаті φ1

,

,

.

Отримуємо|одержуємо| перше рівняння руху:

після скорочення на l1

Після привіду подібних членів оримаємо:

2.35)

Складемо друге рівняння руху

,

,

.

Підставляємо в рівняння Лагранжа отримані значення

Після приведення подібних членів рівняння одержит вид

. (2.36)

Коливання двойного математичного маятника описуються системою двох нелінійних дифференціальних рівнянь (2.35) и (2.36), интегрування якіх зв’зано с великими труднощами. Зазвичай виконують интегрування рівнянь малих коливань, котрі отримують, застосуваннням спрощених виразів узагальнених сил Q1 и Q2 и кінетичній енергіі T, застосуванням в них: , , ,

,

.

Рівняння малих коливань двойного математичного маятника мають вигляд:

(2.37)

Це вже система двох лінійних рівнянь 2-го порядку, яку значно легше рішати, ніж систему нелінійних рівнянь (2.35) та (2.36).

Приклад 2.З. Отримати рівняння коливання вантажу на пружині, жорсткість якої C (рис. 1.14).

Вираз кінетичній енергії .

Звідки

Узагальнена сила рівна (див. (1.34)) .Підставляючи набутих значень в рівняння Лагранжа ,

отримаємо , або . (2.38)|одержуватимемо|

Приклад 2.4. Скласти диференціальні рівняння руху трьохмасової системи m1, m2, m3на пружинах, жорсткості яких рівні C1, C2 ,C3(рис. 1.16).

Система має три ступеня свободи. Складаємо три рівняння

, , .(2.39)

Узагальнені координати, що визначають положення|становища| мас у будь-який момент часу, були вибрані (див. рис. 1.16). Початки координат розташовані|схильні| у положенні|становищі| статичної рівноваги вантажів|тягарів|. Кінетична енергія механічної системи рівна

.

Вирази узагальнених сил, відповідних прийнятим узагальненим координатам були отримані раніше (див. (1.40) (1.41) (1.42)).

, , .

Похідні від кінетичної енергії по узагальнених координатах і швидкостях рівні:

, , .

, , .

, , .

Підставляючи ці значення в рівняння Лагранжа (2.39), отримуємо|одержуємо| сис­тему| трьох диференціальних рівнянь руху механічної системи з|із| трьома ступенями свободи

або (2.40)

Це система 3-х лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку|ладу|, що описують вільні коливання трьох вантажів|тягарів| на пружинах. Рух даної системи відбувається|походить| під дією тільки|лише| потенційних сил.

Складемо рівняння руху механічної системи у формі (2.23) з використанням функції Лагранжа

, , . (2.41)

 

У даному конкретному випадку, використовуючи вирази для T і П (див. (1.43)), маємо

,

звідки

, .

, , .

 

Підставляючи необхідні значення в (2.41), отримуємо|одержуємо| рівняння руху трьохмасової механічної системи

або після|потім| перетворення у вигляді|виді| (2.40).

Як видно|показний| з|із| другого прикладу|зразка|, для складання рівнянні руху необхідно уміти складати вирази кінетичній і потенційній енергії механічних систем.

Приклад 2.5. Скласти диференціальне рівняння руху кривошипно-шатунового механізму (рис. 1.17). Довжина кривошипа r, довжина шатуна l.

Завдання максимально спрощене для того, щоб зрозуміти суть складання рівнянь руху механізмів. Тут ми не враховуватимемо маси повзуна, кривошипа і шатуна. Якби ми їх враховували, то їх значення увійшли б до виразу кінетичній енергії, у разі розташування механізму я вертикальній плоскості, сили тяжіння кривошипа і шатуна увійшли б до виразу узагальненої сили. Враховуємо тільки масу махового колеса, що жорстко скріплене із кривошипом. Маса колеса m, радіус інерції щодо осі обертання i. Кривошипно-шатуновий механізм рухається під дією сили P, прикладеної до повзуна, і моменту корисного опору M, прикладеного до кривошипа (до колеса). Приблизно така схема кривошипно-шатунового механізму паровоза, строгального верстата та інших.

Як узагальнену координату приймаємо кут повороту кривошипа q=φ. Механізм має одну ступінь свободи. Складаємо рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа

. (2.42)

Вираз|вираження| узагальненої сили був отриманий|одержувати| раніше (див. (1.48))

.

Кінетична енергія всього механізму рівна в нашому прикладі кінетичної енергії махового колеса , де .

, .

Підставляємо необхідні дані в рівняння (2.42)

,

або . (2.43)

Ми отримали|одержували| нелінійне диференціальне рівняння другого порядку|ладу|, що описує рух кривошипно-шатунового механізму.

Рух більшості механізмів описується нелінійними диференціальними рівняннями, інтегрувати які вельми складно. В основному їх рішення можна здійснити численно за допомогою програмних продуктов Mathcad или Mathlab, або на аналогових електронних машинах. Проінтегрувавши рівняння (2.43), ми отримаємо і за допомогою рівнянь зв'язку (1.46) знайдемо закон руху вузлів механізму

, , .

Ці дані дозволяють визначати кінетичні характеристики руху кривошипа і шатуна і розрахувати зусилля в елементах механізму, що є|з'являються| основними при конструюванні механізмів і машин.

Приклад 2.6.

Для механізму, що показаного на рис. 2.1, який складається з трьох тіл, отримати вирази узагальнених сил для двох варіантів додатку зовнішнього гальмівного моменту (Mт): варіант 1 - Mтприкладений до тіла 2 і утримує механізм від руху; варіант 2 – Mтприкладений до тіла 3 і також утримує механізм від руху. Скласти умови рівноваги механічної системи в узагальнених координатах для цих варіантів, обчислити і порівняти потрібні для рівноваги системи значення Mтпри наступних початкових даних: m1=100кг, m2=30кг, m3= 40 кг, R2=R3=1м, r2=0,6м, r3=0,4м. В якості узагальненої координати прийняти вертикальне переміщення вантажу 1 – q1.

 

Рішення|розв'язання|

Нагадуємо, що узагальненою силою Q1, відповідній прийнятій узагальненій координаті q1, називається коефіцієнт при варіації узагальненої координати у виразі можливої роботи всіх зовнішніх сил δA = Q1 δq1.

Прикладемо до механічної системи всі зовнішні сили (нагадуємо, що головний вектор і головний момент внутрішніх сил завжди дорівнюють нулю), надамо системі можливе переміщення (рис. 2.2) і складемо вираз можливої роботи зовнішніх сил.

Перерахуємо зовнішні сили: на всі тіла діє гравітаційне поле Землі – сили G1, G2, G3; сили реакцій зв'язків: Rx, Ry – горизонтальна і вертикальна реакції підшипника нерухомої осі тіла 2 (вважаємо, що тертя в підшипнику мало), до тіла 3 в точці контакту з нерухомою поверхнею, по якій воно перекочується без ковзання, прикладені N і Fтр – нормальна і горизонтальна реакції шорсткої поверхні. У першому варіанті завдання до тіла 2 прикладений зовнішній гальмівний момент MТ, що утримує механічну систему від руху.

 

Опишемо можливе переміщення даної механічної системи. Нагадаємо визначення аналітичної механіки - можливим називається нескінченно мале переміщення, що допускається зв'язками в даний момент часу. При нескінченно малому прирості прийнятої узагальненої координати δq1 тіло 1 зміститься вниз на δq1, тіло 2 обернеться навколо нерухомого підшипника на нескінченно малий кут δφ2 проти ходу стрілки годинника, тіло 3 зробить нескінченно мале перекочування по нерухомій шорсткій поверхні, тобто зробить плоско-паралельний рух, при цьому його центр зміститься паралельно нерухомій опорній поверхні горизонтально вліво на δ3і тіло обернеться на кут δφ3теж проти ходу годинникової стрілки. Нагадаємо, що плоско-паралельний рух тіла може бути представлено складанням простих рухів – поступального разом з деякою точкою, званою полюсом, і обертального навколо полюса, при цьому обертальна частина його рухи не залежить від вибору полюса. І, якщо можна вказати точку в площіні, рухомій разом з тілом, швидкість якої дорівнює 0 в даний момент часу (її називають миттєвим центром швидкостей), то плоско-паралельний рух тіла зручно розглядати як миттєве обертання навколо миттєвої осі, що проходить через миттєвий центр швидкостей. При коченні тіла 3 по нерухомій поверхні без ковзання точка їх контакту нерухома і є миттєвим центром швидкостей тіла 3. Її використовуватимемо для визначення δφ3.

Складемо вираз можливої роботи всіх активних сил (рис. 2.2). При переміщенні тіла 1 вниз на δq1 його сила тяжіння G1зробить позитивну можливу роботу δA(G1)=G1δq1. При повороті тіла 2 на кут δφ2 проти ходу стрілки годинника роботу (негативну) зробить тільки гальмівний момент δA(Mт)=-Mтδφ2, решта сил G2, Rx, Ry робіт не здійснюють, оскільки точка їх застосування залишається нерухомою при повороті тіла 2. При плоско-паралельному нескінченно малам переміщенні тіла 3, яке ми розглядаємо як нескінченно малий поворот на кут δφ3навколо миттєвого центру швидкостей P, зовнішні сили G3, N, Fтр теж не здійснюють робіт: переміщення центру тяжіння тіла 3 на δφ3в даному прикладі перпендикулярно G3, тому δА(G3)= G3·δ3·cos90º=0, а сили N і Fтр прикладені в нерухомій в дану мить точці Р.

Отже, можлива робота всіх активних сил в даному прикладі рівна δА = G1δq1-Mтδφ2.

Залишилося виразити δφ2 через δq1. Оскільки нитка, що сполучає тіла 1 і 2, є нерозтяжною, то переміщення її нижнього і верхнього кінців однакові –

δq1 = δφ2·r2.

Тепер

δА = G1δq1-Mтδφ2 = (G1 - Mт∕r2)δq1.

Отримали, що Q1= G1 - Mт∕r2.

Аналітичні умови рівноваги механічної системи в узагальнених координатах

звідки отримуємо|одержуємо|

Нм.

 

Нагадаємо ще одне визначення аналітичної механіки: «Зв'язки, реакції яких не здійснюють|скоюють| роботи на можливих переміщеннях механічної системи, називаються ідеальними». У даному прикладі|зразку| це шарнір без тертя тіла 2 і шорстка поверхня, по якій перекочується без ковзання тіло 3. Їх реакції не входять у вирази узагальнених сил і, отже, не враховуються в аналітичних умовах рівноваги і в рівняннях руху механічної системи.

Визначимо тепер величину гальмівного моменту, прикладеного до тіла 3 для утримання механічної системи від руху. На рис. 2.2 цей момент не показаний, але його легко представити: немає гальмівного моменту MТ, прикладеного до тіла 2, але є гальмівний момент , прикладений до тіла 3 і направлений по ходу годинникової стрілки. Використовуючи описані вище міркування про реакції ідеальних зв'язків, можливу роботу всіх активних сил отримаємо у вигляді

.

Встановимо залежність між і . Використовуємо умову, що нитки (або ремені, або ланцюги), що сполучають тіла 1 і 2, 2 і 3 нерозтяжні, тому переміщення їх кінців з відповідними точками тіл однакові. Для тіл 1 і 2 ми вже записували цю умову у вигляді .

для тіл 2 і 3 можемо написати, що переміщення точок k2і k3 (рис. 2.2) однакові

,

тут R3+r3– відстань від точки k3до миттєвого центру швидкостей колеса 3 (миттєвий радіус точки k3). Отримуємо

.

Вираз|вираження| можливої роботи набуває|придбаває| вигляду|вид|

.

Узагальнена сила в цьому варіанті прикладення|застосування| гальмівного|гальмового| моменту рівна

. (2.45)

З|із| умови рівності нулю|нуль-індикатору| узагальненої сили в положенні|становищі| рівноваги механічної системи знаходимо|находимо| значення гальмівного|гальмового| моменту, який необхідно прикласти до тіла 3 для утримання механізму від руху

Нм.

Порівнюючи значення гальмівних|гальмових| моментів приходимо до висновку, що доцільніше прикладати гальмівний|гальмовий| момент до тіла 2. Як бачимо, маси і ваги тіл 2 і 3 не впливають на аналітичні умови рівноваги даної механічної системи. Аналітичних умов рівноваги рівно стільки, скільки ступенів свободи має механічна система і не залежить від числа тіл в механізмі.

Приклад|зразок| 2.7.

Поставимо тепер наступне завдання. Скласти за допомогою рівнянь Лагранжа II роду диференціальне рівняння руху механічної системи з одним ступенем свободи (рис. 2.1) при наступних початкових даних: маси тіл m1 =100 кг, m2=30кг, m3= 40 кг, радіуси коліс R2=R3=1м, r2=0,6м, r3=0,4м. Колеса 2 і 3 складаються з двох частин однакової товщини h2і h3, відповідно, (рис. 2.3), радіуси инерції коліс i2=0,35 м, i3=0,3 м.

 

 


Опором кочення тіла 3 нехтувати. Система починає рух із стану спокою. Гальмівний момент, прикладений до тіла 2, рахувати в 10 разів менше того значення, при якому механічна система залишалася загальмованою (нерухомою), тобто Нм. Визначити швидкість тіла 1 в той момент часу, коли пройдений ним шлях S1 =2 м.

Рішення|розв'язання|

Використовуватимемо рівняння Лагранжа у вигляді|виді|

. (2.46)

Як узагальнена координата приймаємо, як і раніше, переміщення тіла 1 з його початкового положення . Відповідний вираз для узагальненої сили був отриманий вище (2.44), в якому потрібно буде врахувати, що набули значення гальмівного моменту MТ = 58,9 Нм.

Складемо вираз|вираження| кінетичній енергії механічної системи. Нагадаємо, що кінетична енергія - це визначено позитивна величина, рівна сумі кінетичних енергій тіл, що входять в систему

, (2.47)

для системи з одним ступенем свободи всі Тi мають бути виражені через інерційні параметри тіл і прийняту узагальнену швидкість.

Тіло 1 здійснює|скоює| поступальний рух з|із| швидкістю , тому

.

Тіло 2 здійснює|скоює| обертальний рух з|із| кутовою швидкістю ,

.

У останній формулі враховано, що момент інерції тіла складної форми щодо|відносно| осі обертання визначається як добуток|добуток| його маси на квадрат його радіусу інерції . Нагадаємо, що радіусом інерції тіла щодо|відносно| осі називається та відстань від осі, на якій слід було б розташувати точкову|крапкову| масу, рівну масі тіла, щоб|аби| момент інерції точкової|крапкової| маси щодо|відносно| осі дорівнював би моменту інерції тіла.

На цьому етапі рішення задачі обчислимо|обчислятимемо| значення моментів інерції тіл 2 і 3. Ці тіла схожі, але|та| не подібні, вони мають різні відношення лінійних розмірів . кгм2, кгм2.

Тільки подібні тіла мають однакові радіуси інерції i. Цю обставину використовують конструктори для полегшення розрахунків при обчисленні моментів інерції подібних тіл, прикладами яких можуть служити ротори электоических генераторів і двигунів різних потужностей, але подібні по конструкції, блоки зубчатих коліс в редукторах різних потужностей, підшипники однієї конструкції, але різних типоразмеров, ротори вентиляторів і тому подібне.

Тіло 3 здійснює плоско-паралельний рух, його рух можна розглядати як поступальне разом з центром мас і обертальне навколо центру мас або як обертальне в дану мить навколо миттєвої осі, що проходить через миттєвий центр швидкостей, позначений на рис 2.2 буквою Р- точка контакту колеса з нерухомою підставою. У першому варіанті можемо написати

,

де ω3– угловая швидкість тіла 3

Vc3– лінійна швидкість центру мас (центру тяжіння) колеса 3

Ic3– момент інерції колеса 3 щодо осі, що проходить через його центр мас.

Вираз для отримаємо, скориставшись виразом для , отриманим вище, враховуючи, що співвідношення між можливими переміщеннями і швидкостями відповідних точок механізму однакові. У виразі

міняємо на і на V1 =

.

Тепер , . Підставляємо отримані вирази в загальну формулу для Т3.

.

Отримаємо тепер вираз для Т3, розглядаючи плоско-паралельний рух колеса 3 як обертання в дану мить часу з кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, що проходить через міттєвий центр швидкостей Р (рис.2.2), тоді

,

де - момент інерції колеса 3 щодо осі, що проходить через міттєвий центр швидкостей Р.

По теоремі Гюйгенса** .

Отримуємо|одержуємо| , тобто, природно, тей ж саме вираз. |вираження|

 

 

**Гюйгенс Християн (14.04.1629 – 8.07.1695) голландський фізик, механік, математик і астроном. Теорема, про яку йде мова|промова|, доведена Г. у зв'язку з винаходом і дослідженням сконструйованих їм першого маятникового годинника.

Підставляємо отримані|одержувати| вирази для Тi в (2.46)

, (2.48)

де називається приведеною масою механізму, вона має розмірність [кг] в даному прикладі при лінійній узагальненій координаті . Якби|аби| ми вибрали як узагальнену координату кутове| переміщення тіла 2, то загальний|спільний| для механізму вираз|вираження| кінетичній енергії мав би вигляд|вид|

,

де називається приведеним моментом інерції механізму, він вимірюється в [кгм2] (радимо цю формулу отримати самостійно, склавши вираз кінетичній енергії механізму, виразив лінійні і кутові швидкості тіл через похідну від узагальненої координати ). Іноді для повнішої інформації про прийняту узагальнену координату говорять в першому варіанті: « Приведена до маси m1маса механізму» і в другому варіанті: « Приведений до тіла 2 момент інерції механізму».

Отримаємо|одержуватимемо| тепер диференціальне рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа (2.46) для варіанту узагальненої координати .

Використовуємо вираз|вираження| кінетичній енергії механізму (2.48) і отримуємо|одержуємо| необхідні вирази похідних:

.

Підставляємо в рівняння Лагранжа (2.46) отримані|одержувати| вирази для похідних від кінетичної енергії і вираз|вираження| для узагальненої сили (2.44)

.

Приводимо|призводимо| рівняння до канонічного вигляду|виду| (коефіцієнт при вищій похідній повинен дорівнювати|рівнятися| 1)

. (2.49)

Права частина|частка| отриманого|одержувати| диференціального| рівняння постійна, судячи по сенсу|змісту| другої похідної від лінійного переміщення тіла 1, це значення прискорення тіла 1, тому зручно ввести|запроваджувати| позначення

. (2.50)

Тепер диференціальне рівняння руху механізму з|із| одним ступенем свободи (рис. 2.1) набуває|придбаває| найбільш простого вигляду|вид|, як рівняння руху матеріальної точки|точки|, при дії на неї постійних сил

. (2.51)

Для диференціального рівняння другого порядку відповідно до вимог Коши*** необхідно сформулювати дві початкові умови. У даному завданні механізм починає рух із стану спокою і із положення, відповідного початку відліку прийнятої узагальненої координати, тобто при t=0

1) 2) . (2.52)

Интегруем (2.51) , ,

где С1 и С2 –постійні інтегрування.

Використовуючи початкові умови (2.52), отримуєм: , .

Виконуєм необхідні обчислення:

= кг.

м/с2

З умови, що необхідно знайти швідкість тіла 1 у той момонт часу, коли його шлях S1=2 м, з рівняння руху знаходим =0,75 с, отже швидкість тіла 1 в цей момент часу м/с.

*** Огюстен Луї Коши (1789 - 1857) видатний|визначний| французький математик, написав понад 800 наукових робіт по різних розділах математики: геометрії, теорії чисел, математичному аналізу, математичній фізиці, алгебрі, дифереренціальному| і інтегральному численню|обчисленню|.

 

Ропай Валерій Андрійович

Науменко Олена Генадіївна

Киба В’ячеслав Якович

 

 

ЗАСТОСУВАННЯ|вживання| РІВНЯНЬ ЛАГРАНЖА II РОДА ДО РІШЕННЯ|розв'язання| ЗАДАЧ|задач| ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ.

Методичні рекомендації до розділу курсу теоретичної механіки

«Аналітична динаміка»

для студентів всіх форм навчання|вчення|

 

 

Редактор О.Н. Ільченко

 

Підписано до друку 20.04.2013. Формат 30х42/2

Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. Арк. 2.9

Обл-вид арк. 2,5. Тираж 40 прим. Зам. №

 

Вищий навчальний заклад

«Національний гірничий університет»

49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.

 

Застосування рівнянь Лагранжа ІІ рода до рішення задач динаміки механічних систем. Методичні рекомендацій до розділу курсу теоретичної механіки «Аналітична динаміка» для студентів всіх форм навчання. – Автори: В.А. Ропай, О.Г. Науменко, В.Я. Киба. – Д. Вищий навчальний заклад «Національний гірничий університет», 2013.-56 с.

 

 

Автори:

В.А. Ропай , докт. техн. наук, проф. (розділ 1);

О.Г. Науменко, ст. викл. (розділ 2.1);

В.Я. Киба, ст. викл. (розділ 2.2).

 

 

Затверджено до видання редакційною радою ВНЗ «НГУ» (протокол № від 04.2013) за поданням методичної комісії напряму підготовки 6.050301 Гірництво (протокол № від 04.2013).