Основные характеристики ф-ий

Четность и нечетность

Функция называется четной, если

· область определения функции симметрична относительно нуля

· для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

· область определения функции симметрична относительно нуля

· для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х) f(X_max)

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

15) Последовательность и ее св-ва

Последовательность— это набор элементов некоторого множества:

· для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

· это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

· для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Свойства

· Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

· Для всякой подпоследовательности верно, что

· Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

· Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

· Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

· Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

· Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

16) Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

· Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

· Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

· Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

17) Предел ф-ии. Св-ва пределов

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции обозначается как f(x) ->a, при x->a или через символ предела

Основные свойства пределов:

· Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

· Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

· Предел произведения

Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

· Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

· Предел степенной функции

где основание b > 0.

· Предел показательной функции

где основание b > 0.

· Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

18) Замечательные пределы

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

19) Понятие производной. Таблица производной

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Функция f(x) Производная f’(x)

20) Правило дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

21) Производные высших порядков

⇐ Назад
123
Далее ⇒