Уравнения и формулы, дополнительные к приведённым в кратком конспекте лекций.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Таблица вариантов

	В а р и а н т ы   1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
З   А   Д   А   Ч   И	101 102 103 104 105 106 107 108 109 110   111 112 113 114 115 116 117 118 119 120   121 122 123 124 125 126 127 128 129 130   131 132 133 134 135 136 137 138 139 140   141 142 143 144 145 146 147 148 149 150   151 152 153 154 155 156 157 158 159 160   161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

 

 

101. Метатель камня находится на горе с наклоном 2 м перепада высоты на

10 м пути и бросает камень в сторону спуска под углом = 45 ^о к горизонту. Скорость камня равна 20 м/с. На каком расстоянии от метателя упадёт камень?

102. Точка движется по окружности так, что проходимый ею путь зависит от времени по закону В момент времени t = 2с полное ускорение точки равно . Чему равен радиус окружности R?

103. Вращающееся с угловой скоростью = 4 рад/с вокруг своей оси симметрии колесо начинает под действием момента тормозящих сил замедлять своё вращение с постоянным угловым ускорением . Чему равен радиус R колеса, если от момента начала торможения до момента полной остановки колеса проходит время t = 6 с, а через время t₁ = 2 с от начала торможения нормальное ускорение точки на ободе колеса было ?

104. Материальная точка движется в плоскости «x y» по закону

Найти в момент времени t = 4 с угол между векторами скорости и ускорения.

105. Камень брошен горизонтально со скоростью v₀ = 20 м/с с высоты H = 20 м. Каково тангенциальное ускорение камня в момент его падения на землю?

106. Точка A находится на ободе колеса радиусом R = 0,5 м, катящегося без скольжения по горизонтальной поверхности с некоторой постоянной скоростью. В начальный момент времени точка касалась поверхности. Какой путь пройдёт точка к тому моменту времени, когда она достигнет максимальной высоты над поверхностью?

107. Максимальная высота снаряда, выпущенного под углом = 60° к горизонту, составляла H_m = 1000 м. Чему была равна скорость снаряда на высоте, равной 0,5H_m?

108. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъёма постоянна: v₀ = 1 м/с. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную составляющую скорости v_x = ay, где , y – высота над уровнем земли. Найти величину полного ускорения шара.

109. Найти величину углового ускорения лопатки турбины, расположенной на расстоянии 100 см от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость линейной скорости лопатки от времени можно представить уравнением .

110. Человек, находясь на расстоянии S = 4 м от вертикальной стены, бросает в её сторону комки глины (под разными углами), которые прилипают к стене. Скорость комка может достигать v₀ = 12 м/с. На какой максимально возможной высоте может оказаться прилипший комок?

111. Тело массой m = 0,6 кг начинает падать с высоты H₀ = 100 м, испытывая силу сопротивления воздуха , v – скорость. Какая скорость будет у тела на высоте H₁ = 20 м над землёй?

112. Лодка под парусом имела скорость v₀ = 3 м/с. Сила сопротивления со стороны воды подчиняется закону , Какова будет скорость лодки через время = 18 с после спуска паруса? Вода стоячая. Масса лодки m = 27 кг.

113. Тело некоторой массой m бросили вертикально вверх со скоростью

v₀ = 25 м/с. Кроме силы тяжести на тело действует сила сопротивления v – скорость. Какой высоты достигнет тело за время t = v₀/2g = 1,25 с?

114. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол = arcsin0,4 с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути x по закону Найти путь, пройденный бруском до остановки.

115. Брусок массой m = 1 кг, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, соединён со стенкой лёгкой горизонтальной пружиной жёсткостью

k = 100 Н/м и находится в покое. С некоторого момента на брусок начинает действовать постоянная сила F = 5 Н, сообщая бруску скорость и растягивая пружину. Найти скорость бруска в тот момент, когда прошла половина времени движения до первой остановки.

116. Брусок массой m = 10 кг начинает двигаться по льду, который неравномерно посыпан песком. К бруску приложена сила F = 300 Н. Коэффициент трения меняется в зависимости от пути x по закону k = k₀sin(bx), где

k₀ = 0,1. b = 0,3 м ^-1. Найти скорость бруска в тот момент, когда он пройдёт путь l = 1м.

117. Пуля, имея скорость v₀ = 600 м/с, пробивает стену и вылетает из неё со скоростью v₁ = 150 м/с. Найти время движения пули в стене, считая силу сопротивления стены пропорциональной кубу скорости движения пули. Отношение коэффициента пропорциональности к массе k/m = 0,0231 с/м².

118. На небольшое тело массой m = 100 г, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt. Где b = 2 Н/с. Направление этой силы всё время составляет угол

= 30^о с горизонтом. Найти путь, пройденный телом до момента отрыва от плоскости.

119. Самолёт идёт на посадку, имея горизонтальную составляющую скорости

v₀ = 42,5 м/с. В момент касания колёс о посадочную полосу возникает сила трения. Коэффициент трения зависит от пути пробега по закону = rS, где S – путь самолёта по полосе. Чему равен пробег самолёта по полосе и сколько времени он длился ?

120. На небольшое тело массой m = 200 г. лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt , где b = 4 Н/с. Направление этой силы всё время составляет угол

= 45^о с горизонтом. Найти скорость тела в момент отрыва от плоскости.

121. На покоящуюся надувную лодку массой m = 20 кг бросили два рюкзака массами m₁ = 12 кг и m₂ = 16 кг. В момент падения в лодку горизонтальные составляющие скорости были v₁ = 2 м/с и v₂ = 2,5 м/с, причём скорости были направлены под прямым углом друг к другу. Какая скорость будет у лодки с рюкзаками?

122. С лодки, движущейся со скоростью v = 2 м/с по стоячей воде, одновременно с противоположных бортов прыгнули в воду два человека под углом = 60^о к направлению её хода. Горизонтальные составляющие скоростей прыгунов относительно лодки v₁ = 3 м/с и v₂ = 5 м/с. После прыжков общая масса лодки изменилась от значения m₀ = 210 кг до значения m = 50 кг, а направление её движения не изменилось. Какой стала новая скорость лодки?

123. В деревянный шар массой m₁ = 330 г, подвешенный на крепкой нити длиной l = 1,6 м, попадает пуля, летевшая под углом = 60^о к горизонту (вниз). Найти скорость пули, если после удара нить отклонилась на угол = 2^о?

124. Цепь длиной l = 2 м лежит на столе. Часть цепи свисает со стола. Если длина свешивающейся части превышает 0,3l , то цепь соскальзывает. Определить скорость цепи в момент отрыва её от стола. Считать, что коэффициенты трения покоя и скольжения одинаковы.

125. Летевшая горизонтально со скоростью v = 60 м/с ракета разорвалась на два осколка, массы которых относятся как 1:3. Осколки разлетаются после взрыва под одинаковыми углами к первоначальному направлению движения ракеты. Какова величина скорости большего осколка сразу после взрыва?

126. Шар массой m₁ = 2 кг сталкивается с шаром большей массой, который покоился. После удара кинетическая энергия первого шара оказалась в 1,5 раза больше, чем кинетическая энергия второго шара. Определить массу второго шара. Удар считать абсолютно упругим и центральным.

127. При падении груза массой m₁ = 0,5 кг на упругую сетку с высоты

H₁ = 0,5 м первый прогиб сетки составил x₁ = 0,1 м. Каков будет первый прогиб сетки, когда на неё положат груз массой m₂ = 4 кг?

128. Шарик массой m = 100 г, скользящий по абсолютно гладкой поверхности со скоростью v, сталкивается с покоившимся шариком массой M . Удар центральный и абсолютно упругий. Чему равна масса второго шарика M, если после удара он стал скользить со скоростью u = v/2?

129. Скользившее по горизонтальной плоскости со скоростью v = 3 м/с тело массой m = 50 г ударяется о другое покоящееся тело массой m = 200 г. Удар центральный и абсолютно упругий. Какую кинетическую энергию получит второе тело после удара?

130. При падении груза массой m₁ = 0,5 кг с высоты H₁ = 0,5 м на сетку первый прогиб сетки составил x₁ = 8 см. Предельно дозволенный прогиб составляет

x_max = 30 см. Какой максимальный груз можно положить на сетку, чтобы первый прогиб не превышал этот предел?

131. Продолжением гладкой горизонтальной поверхности является прямой спуск с углом наклона (рис. 17). Скользящий по гладкой поверхности груз массой m_1`= 100 г и скатывающийся по спуску полый цилиндр массой

m₂₀ = 200 г соединены нитью. С каким ускорением движется груз m₁?

132. В точке O на полу стоит катушка массой m = 0,05 кг и момента инерции . На валик катушки радиусом r = 1,5 см намотана нить (рис. 18). Нить начинают тянуть с силой F = 0,08 Н в горизонтальном направлении. На каком расстоянии от точки O окажется центр катушки спустя время t = 3 с? Радиус дисков катушки R = 2,5 см .

133. На вершине наклонной плоскости с углом наклона = 30^о установлен невесомый блок. На одном конце перекинутой через блок нити висит груз массой m₁ = 150 г. Другой конец нити петлёй захватывает невесомую и скользкую ось катушки, находящейся на наклонной плоскости (рис. 19). Масса каждого диска катушки m₂ = 200 г, радиус r = 3 см. Найти ускорение груза m₁.

134. На барабан массой m₀ = 0,5 кг и радиусом r = 8 см намотан шнур, на конце которого подвешен груз массой m₁ = 320 г. Груз опускается с ускорением . В последующих опытах груз m₁ заменили на груз массой

m₂ = 480 г. С каким ускорением он будет двигаться?

135. С какой угловой скоростью вращался точильный круг перед отключением электродвигателя, если при действии на него тормозящей касательной силы F = 10 Н он успел сделать до остановки N = 6 оборотов? Считается, что после отключения круг не связан ни с какими другими частями механизма. Радиус и момент инерции круга следующие: R = 12 см; I = 10^-3 кгм².

136. Два груза массами m₁ = 0,36 кг и m₂ = 0,6 кг висят на концах нити, намотанной на блок массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,12 м. Ускорение грузов равно . Какова будет величина ускорения груза 1, если нить, на которой висит груз 2, оборвётся? На блок намотано несколько витков нити, и нить с грузом 1 не соскальзывает.

137.Два груза массами m₁ = 0,36 кг и m₂ = 0,6 кг висят на концах нити, намотанной на блок массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,12 м. Ускорение грузов равно . Какова будет величина ускорения груза 2, если нить, на которой висит груз 1, оборвётся? На блок намотано несколько витков нити, и нить с грузом не соскальзывает.

138.На невесомый вал надет маховик радиусом R = 12 см и намотана

нить длиной l = 0,6 м. Масса маховика m = 1,37 кг. Нить тянут с силой

F = 20 Н, тем самым разматывая её и раскручивая маховик. Какую угловую скорость приобретёт маховик к моменту, когда нить окажется размотанной и сорвётся с вала?

139.На шкив маховика радиусом r = 0,04 м намотан шнур, на конце

которого подвешены грузы общей массой m₁ + m₂ = 0,6 кг. Момент инерции маховика . Маховик вращается с угловым ускорением . Каким станет угловое ускорение после того, когда второй груз соскочит, и останется висеть груз массы m₁ = 0,4 кг?

140.В конец вертикально висящего стержня длиной l = 60 см и массой

m = 400 г ударяется пластилиновый шарик массой m₁ = 40 г, летевший со скоростью v₁ = 4 м/с (перпендикулярно стержню) и прилипает к нему. Найти угол отклонения стержня после удара.

141.В нижний конец стержня, способного вращаться вокруг горизонталь

ной оси, попадает комок пластилина и прилипает к нему. Длина стержня

l = 20 cм, масса его m₁ = 300 г. Скорость комка пластилина v₂ = 3 м/с. Какой должна быть минимальная масса комка m₂, чтобы стержень смог совершить полный оборот?

142.В центре горизонтального диска массой m₁ = 20 г и радиусом

R = 10 см сидит жук массой m₂ = 2 г. Диск вращается, делая n = 4 об/с. Какое тепло выделится, если жук переползёт на край диска ?

143. В диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 300 г, способный вращаться вокруг своей главной оси симметрии, с противоположных сторон попадают две пули и застревают в нём. Масса каждой пули m₁ = 20 г, скорости пуль v₁ = v₂ = 40 м/с. Линии полёта пуль (прямые) лежат в плоскости диска и проходят на расстояниях h = R/2 от центра диска. Какую кинетическую энергию получит диск?

144. Пуля массой m = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v = 4 м/с, застряла в нижнем конце лёгкого тонкого стержня массы M = 20 г, подвешенного вертикально. После удара стержень отклонился на угол . Какова длина стержня?

145. Кольцо радиусом R = 6 см висело на вбитом в стену гвозде с помощью приделанного к кольцу ушка. Затем путём поворота кольцо перевели в самое верхнее положение и при этом сломали ушко (см. рис. 15). Далее кольцо падает (рис. 20) и, повернувшись на угол 90^о, отрывается от гвоздя. На какой угол повёрнётся кольцо за время t = 1,6 с после отрыва?

146. Круглая платформа в виде диска массой m₁ = 60 кг и радиусом R = 1,6 м может вращаться в горизонтальной плоскости. Человек, стоящий в центре платформы, начинает крутить над головой велосипедное колесо и раскручивает его до угловой скорости = 12 рад/с. Какую кинетическую энергию приобретёт платформа? Момент инерции велоколеса

147. Кусок пластилина массой m = 20 г, летевший горизонтально по касательной к неподвижному диску, прилип к его краю. Диск начал вращаться вокруг закреплённой вертикальной оси, проходящей через его центр. Сразу после удара кинетическая энергия системы составила 1/4 от первоначальной кинетической энергии пластилина. Какова масса диска? Радиус диска R = 0,2 м.

148. К неподвижной, способной вращаться, круговой платформе подбегают с одинаковой стороны к противоположным краям платформы два человека и вспрыгивают на неё (рис. 21). Массы и скорости людей: m₁ = 40 кг; v₁ = 4 м/с; m₂ = 50 кг; v₂ = 3 м/с. Радиус платформы R = 2 м, масса её – m = 60 кг. Найти кинетическую энергию, полученную платформой?

149. Шарик и кольцо, одновременно скатившись с наклонной плоскости некоторой высоты, катятся дальше по гладкому горизонтальному участку. В некоторый момент времени кольцо оказалось на расстоянии S₁ = 2 м от подножия наклонной плоскости. На каком расстоянии от кольца в этот же момент будет шарик?

150. Диск радиуса R = 6 см висел на вбитом в стену гвозде с помощью приделанного к нему ушка. Затем путём поворота диск перевели в самое верхнее положение и при этом сломали ушко (см. рис. 21). Далее диск падает (см. рис. 26) и, повернувшись на 90^о, отрывается от гвоздя. На какой угол окажется повёрнутым диск спустя время t = 1с после отрыва?

151. У двух одинаковых маятников период незатухающих колебаний T = 1 с. Когда один из маятников поместили в среду, то его отставание по фазе от другого маятника стало составлять за каждые t₁ = 20с. Найти логарифмический декремент затухания маятника.

152. От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда волн A = 10 cм. Как велико смещение точки, удалённой от источника на расстояние r = 3/4 длины волны в момент, когда от начала колебаний источника прошло время t = 0,9T , где T – период колебаний?

153. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. В некоторый момент времени смещение точки есть x₁ = 5 см. В другой момент времени, когда фаза колебаний стала вдвое больше, смещение точки стало x₂ = 8 см. Определить амплитуду колебаний.

154. На берегу разлива реки в спокойной воде находятся на одной прямой три поплавка трёх удочек, принадлежащих трём рыбакам. Два крайних рыбака одновременно выдернули свои удочки с попавшимися на крючок рыбами и вызвали одинаковые по частоте волны. Амплитуда волны в месте возникновения A₀ = 2,4 см. Амплитуда волны уменьшается с расстоянием r по закону

A =A₀(5/r) , где = 0,2 м - длина волны. Расстояния от среднего поплавка до крайних: r₁ = 7,8 м; r₂ = 8,2 м. С какой амплитудой начнёт колебаться средний поплавок?

155.Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний T = 2 с,

амплитуда A = 50 см, начальная фаза равна нулю. Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия x = 25 мм.

156. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t оказалось. что: cмещение точки x = 5 cм, скорость v = 20 см/с и модуль ускорения . Определить амплитуду и период колебаний.

157. Математический маятник с периодом T₀ = 0,6 с за некоторое время сделал N₀ = 40 колебаний. После того, как к нему прикрепили самописец в виде лёгкой кисточки, он за то же время стал делать N = 39,75 колебаний. Во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний маятника за данное время?

158. В некоторый момент времени координата точки, совершающей гармоническое колебание, оказалась x = 6 см, а скорость точки v = 24 см/с, что составляет половину амплитудного значения скорости. Определить период и амплитуду колебаний.

159. При сложении одинаково направленных гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами, равными 2 см и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой 5 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

160. Начальная фаза гармонического колебания ₀ = 0^о. при смещении точки от положения равновесия на x₁ =2,4 см скорость её оказывается v₁ = 3 cм/с, а при смещении x₂ = 2,8 см её скорость будет v₂ = 2 см/с. Найти амплитуду A и период T этого колебания.

161. Под действием веса электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h= 1 мм. При каком числе оборотов n якоря мотора может возникнуть опасность резонанса? Ускорение свободного падения g принять равным .

162. Математический маятник массой m = 100 г и длиной l = 1 м совершает гармонические колебания по закону = 0,25sint, где – угол отклонения нити маятника. Определить натяжение нити в момент времени t = T/2.

163. Момент инерции физического маятника относительно точки подвеса , а расстояние от точки подвеса до центра масс d = 10 см. К центру масс прикрепили конец горизонтальной пружины жёсткости k = 40 Н/м. Другой конец пружины жёстко закреплён. Найти период колебаний системы.

164. Частота колебаний стального шарика радиусом r = 0,01м, прикреплённого к пружине, в воздухе равна , а частота колебаний этой же системы в жидкости . Найти коэффициент вязкости жидкости. считая, что действующая на шарик в среде вязкая сила описывается законом Стокса.

165. Период колебаний крутильного маятника, состоящего из кольца, соединённого спиральной пружиной с осью вращения (рис.22), T = 4 с. Коэффициент пропорциональности между моментом силы и углом поворота пружины

k = 0,01 Нм/рад (по смыслу, это момент силы при единичном угле поворота). Определить момент инерции кольца.

166. Жёсткость пружины рессоры вагона k=481 кН/м. Масса вагона с грузом

m = 64 т. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости v вагон начнёт сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса l = 12,8 м?

167. Тонкий обруч, подвешенный на вбитый в стену гвоздь, колеблется с периодом колебаний T = 0,8 с. Определить радиус обруча.

168. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с тело потеряло долю

D = 0,6 своей энергии. Найти коэффициент сопротивления при движении тела в такой среде.

169. Период колебаний крутильного маятника T₀ = 4 c. Если на расстоянии

h = 0,2 м от оси вращения к нему прикрепить шар массой m = 0,05 кг (радиус шара r << h) , то период колебаний станет T₁ = 4,5с. Определить момент инерции маятника.

170. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая (по сравнению со всей длиной) его часть. Период вертикальных колебаний бревна T = 5 с. Определить длину бревна.

2. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

2.1 ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ В ТЕРМОДИНАМИКЕ

И МОЛЕКЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Термодинамический и статистический методы описания макроскопических систем. Параметры системы. Термодинамическое равновесие и температура. Уравнение состояния системы. Уравнение состояния идеального газа. Работа при квазистатических процессах с идеальным газом. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Теплота – форма изменения внутренней энергии. Теплоёмкость системы. Первый закон термодинамики и его применение к различным процессам в идеальном газе.

Адиабатический процесс. Тепловые машины. Циклы. КПД цикла.

Цикл Карно. Второй закон термодинамики. Энтропия – функция состояния системы, её вычисление. Закон возрастания энтропии в изолированных системах.

Распределение молекул по скоростям Максвелла. Средние скорости мо

лекул. Распределение средней кинетической энергии по степеням свободы. Распределение Больцмана для молекул во внешнем силовом поле. Барометрическая формула.

Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега молекулы.

Общая характеристика явлений переноса. Диффузия, теплопроводность и вязкость в газах.

 

 

2.2 КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ТЕРМОДИНАМИКА

О с н о в н ы е п о н я т и я . I з а к о н т е р м о д и н а м и к и

В настоящее время о термодинамике принято говорить как о методе (подходе) рассмотрения явлений в макроскопических системах. Сущность метода – использование энергетических соотношений при том или ином процессе. В термодинамике устанавливаются некоторые соотношения между изменениями макроскопических ( прежде всего энергетических) величин, сопровождающими данное явление.

По своей логической структуре термодинамика представляет собой некоторые положения – аксиомы, называемые законами (или началами), дополненные сводом необходимых понятий и определений, а также способами описания некоторых важнейших макроскопических систем.

Основными понятиями в термодинамике являются внутренняя энергия, работа, теплота. Внутрення энергия – это энергия, заключённая в системе, помимо кинетической энергии движения системы как целого и потенциальной энергии центра масс системы во внешнем силовом поле.Проще говоря, внутренняя энергия – это энергия скрытых движений в системе. Внутренняя энергия есть функция состояния. Это значит, что если с системой начались какие-то изменения, но в конце концов система вернулась в исходное положение (восстановились все прежние внешние условия и все признаки системы стабилизировались), то внутренняя энергия принимает значение, присущее данному начальному состоянию. То есть в результате замкнутого процесса полное изменение внутренней энергии равно нулю:

. (1)

Внутренняя энергия U может измениться в силу двух причин: совершения работы и получения теплоты извне.

Работа – макроскопическая (упорядоченная, явная) форма изменения внутренней энергии. Работа совершается, когда есть перемещения точек приложения внешних сил.

Теплота – неупорядоченная (скрытая) форма изменения внутренней энергии. Теплота может сообщаться системе при контакте её с внешними телами.

С помощью этих понятий формулируется I закон термодинамики: Теплота. сообщённая системе, идёт на изменение внутренней энергии и на совершение работы системой над внешними телами.Запись I закона:

(2)

I закон термодинамики становится "плодотворным" тогда, когда входящие в него величины (теплота Q, работа A, внутренняя энергия U) большей частью выражены через наблюдаемые параметры системы. Параметры системы – это те макроскопические признаки системы, с помощью которых можно охарактеризовать её состояние. Примеры параметров: объём, давление, температура, напряжённость электрического поля (в диэлектриках), состав (сплава металлов. раствора). Для системы "газ" совершённую им элементарную работу можно представить как произведение давления на изменение объёма:

. (3)

Особым параметром является температура. Его ещё называют параметром равновесия. Дело в том, что в системе при неизменных внешних условиях могут продолжаться какие-то процессы, если эти внешние условия стали поддерживаться не так давно. Но если эти условия продолжать поддерживать и дальше очень долго, то все внутренние процессы в системе прекратятся. Как говорят, наступит равновесие. Положение о неминуемом наступлении равновесия в системе при длительных неизменных внешних условиях часто называют нулевым законом термодинамики.

Из приводимых ниже рассуждений можно придти к выводу о том, что кроме параметров, смысл и способы наблюдения которых достаточно известны (давление, объём, масса, состав ..), существует ещё некий интенсивный параметр, смысл и способ наблюдения которого надо ещё уточнять.

Представим себе, что изучаемая система (пробная система) находится долгое время в контакте с внешним телом 1 гораздо больших размеров и массы. Если говорить о теле 1, то оно находится в своём равновесии и присоединение к нему пробной системы не нарушило это равновесие (из-за массивности тела 1). Будем в дальнейшем называть такое тело термостатом. Далее в контактирующей с термостатом 1 пробной системе можно осуществлять так называемые квазиравновесные процессы, медленно меняя какой-либо параметр путём внешнего вмешательства. Например, если пробной системой является газ в цилиндре под поршнем, то при медленном принудительном движении поршня газ всегда успевает прийти в состояние равновесия по отношению к новому положению поршня. Так, в случае не очень больших плотностей газа, как показывает опыт, давление газа в новом положении поршня становится таким, чтобы произведение давления на объём оставалось неизменным. Фиксируя значения объёма при разных положениях поршня и замеряя соответствующие значения давления, мы получим зависимость между давлением и объёмом p = f₁(V). Нетрудно понять, что при контакте той же самой пробной системы уже с другим термостатом 2 (3.4,..) будет своя зависимость давления от объёма p = f₂(V), p = f₃(V), p = f₄(V), … , .Нет никаких оснований считать, что эти зависимости должны совпадать. Наблюдения подтверждают эти соображения. Как показывают опыты, графики функций f₁(V), f₂(V), f₃(V) и т.д. не пересекаются. В случае газов невысокой плотности графики есть гиперболы одного семейства.

С точки зрения влияния термостатов на пробную систему все они однотипны (хотя могут быть разной природы) и должны отличаться друг от друга значением некоторого параметра t. Нетрудно дальше понять, что этот параметр есть температура. Между основными параметрами системы, среди которых и температура, существует функциональная связь. Например, для газа неизменной массы это

p = f(t,V). (4)

Говорят, что параметры связаны между собой уравнением состояния. Та или иная эмпирическая шкала температур основана на использовании уравнения состояния и предположении, что изменение какого-либо легко наблюдаемого параметра и изменение температуры (при неизменных прочих параметрах) пропорциональны. Так, например, шкала Цельсия основана на пропорциональности между изменением объёма ртути при постоянном давлении и изменением температуры. При введении любой величины (в нашем случае параметра) всегда указывается способ измерения Как теперь ясно из вышеизложенного, для измерения температуры пробного тела с ним надо привести в контакт другое малое тело, по отношению к которому пробное тело является термостатом. Чтобы обеспечить постоянство температуры, нужно поддерживать контакт пробного тела с термостатом.

Простейшей термодинамической системой, которая наиболее часто используется для иллюстрации выводов термодинамики, является идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа имеет вид

, (5)

где – число молей; T – температура по шкале Кельвина (абсолютная температура); R – универсальная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/К).

Равновесное состояние можно изобразить точкой на диаграмме, осями которой являются основные параметры. Например, для газа это будут диаграммы V – p, V – T, p – T.

В термодинамике часто имеют в виду квазистатический (квазиравновесный) процесс. Выше уже говорилось, что это за процесс. Это процесс настолько медленный, что система всегда успевает прийти в равновесие по отношению к новым внешним условиям (успевает "подстроиться", .."срелаксировать").. Процесс можно изобразить линией на диаграмме состояний. Не всякий реальный процесс может считаться квазистатическим.

Квазистатические процессы являются ещё и обратимыми процессами. Ведь каждое промежуточное состояние считается равновесным. А при равновесии градиенты всех величин (давления, плотности, и т.д.) равны нулю. Значит, система из такого состояния может перейти в следующее как в прямом, так и в обратном направлениях.

Равновесная термодинамика старается заменить реальный процесс квазистатическим процессом. Квазистатический процесс должен быть эквивалентен данному реальному процессу в отношении работы и теплоты. Выводы, полученные для эквивалентного квазистатического процесса, термодинамика старается перенести на реальный процесс (с той или иной степенью натяжки).

Продолжая мысль о том, как основные термодинамические величины (работу, теплоту) выразить через наблюдаемые параметры, приступим к вопросу о теплоёмкости системы.

Те п л о ё м к о с т ь с и с т е м ы . П р о ц е с с ы с и д е а л ь н ы м г а з о м

Теплоёмкостью системы называется количество тепла, которое необходимо сообщить системе, чтобы температура её увеличилась на 1^o. Можно записать

.

Если под системой понимается 1 моль вещества, то теплоёмкость называется молярной и обозначается C. Если под системой понимается единица массы вещества, то теплоёмкость называется удельной и обозначается c_уд. Названные теплоёмкости связаны друг с другом соотношениями

Здесь m – масса; M – молярная масса; C_m – теплоёмкость системы массы m.

Введение теплоёмкости и особенно молярной и удельной теплоёмкостей позволяет при сходных условиях сравнивать системы из разного вещества и разной структуры.

Теплоёмкость характеризует процесс. Можно указать разные процессы, приводящие к одному и тому же изменению температуры, но при каждом из них системе сообщается разное количество тепла.

Итак, количество тела. сообщённое системе при квазистатическом процессе, можно теперь записать как

.

На основании I закона изменение внутренней энергии можно записать следующим образом:

.

Обратимся к системе "идеальный газ". Запишем I закон термодинамики для изохорического процесса:

(6)

Внутренняя энергия идеального газа есть функция только температуры (при неизменной массе).

Разберём изобарический процесс с идеальным газом. Для этого процесса теплота запишется . Для записи изменения внутренней энергии используем формулы (6). Тогда по I закону термодинамики

.

В соответствии с уравнением состояния (5) величина pdV при постоянстве p перепишется как . И из последнего равенства получается

C_p = C_V + R. (7)

Таким образом, с помощью I закона термодинамики и уравнения состояния идеального газа удалось получить полезную формулу, выражающую соотношение между теплоёмкостями C_p и С_V (оно называется соотношением Майера).

Работа при длительном изобарическом процессе может быть записана как

A = p(V₂ - V₁).

Изотермический процесс с идеальным газом.Для этого процесса

T = const, dT = 0. Изменение внутренней энергии (функции только температуры) равно нулю. Значит, по I закону термодинамики

. (8)

Сообщённая газу теплота идёт на совершение им работы. Это самый подходящий процесс для тепловой машины (если не замечать трудностей обеспечивания многократной повторяемости процесса).

Приведём запись работы и теплоты через наблюдаемые параметры:

.

. (9)

Ещё одним замечательным процессом является адиабатический процесс – процесс без теплообмена с окружающей средой.На практике адиабатическими можно считать такие процессы, когда за характерное время процесса система не успевает получить заметное количество тепла (по сравнению, например, с работой). Критерий отсутствия теплообмена должен учитывать и теплоизоляционные качества стенок и быстроту протекания процесса. Даже в случае, казалось бы, плохих теплоизоляционных характеристик стенок процесс является адиабатическим, если протекает достаточно быстро. Примерами адиабатического процесса являются: быстрое расширение газа при кратковременном вытекании некоторой порции его через малое отверстие; быстрое сжатие горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания; периодические сжатия и расширения вещества в поле звуковой волны.

Быстрые адиабатические процессы могут считаться квазистатическими, если при сравнительно малых экстенсивных параметрах системы время релаксационных процессов в ней пренебрежимо мало по сравнению с характерным временем процесса.

Выясним, каковы соотношения между наблюдаемыми параметрами при квазистатическом адиабатическом процессе с идеальным газом. По I закону термодинамики .

С помощью уравнения состояния (4) выразим dT через p, V, dp, dV :

.

Подставив dT в I закон термодинамики, получим

.

Так как C_V + R = C_p, то далее удобно ввести константу , называемую адиабатической постоянной. И тогда , откуда далее

. (10)

Уравнение (10) называется уравнением Пуассона. Его можно переписать в переменных V,T или p,T :

 

. (10^l)

. (10^ll)

Уравнение Пуассона говорит о связи между изменениями каких-либо двух параметров, хотя при адиабатическом процессе меняются все три параметра V, p, T . На диаграмме V – p график адиабатического процесса (кратко, адиабаты) представляет собой гиперболу класса . Адиабата всегда идёт круче изотермы.

Как записать работу при адиабатическом процессе с идеальным газом? Исходим из формулы . Для неэлементарного процесса 1 – 2

.

Наиболее доступной для наблюдения величиной является объём. В последней записи отношение температур с помощью формулы (10^l) выразим через отношение объёмов, а для преобразования величины воспользуемся соотношением Майера и уравнением состояния:

;

. (11)

Все рассмотренные выше процессы относятся к политропическим процессам. Для всех политропических процессов соблюдается постоянство теплоёмкости (она не меняется в ходе процесса). Общее уравнение политропического процесса pVⁿ = const, где n – число (целое или дробное).

 

Э н т р о п и я –– ф у н к ц и я с о с т о я н и я с и с т е м ы

Будем иметь в виду систему – идеальный газ. Рассмотрим величину при квазистатическом, а значит, и при обратимом процессе:

Правую часть можно представить как дифференциал некоторого выражения, а именно: . В выражение в квадратных скобках входят параметры состояния, а значит, и само выражение есть функция состояния. Последнее утверждение можно обобщить на произвольную систему (обобщение такое составляет содержание теоремы Карно). Таким образом, при обратимых процессах величина есть дифференциал некоторой функции состояния S. Эта функция была названа энтропией(по Клаузиусу).

(12)

Запишем формулу изменения энтропии для процесса 1 – 2 с идеальным газом:

. (13)

Мерой чего является энтропия? Энтропия есть мера хаотичности теплового движения. Это можно увидеть из таких примеров.

Пример 1. Плавление кристаллического тела, когда системе сообщается тепло при некоторой постоянной температуре, и в соответствии с формулой (12) энтропия увеличивается. Известно, что при плавлении движение атомов и молекул становится гораздо более неупорядоченным. Только с этим и можно связать изменение S.

Пример 2. Изотермическое расширение идеального газа от объёма V₁ до объёма V₂ > V₁. Здесь в соответствии с формулой (13) изменение энтропии положительно, а молекулам газа предоставляется больший объём, то есть "большая свобода", "больший оперативный простор". Степень неупорядоченности увеличивается и только с этим можно связать увеличение энтропии. Можно привести и другие подобные примеры.

 

 

З а к о н в о з р а с т а н и я э н т р о п и и

Энтропию как меру хаотичности теплового движения можно приписывать как равновесным, так и неравновесным состояниям. Как меняется энтропия при некотором необратимом процессе в изолированной системе, когда она "самостоятельно" переходит от состояний, далёких от равновесия, к состояниям, близким к равновесию и в конце концов к равновесию? Обратимся опять к примерам.

Пример 3. В начальном состоянии имеются две разделённые половинки стержня. Температура левой половинки T₁, температура правой половинки

T₂ < T₁ . Далее половинки приводятся в контакт через вспомогательную узкую прослойку, теплопроводность которой гораздо меньше теплопроводности материала стержня. Путём теплопроводности через прослойку происходит выравнивание температур, когда температура каждой половинки будет T = 0,5(T₁ +T₂). Процессы нагревания правой половинки и охлаждения левой половинки можно считать квазистатическими и обратимыми. За необратимость процесса во всей системе 1 + 2 отвечает контакт между половинками.(узкая прослойка). Изменение энтропии можно представить как сумму изменения энтропии в первой половинке и изменения таковой во второй половинке, то есть

.

.

Так как T²/T₁T₂ = (T₁ + T₂)²/4T₁T₂ > 0, то .

Пример 4. Идеальный газ расширяется в пустоту в условиях механической и тепловой изоляции (рис. 23). Вначале газ находился в объёме V₁, ограниченном перегородкой A. По другую сторону от перегородки никакого газа нет (вакуум). После резкого удаления перегородки газ занимает объём V₂ > V₁. Расширение происходит без совершения работы и без теплообмена. Поэтому внутренняя энергия не меняется, а следовательно, не меняется температура. При подсчёте изменения энтропии мы можем принять, что состояние 1 (V = V₁) есть конечное состояние обратимого зотермического расширения от некоторого начального объёма V₀ до объёма V₁ > V₀, а состояние 2 (V=V₂) – конечное состояние обратимого изотермического расширения от V₀ до V₂. Согласно формуле (13) разность энтропий в состояниях 2 и 1 можно представить так:

.

Рассмотренные примеры позволяют сделать обобщение: В замкнутых изолированных системах энтропия не убывает:

. (14)

Если в полностью изолированной системе отсутствуют процессы (система в своём равновесии), то энтропия не меняется. Если же в системе идут необратимые процессы, а в замкнутых изолированных системах возможны только такие, то энтропия возрастает. Короче, в таких системах энтропия стремится к максимуму.

 

II з а к о н т е р м о д и н а м и к и и к. п. д. т е п л о в ы х м а ш и н

Утверждение, выражаемое записью (14), есть одна из формулировок II закона термодинамики. Другие формулировки II закона термодинамики (классические) читаются так:

Невозможен двигатель, который периодически забирал бы из одного теплового резервуара некоторое количество тепла и полностью превращал бы его в работу без каких-либо изменений в окружающих телах(формулировка Томсона- Кельвина);

Невозможен самопроизвольный переход тепла от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой без каких-либо изменений в окружающих телах(формулировка Клаузиуса).

Тепловой двигатель, упомянутый в формулировке Томсона-Кельвина, называют вечным двигателем II рода. Невозможен вечный двигатель II рода – это уже формулировка Планка.

Все приведённые формулировки равносильны. В своё время формулировки II закона термодинамики появились в связи с вопросом о к.п.д. тепловых машин. В тепловых машинах система периодически должна совершать работу над внешними телами. Это значит, что система периодически должна возвращаться в начальное состояние 1 (рис. 24), причём возвращаться иным путём, нежели при удалении из состояния 1 (чтобы работа над системой при возвращении её была меньше работы системы над внешними телами при удалении её из состояния 1). То есть система совершает замкнутый процесс – цикл. За цикл совершается в целом положительная работа A, которая численно равна площади фигуры цикла. Это ясно видно, если используется диаграмма V – p. На какой- то части цикла система получает тепло Q₁ от одних внешних тел – нагревателя (на рис. 24 участок a). На другой части цикла система отдаёт некоторое количество тепла Q₂ (рис. 24, участок b). Как можно убедиться с помощью формулировок II закона, получать тепло от системы должны уже другие тела – холодильник. По I закону термодинамики для цикла

Q = Q₁ - Q₂ = A, (15)

так как изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Работа A считается полезной величиной, теплота нагревателя Q₁ считается затратами. К.п.д. цикла (т.е. к.п.д. тепловой машины) будет

. (16)

 

Как II закон термодинамики помогает делать суждения о к.п.д. тепловой машины при конкретных холодильнике и нагревателе и как "перекликаются" между собой разные формулировки II закона термодинамики, разберём всё это на следующем примере. Пусть имеются два массивных тела с температурами T₁ и T₂ < T₁ соответственно (рис. 25). В дальнейшем будем их называть термостатами. Ещё тело 1 можно назвать нагревателем, тело 2 –– холодильником. Если бы не было тела 2 (холодильника), получить работу с помощью од ного первого тела было бы невозможно. Об этом прямо говорит формулировка Томсона – Кельвина. С точки зрения энтропии система (тело 1) находится в равновесии, энтропия максимальна, процессы возникнуть не могут (энтропия не может убывать). Большая система из двух тел 1 и 2 является в принципе неравновесной, так как температуры её частей разные. В этой системе «можно спровоцировать» процессы и получить работу. Простой контакт тела 1 с телом 2 ничего не даст. Будет необратимый процесс теплопроводности подобно процессу в примере 1. Работа не совершается (нет перемещений стенок). Нужно поступить более разумно – ввести рабочее тело, которое поочередно то контактирует с телом 1, то не контактирует ни с каким телом, то контактирует с телом 2. Лучше всего роль рабочего тела выполняет газ, так как он заметно меняет свой внешний параметр – объём. Работа, совершаемая рабочим телом, будет тем больше, чем меньше мы допустим какие-либо необратимые процессы. Самый лучший случай – случай, когда необратимые процессы вовсе исключены. Это значит, что при контакте рабочего тела с термостатом 1 температура рабочего тела должна быть T₁ , а при контакте его с термостатом 2 температура должна быть T₂. Когда рабочее тело не контактирует ни с одним термостатом (изолировано), температура его меняется между значениями T₁ и T₂.. Таким образом, самый выгодный цикл с рабочим телом в случае термостатов с постоянными температурами T₁ и T₂ должен состоять из двух изотерм и двух адиабат (рис. 26). Такой цикл называется циклом Карно. К.п.д. тепловой машины, работающей с нагревателем, постоянная температура которого T₁, и холодильником, постоянная температура которого T₂, будет максимально возможным, если цикл рабочего тела есть цикл Карно.Выделенное предложение есть содержание теоремы Карно. Легко составить формулу для к.п.д. цикла Карно. В соответствии с формулой (12) для обратимых процессов можно записать (см. рис. 26):

И к.п.д. цикла Карно будет

. (17)

м о л е к у л я р н о – к и н е т и ч е с к а я

т е о р и я

Поведение макроскопических тел изучается ещё молекулярно–кинетической теорией (МКТ). Другое название этой теории – физическая статистика (статистическая физика). Здесь макроскопические свойства тел объясняются с помощью представлений об атомно–молекулярной структуре вещества. Основные положения молекулярно–кинетической теории следующие.

1. Тела состоят из множества микрочастиц –– атомов и молекул, находящихся в беспрестанном хаотическом движении.

2. В течение большого промежутка времени поведение частиц или даже групп частиц подчиняется статистическим закономерностям.

3. Статистические закономерности можно описать с помощью некоторых функций распределения.

4. Любой макроскопический параметр системы есть статистически среднее от некоторой микроскопической величины. Подсчёт статистически среднего проводится с помощью функций распределения.

Положения 1 и 2 являются обобщением всего опыта, накопленного наукой и практической деятельностью. В чём заключаются статистические закономерности? Поведение одной частицы в течение большого промежутка времени (когда на её движение повлияли много других частиц) выглядит настолько замысловатым и запутанным, что, казалось бы , трудно о нём сказать что–то определённое. Однако это как раз позволяет сделать утверждение (чуждое духу детерменизма): частица за большое время обязательно побывает в любом наперёд заданном состоянии, в каких–то состояниях она побывает чаще, в каких–то состояниях – реже. Как можно пояснить положение 4? Например, давление газа есть статистически среднее от такой микроскопической величины как импульс, передаваемый единице площади стенки за единицу времени.

Максвелловское распределение молекул по скоростям. Статистические закономерности поведения макросистемы можно описать с помощью функций распределения. Одной из таких функций, причём важнейших функций, является функция, описывающая распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла). Доля молекул dN(v)/N, величины скорости которых имеют значение v в пределах dv, пропорциональна интервалу dv и, кроме того, есть функция v:

(18)

Здесь k = R/N_A – постоянная Больцмана; – постоянная; m – масса молекулы; N_A – число Авогадро.

Самым главным (ответственным) множителем здесь является множитель

, (19)

называемый функцией Максвелла. Множитель можно истолковать как элемент объёма в скоростном пространстве (пространстве, где осями являются v_x, v_y, v_z ). С помощью распределения Максвелла можно найти среднее значение величины, являющейся функцией скорости. Например: средняя скорость <v> , средний квадрат скорости <v²> . Процедура подсчёта средних такова:

(20)

Для средней скорости и среднего квадрата скорости формула (20) перепишется:в виде

(21)

. . (22)

Опираясь на формулу (22), можно записать формулу для средней кинетической энергии молекулы, если последнюю считать материальной точкой:

. (23)

Наряду со средней скоростью <v> и среднеквадратичной скоростью (<v²>)^1/2 часто требуется знать так называемую вероятную скорость v_P. Это значение скорости, соответствующее максимуму выражения dN/Ndv. Такая скорость чаще всего встречается у молекул. Исследуя на максимум множитель перед dv в правой части (17), получим

. (24)

Теплоёмкость идеального газа по классической молекулярно-инетической теории.В формуле (23) для средней кинетической энергии молекула считается материальной точкой, имеющей три степени свободы. Все эти степени свободы равноправны, и поэтому на каждую степень свободы приходится средняя энергия kT/2. Этот результат обобщается на случай, когда молекула не является материальной точкой и имеет дополнительные степени свободы. Это формулируется как теорема о равномерном распределении средней энергии частицы по степеням свободы.

Так в двухатомной молекуле наряду с поступательным движением (три степени свободы) возможны вращательные движения вокруг двух осей, перпендикулярных оси молекулы. А если между атомами молекулы существует упругая связь (расстояние между атомами меняется), то этой связи следует приписать две степени свободы, на каждую из которых приходится средняя энергия kT/2 По теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы на каждую степень свободы (поступательную ли, вращательную ли,) приходится средняя энергия kT/2. Средняя энергия колебательного движения состоит из средней кинетической энергии и средней потенциальной энергии. В случае гармонических колебаний эти энергии равны друг другу и, значит, средняя энергия колебательного движения молекулы равна kT/2 + kT/2 = kT. Теплоёмкость идеального газа определяется тем, сколько степеней свободы и какие именно степени свободы следует приписать молекуле газа.

Если газ одноатомный (He, Ne, Ar ..}, то молекуле следует приписать три поступательные степени свободы. Внутренняя энергия одного моля будет N_AkT/2, где N_A – число Авогадро. В соответствии с этим мольные теплоёмкости C_V , C_p и адиабатическая постоянная будут:

.

Для идеального газа из двухатомных молекул без упругой связи между атомамичисло степеней свободы равно пяти ( три поступательных и две вращательных). Отсюда для теплоёмкостей и адиабатической постоянной получится:

.

Для газа из двухатомных молекул с упругой связью между атомами число степеней свободы равно семи. Поэтому внутренняя энергия одного моля такого газа будет

N_A(kT/2)(3 + 2 + 2) = (7/2)N_AkT.

Отсюда

.

Минимальное значение C_V трёхатомного газа равно 3R (три поступательные степени свободы и три вращательные). В этом случае молярная теплоёмкости и адиабатическая постоянная будут

Более высокие значения определяются тем, сколько колебательных степеней свободы имеет молекула газа при данной температуре.

Результаты опытов говорят о том, что значение C_V двухатомного газа равно либо 3R/2 (при очень низких температурах), либо 5R/2 (температуры порядка комнатной), либо 7R/2 (при очень высоких температурах). Почему вращательные степени свободы появляются лишь при комнатных температурах и выше, а колебательные степени свободы появляются при очень высоких температурах? Этого классическая молекулярно-кинетическая теория объяснить не может. Эту трудность преодолевает квантовая механика.

Распределение Больцмана. Так как скорость и кинетическая энергия связаны однозначно, то распределение Максвелла можно назвать распределением по кинетическим энергиям. В формуле (17) в показатель степени входит кинетическая энергия, делённая на kT, а множитель v²dv можно переписать через энергию E и dE:.

.

Если система находится во внешнем силовом поле, то частицы наряду с кинетической энергией имеют потенциальную энергию во внешнем силовом поле. Потенциальная энергия отдельной частицы за большое время меняется как случайная величина. Есть все основания считать, что закон случая для потенциальной энергии будет тем же самым, что и для кинетической энергии. Тогда для распределения по потенциальным энергиям можно записать

.

Формула записана по аналогии с формулой (17). Вместо кинетической энергии теперь фигурирует потенциальная энергия U(x,y,z), вместо элемента скоростного объёма – элемент реального пространства dV = dxdydz. При переходе к более удобной записи формулы вводят плотность частиц n = dN/dV и новую константу Nconst = const^l = n₀. Тогда

. (25)

Константа n₀ имеет смысл концентрации частиц в том месте, где потенциальная энергия равна нулю.

Формулу (25) можно применить к молекулам атмосферы Земли, считая их частицами одинаковой массы ( ), а также к отдельной компоненте смеси газов атмосферы – азоту, кислороду, углекислому газу, водороду и т.д. В этом случае

. (26)

Здесь z – высота над поверхностью Земли.

Чем больше масса молекулы газа, тем быстрее концентрация газа убывает с высотой. На большой высоте состав атмосферы обогащён более лёгкими фрациями и обеднён более тяжёлыми фракциями. Если равенство (26) помножить на kT, причём температура T считается не зависящей от z, а газ считается идеальным, то получится барометрическая формула

. (27)

С помощью этой формулы можно узнавать высоту, сравнивая показания барометра в данном положении с показаниями барометра на уровне Земли.

 

Я в л е н и я п е р е н о с а , д л и н а с в о б о д н о г о п р о б е г а,

к о э ф ф и ц и е н т ы п е р е н о с а