Некоторые положения теории
Д-2 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Общие теоремы динамики представляют собой преобразованные выражения основного закона динамики материальной точки. К ним относятся: теорема об изменении количества движения материальной точки, теорема об изменении момента количества движения материальной точки, теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
а) Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость
.
Теорема об изменении количества движения материальной точки формулируется так: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на точку сил за тот же промежуток времени,
,
где 
– скорость точки в начальном и конечном положениях соответственно. Импульс силы за некоторый промежуток времени t равен интегралу от силы по времени от нуля до t:
При решении задач векторное выражение теоремы проецируется на оси координат.
б) Моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра O называется векторная величина 
, определяемая векторным произведением радиус-вектора точки 
на вектор ее количества движения
.
Суть теоремы об изменении момента количества движения материальной точки формулируется так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра O равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра
.
в) Кинетическая энергия материальной точки – скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,
.
Теорема об изменении кинетической энергии формулируется следующим образом: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее из начального положения в конечное равно сумме работ действующих на нее сил 
на том же перемещении
Работа силы характеризует действие силы на тело в зависимости от перемещения точки приложения силы. Различают элементарную работу силы 
и работу силы на конечном перемещении . Элементарной работой силы 
называют скалярное произведение вида
.
Здесь 
– вектор элементарного перемещения точки приложения силы , направленный по касательной к траектории точки. В соответствии с определением скалярного произведения для определения элементарной работы силы можно записать следующее выражение:
.
Здесь Ft – проекция силы на ось, касательную к траектории точки ее приложения. Работа силы на конечном перемещении получается в результате интегрирования
,
где s0, s1 – дуговая координата начального и конечного положений точки соответственно.
Рассмотрим некоторые случаи определения работ сил.
Постоянная сила. Если на материальную точку действует постоянная по модулю и направлению сила, то работа такой силы на конечном перемещении определятся следующим образом:
,
где s – значение перемещения; a – угол между вектором силы и направлением перемещения;
Сила тяжести. При перемещении материальной точки из начального в конечное положение работа силы тяжести 
определяется как
Здесь h0, h1 – вертикальная координата начального и конечного положений точки соответственно; Δh – разница высот начального и конечного положений точки;
Сила упругости. Если при движении точки на нее действует сила упругости пружины с коэффициентом жесткости c, то работа этой силы
,
где Dl0, Dl1 – деформация пружины в начальном и конечном положениях материальной точки соответственно.
Условие задания Д-2
Шарик массой m, принимаемый за материальную точку, приобретя в начальном положении скорость vA, движется по изогнутой трубке ABCD, расположенной в вертикальной плоскости. На прямолинейном участке AB длины L установлена пружина с коэффициентом жесткости c. Пружина в начальном положении сжата на 
. После возвращения пружины в недеформированное положение ее действие на шарик прекращается. Время движения по участку CD равно t0. На прямолинейных участках коэффициент трения скольжения шарика по трубке f, на криволинейных участках трение не учитывать. На основании исходных данных, приведенных в таблице 2.1, определить скорости шарика в положениях B, C, D (рисунок 2.1).
Таблица 2.1 – Исходные данные к заданию Д-2
| Вариант | m, кг | Углы, град | f | c, Н/см | vA, м/с | , см
| L, см | R, м | t0, с | |
| a | b | |||||||||
| 0,4 | 0,4 | 0,5 | ||||||||
| – | 0,2 | 0,3 | 0,9 | |||||||
| 1,5 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | ||||||
| – | 0,6 | 0,2 | ||||||||
| – | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | ||||||
| – | 0,1 | 1,5 | 0,5 | 0,6 |
Продолжение таблицы 2.1
| Вариант | m, кг | Углы, град | f | c, Н/см | vA, м/с | ,
см
| L, см | R, м | t0, с | |||
| a | b | |||||||||||
| 0,1 | 0,2 | 1,2 | 0,5 | |||||||||
| – | 0,2 | 0,6 | 0,6 | 0,3 | ||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | ||||||||
| – | 0,1 | 1,5 | ||||||||||
| – | 0,1 | 0,4 | 1,4 | 1,2 | ||||||||
| 2,5 | – | 0,7 | 0,4 | 1,1 | 0,8 | |||||||
| 0,4 | 0,3 | 1,5 | ||||||||||
| 0,5 | 0,3 | 0,5 | 1,6 | 0.4 | ||||||||
| – | 0,2 | 0,6 | 0,2 | 0,2 | ||||||||
| – | 0,5 | 0,5 | 0,5 | |||||||||
| 2,5 | – | 0,1 | 1,2 | 0,4 | 0,1 | |||||||
| 1,2 | 0,4 | 0,3 | ||||||||||
| – | 0,6 | 0,3 | 0,2 | |||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | ||||||||||
| 0,8 | – | 0,1 | 0,4 | 0,5 | ||||||||
| – | – | 0,3 | 0,1 | 0,7 | 0,5 | |||||||
| – | 0,2 | 0,4 | 0,8 | |||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | ||||||||||
| – | 0,1 | 0,5 | 1,2 | |||||||||
| 2,5 | – | 0,2 | 2,5 | 0,5 | 0,6 | |||||||
| – | 0,6 | 0,6 | 1,3 | |||||||||
| 0,5 | – | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | |||||||
| – | 0,1 | 0,3 | 0,4 | |||||||||
| – | – | 0,3 | 0,3 | 1,2 | 1,5 | |||||||
|
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
|
|
Рисунок 2.1 (начало)
|
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
|
|
Рисунок 2.1 (продолжение)
|
| ||||
|
| ||||
| 
| ||||
|
|
Рисунок 2.1 (продолжение)
|
| ||||
| 
| ||||
|
|
Рисунок 2.1 (окончание)