Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі
Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:
a11x1+a12x2+…+a1nxn =0
a21x1+a22x2+…+a2nxn =0 (1)
………………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn =0
Сонымен бұл жүйенің оң жағы бірыңғай нөлдерден тұрады.
Біртекті жүйенің әр уақытта шешуі бар болады, ол шешу нөлдік шешу: х1=x2=…=xn=0
Сонымен біртекті теңдеулер жүйесі әр уақытта үйлесімді.
Біртекті теңдеулер жүйесінің шешулерінің мынадай екі қасиетін атап өтейік:
1) Егер x=(x1,x2,…xn) (1) жүйенің шешуі болса, онда кез келген ʎ саны үшін ʎх=( ʎx1, ʎx2,… ʎxn) (1)жүйесінің шешімі болады.
2)Егер x=(x1,x2,…xn) және y=(y1,y2,…yn) (1) жүйесінің шешулері болса, онда олардың қосындысы x+y=(x1+y1, x2+y2,…xn+yn) (1) жүйенің шешімі болады.
Ескерту:(1) жүйенің шешулерін тереңірек зерттеу А матрицасының рангісі арқылы жүргізілетінін айта кетейік.
Дәріс 5-6
векторлар
§1. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар
Кеңістіктегі векторы өзінің үш кординатасы арқылы толық анықталады. Кеңістіктегі векторды кейде үш өлшемді вектор дейді.
Осы вектор ұғымын былайша жалпылауға болады:
Анықтама 1. Реттелген , ..., сандарынан тұратын тізбекті n-өлшемді вектор немесе вектор деп атайды және оны =(, ..., ) символымен белгілейді. Мұндағы санын векторының бірінші координатасы, - екінші координатасы т.с.с. - n-ші координатасы дейді.
Мысалдар
1) Геометриядан белгілі түзүдегі, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторды сәйкес бір, екі немесе үш өлшемді векторлар болып табылады.
2) n-ші ретті анықтауыштың әрбір жолы мен әрбір бағаны n өлшемді вектор болып табылады.
3) m*n өлшемді матрицаның әрбір жолы n-өлшемді, ал әрбір бағаны m-өлшемді вектор болып табылады.
Анықтама 2. =(, ..., ) және =(,) векторының қосындысы + мынадай теңдеуден анықталады: +=( )
Анықтама 3. =(, ..., ) векторының санына көбейтіндісі мынадай теңдеуден анықталады:
Ескерту. n өлшемді векторлар матрицаның дербес, мысалы болғандықтан ( вектор дегеніміз n*1 матрица) бұл анықтамалар бізге матрицалар тетрисынан белгілі.
« n өлшемді векторды» біз көбінесе қысқаша «вектор» деп атайтын боламыз.
Анықтама 4. Барлық координаттары нөлге тең вектор нөл вектор деп аталады және арқылы белгіленеді :
Анықтама 5. (-1) векторын векторына қарама-қарсы вектор деп атайды және оны арқылы белгілейді : =(-1)
Жоғарыда көрсетілген екі амалға қатысты келесі теңдіктердің орындалатынын тексеру қиын емес:
1)
2)
3) 1*
4)
5)
6)
7)
8)
Жоғарыдағы теңдіктерде кез келген векторлар, ал мен кез келген сандар.
Анықтама 6. Векторларды қосу және векторларды санға көбейту жоғарыда көрсетілген тәсілмен анықталған барлық n-өлшемді векторлар жиынын n-өлшемді арифметикалық векторлар кеңістігі деп атайды және оны арқылы белгілейді.
Анықтама 7. Егер қандай да бір L жиынында оның элементтерінің және оның элементтерін санға көбейту амалдары анықталса және ол амалдар жоғарыдағы 8 қасиетті(аксиоманы) қанағаттандыратын болса, онда мұндай жиынды сызықтық кеңестік деп атайтын боламыз.
Мысалдар.
1)m*n өлшемді матрицалар жиыны
2) c[a,b]
§2. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі және оның қасиеттері.
Кеңістіктегі және векторының скаляр көбейтіндісі мынадай формуламен анықталатыны белгілі : =
Осы формулаға ұқсас жолмен n-өлшемді =(, ..., ) және =(,) векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай формуламен анықталады:
= (1)
Скаляр көбейтіндінің мынадай қасиеттері бар:
1)
2)
3) (
4) және сонда және тек қана сонда0 егер болса.
Бұл жерде кез келген n-өлшемді векторлар, ал сан.
Анықтама 1. n өлшемді =(, ..., ) векторының ұзындығы мынадай формуламен анықталады: =. =екені түсінікті.
Анықтама 2. және n-өлшемді векторлардың арасындағы бұрыш мына теңдікпен анықталады: , бұл жерде 0деп есептейміз.
§3. Евклид кеңістігі.
Сызықтық кеңістікте вектордың ұзындығы немесе екі вектордың арасындағы бұрыш ұғымдары жоқ. Бұл ұғымдар сызықтық кеңестіктің дербес түрі болып табылады, евклид кеңестігінде бар болады. Евклид кеңестігін анықтаудан бұрын скаляр көбейтінді ұғымын анықтайық.
Анықтама 1. L сызықты кеңістікте скалярлық көбейтінді анықталған дейміз, егер L-дегі кез келген екі вектор х және у үшін (x,y) арқылы белгіленетін нақты сан сәйкес қойылым және кез келген x, y, z векторлары үшін және кез келген нақты саны үшін осы сәйкестік мынадай шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыратын болса:
1) (x,y)=(y,x)
2) (x+y,z)=(x,z)+(y,z)
3) (
4) және сонда және тек қана сонда, егер х=0 болса.
Мысалы
1) де кез келген көбейтінді
2) C[a,b] (f,g)=
Анықтама 2. Егер L сызықтық кеңестікте скалярлық көбейтінді анықталған болса, онда оны евклидтік кеңестік дейді.
Анықтама 3. Евклид кеңестігідегі х векторының ұзындығы мынадай формуламен анықталады : , ал х пен у векторының арасындағы (0) бұрышы теңдіктен табылады.
§4. Сызықты тәуелді және тәуелсіз векторлар жүйелері
Анықтама 1. берілген сандар, ал , ..., берілген векторлар болса, онда векторын , ..., векторларының сызықты комбинациясы дейді.
Анықтама 2. , ..., векторларын сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз, егер барлығы бірдей ноль болмайтын сандары табылып =0 теңдігі орындалатын болса; егер =0 теңдігінен әр уақытта ==…==0 теңдігі шығатын болса, онда мұндай векторларды сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз.
Сызықты тәуелділік пен тәуелсіздіктің мынадай қасиеттерін атап өтейік.
1) Егер , ..., векторларының арасында нөлдік вектор болса, онда бұл векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;
2) Егер сызықты тәуелді болатын , ..., векторлар жүйесіне бірнеше ,векторларын қоссақ, сонда пайда болған , ..., , , векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;
3) Берілген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін, осы векторлардың ең болмағанда біреуінің қалғандарының сызықты комбинациясы болуы қажетті және жеткілікті болады.
4) Жазықтықтағы екі коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше екі сызықты тәуелсіз вектор коллинеарлы болады.
5) Әрбір үш коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше үш сызықты тәуелді вектор компланарлы болады. Кеңістіктегі әрбір төрт вектор компланарлы болады.
§5. Ортогональды векторлар жүйесі
Анықтама 1. және векторларының скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторларды ортогональ векторлар дейміз.
Нөл вектор кез келген векторға ортогональ болатыны түсінікті.
Анықтама 2. , ..., векторлар жүйесін ортогональ жүйе дейміз, егер бұл векторлардың кез келген екеуі ортогональ болса, яғни ()=0, егер i+j болса.
Анықтама 3. , ..., векторлар жүйесін ортогональды дейміз, егер олар ортогональ жүйе бола және мұндағы әрбір вектордың ұзындығы бірге тең болса.
Ортогональ векторлар жүйесінің кейбір қасиеттерін келтірейік:
1) Ортогональ векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз жүйе болады
2) кеңістігіндегі векторлар жүйесі оргональды жүйе құрайды.
Осы векторлар жүйесін диагональды жүйе деп атайды.
§6. Векторлар жүйесінің базисі, рангісі. Векторларды базис бойынша жіктеу
Анықтама 1. Егер кеңістігіндегі кез келген векторды кеңістігінің қандай да бір сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінің сызықты комбинациясы түрінде жазуға болатын болса, онда ол жүйе кеңістігіндегі базис деп аталады.
Тұжырымдама. Диагональды жүйесі кеңістігінің базисі болып табылады.
Анықтама 2. , ..., векторлар жүйесінде орналасқан векторлар жүйесін бастапқы жүйенің базисі дейміз егер,
1) сызығы тәуелсіз жүйе болса,
2) , ..., жүйедегі әрбір вектор векторларының сызықты комбинациясы түрінде жазылатын болса
Теорема 1. Берілген векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлар саны бірдей болады.
Анықтама 3. Берілген векторлар жүйесінің кез келген базисіндегі векторлар саны осы жүйенің рангісі деп аталады.
Теорема 2. , ..., векторлар жүйесінің әрбір векторы осы жүйенің базисі арқылы жіктеледі және бұл жіктелу тек жалғыз жолмен жүргізіледі.
§7. Векторларды экономикалық есептерде қолдану
Бізде n түрлі өнім бар болсын делік, i-ші өнімдердің саны болсын.
Х=() векторы бізде бірінші түрлі өнімдердің саны , екінші түрлі өнімдердің саны n-ші түрлі өнімдердің саны екенін көрсетіп тұрады.
І-ші өнім бағасы болсын. Р=() векторын бағалар векторы дейді.
(X,P)=барлық өнімдердің бағасын көрсетеді.
Дәріс 7-8