Предмет: Математика Класс 11

Содержание

	Страница
Долгосрочный план
Введение в языковые цели
Среднесрочный план
Урок 11.1A Алгебраические выражения
Урок11.1B Исчисление I
Урок11.2A Геометрические фигуры
Урок11.2B Тригонометрия
Урок11.3A Уравнения и неравенства
Урок11.3B Пределы и непрерывность функций
Урок11.3C Векторы и координаты
Урок11.4A Матрицы и определители
Урок11.4B Исчисление II
Урок11.4C Статистика и анализ данных
Краткосрочный план

 

 

Долгосрочный план

Предмет: Математика Класс 11

1четверть (42 часов)	2 четверть (48 часов)	3 четверть (60 часов)	4 четверть(54 часа)
11.1A Алгебраические выражения (28 часов) Многочлены · Формаиописание · Поиск корней путем разложения на множители, используя неопределенные коэффициенты и формулы для xn-an, x2n+1+a2n+1 · Поиск недостающихкоэффицентов · Теорема Безу, разложение на множители · Применение и объяснение схемы Горнера · Бином Ньютона · Теорема о рациональном корне многочлена с целыми коэффициентами · Обобщенная теорема Виета	11.2A Геометрические фигуры (18 часов) Геометрия в трехмерном пространстве · Аксиомы стереометрии · Параллельные, перпендикулярные и скрещивающиеся прямые · Углымеждупрямымииплоскостями · Относительные положения в пространстве · Ортогональные проекции и площади	11.3A Уравнения и неравенства (24 часа) Решение уравнений и неравенства, содержащих · Экспоненты · Логарифмы · Рациональные выражения · Иррациональные выражения Решение систем уравнений и неравенства, содержащих · Экспоненты · Логарифмы · Рациональные выражения · Иррациональные выражения	11.4A Матрицы и определители (10 часов) Матрицы · Виды матриц · Операции над матрицами · Вычисление определителя · Миноры матрицы и алгебраические дополнения элементов матрицы · Нахождение обратных матриц. Решение системы уравнений · Матричная форма системы линейных уравнений · Правило Крамера · Метод Гаусса.
11.1B Исчисление I (12 часов) Дифференцирование · Градиент в точке · График градиента · Дифференцированиеaxn · Поведение функций вблизи критических точек и практическое применение максимума и минимума · Вторые производные Интегрирование · Как операция обратная дифференцированию · Интегрированиеaxn · Определенный и неопределенный интегралы · Площади ограниченные кривой и осью x · Криволинейная трапеция	11.2B Тригонометрия (30 часов) Обратные тригонометрические функции · Свойстваarcsin, arcos, arctgиarcctg · Решение уравнений,содержащих обратные тригонометрические функции Решение тригонометрических уравнений и неравенств · Применение тождеств · Универсальная подстановка		11.3B Предел и непрерывность функции (12 часов) Пределы · Предел числовой последовательности · Предел функции · Асимптота графика функции. Непрерывность функции · Непрерывность функции в точке, на множестве · Классификация точек разрыва	11.4B Исчисление II (30 часов) Дифференцирование · Правила дифференцирования, дифференцирование композиций функций Анализ функций · Выпуклость/вогнутость графика функции · Построение графиков Интегрирование · Интегрирование ex, тригонометрических функций · Применение методов интегрирования (непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, интегрирование подстановкой, разложение на простейшие дроби). · Нахождение объемов тел вращения посредством интегрирования
		11.3C Векторы и координаты (24 часа) · Линейные операции · Компоненты вектора · Скалярное и векторное произведения · Компланарные,коллинеарные векторы · Декартовы и векторные координаты · Декартовы и векторные уравнения линий · Расстояние между двумя точками · Деление отрезка в заданном отношении · Декартовоуравнениесферы.	11.4C Статистика и анализ данных (14 часов) Статистика · Математическое моделирование · Представление данных · Сводная статистика Вероятностная модель · Случайные величины · Таблица распределения и функция распределения для дискретной случайной величины · Математическое ожидание и меры рассеяния · Вероятностные модели плотности распределения

Введение в языковые цели

 

Обучаясодержаниюпредметаспомощьюдополнительногоязыка, НИШстремитсясоздатьвшколахусловия, способствующиеизучению, каксамогопредмета, такиязыка. Каждый предмет имеет свой перечень языков, которые называют «академическими языками» данного предмета. Академический язык является ключевым инструментом, используемым для изучения содержания предмета и повышения способности рассуждать и работать с понятиями сущности предмета. Большинство учеников, обучающихся с использованием дополнительного языка, нуждаются в поддержке на протяжении всего процесса обучения для того, чтобы хорошо освоить (второй или третий) академический язык, а также преуспеть в изучении содержания предмета с использованием данных языков. В контексте обучения на трех языках, развитие первого академического языка также требует постоянного внимания для гарантии, что сокращенные часы, отведенные на обучение на родном языке, используются разумно и с пользой.

Языковые целииграют большую роль в планировании и координации обучения академическому языку. Четкие и лаконичные языковые цели дают учащимся представление о том, чего от них ожидают. Кроме того, языковые цели помогают учителям и ученикам создавать, определять и поддерживать стимул к учебе. Учителя- предметники, которые уделяют постоянное внимание изучению содержания предмета и академического языка, помогают учащимся делать то же самое и лучше справляться с обучением.

В целях поддержания изучения академического языка, учителям предложено систематически включать следующие задачи в поурочные планы:

· делать акцент и привлекать внимание учащихся к академическому языку (например, использовать словарь, включающий терминологию и ряд выражений, которые необходимы для достижения целей обучения предмета)

· давать ученикам базовые знания языка, необходимые для работы с концепциями сущности предмета (например, фразы для работы в группах, формулировки вопросов, анализа ситуаций и проведения дискуссии/дебатов)

· предварительно преподаватьи более того использоватьв понятном контексте лексику, в том числе терминологию и набор фраз, необходимых для освоения использования содержательных понятий

· обязывать учащихся использовать все четыре языковых навыка в различных сочетаниях (например, чтение-аудирование, чтение-письмо, чтение-разговорная речь, аудирование-письмо и т.д.)

· заставлять учащихся участвовать в ознакомительных беседах (например, избегать ответов на вопросы, которые просто предоставляют необходимые знания, и вместо этого использовать знания для продолжительной дискуссии, а также предоставлять богатую языковую базу для поддержания учащимися диалога)

· обучать учебным навыкам, характерным для данного языка (например, выборочное прослушивание, просьба о разъяснении, развитие металингвистического и метакогнитивного восприятия, перефразирование, словарные навыки)

· поощрять критическое рассуждение о языке (например, сравнивать языки, побуждать учащихся к использованию языка, оценивать успехи в изучении языка)

· ставить языковые цели в начале урока и обсуждать достигнутый прогресс в конце.

Образец языковых целей для предметных целей обучения предоставляется в каждом разделе учебного плана. Образец языковых целей также включает некоторые академические языки, в наблюдении, использовании и изучении которых учащимся может понадобиться помощь. Эти языки указаны под следующими заголовками: (1) специальная лексика и терминология, (2) полезный набор фраз для диалога/письма. Изучение данных языков поможет учащимся достичь как целей предметного содержания, так и целей языкового обучения.

Остальные языковые цели можно сформулировать, например, при помощи следующих слов: анализировать, распределять по категориям, выбирать, классифицировать, сравнивать, связывать, сопоставлять, воспроизводить, создавать, критиковать, определять, описывать, детально разрабатывать, оценивать, пояснять, приводить примеры, предполагать, устанавливать, обосновывать, обсуждать, предсказывать, производить, предлагать альтернативные решения, указывать причины, повторно определять, преобразовывать, перефразировать, пересказывать, пересматривать, переписывать, исполнять по ролям, обобщать, синтезировать и писать, использовать для различных целей, давать своими словами определение… и иллюстрировать.

Несмотря на то, что некоторые языковые цели могут также рассматриваться в качестве целей предметного содержания, сам процесс выделения содержания и языка поможет ученикам сохранить акцент, как на содержании, так и на языке. Это также поможет уравновесить внимание, уделяемое ответам/решениям и способам нахождения данных ответов/решений. В частности, концентрирование на данных процессах способствует правильному применению языка и повышению точности мышления.

Во время урока большая часть целей обучения будет сосредоточена на содержании, но, по крайней мере, одна цель будет сфокусирована на языке.

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел11.1A: Алгебраические выражения
Примерное количество часов обучения: 28
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Уверенностьв работе с алгебраическими выражениями и умение решать квадратные уравнения.
Контекст
Приобретение навыков разложениямногочлена намножителииработысмногочленамиважно при построении графиков, при дифференцировании и интегрировании. Преобразования функций могут быть осуществлены при помощи многочленов.
Языковые цели данного раздела
Образец языковых целей для учащихся с использованием соответствующего академического языка представлен ниже.
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученикимогут: применять комбинации математических способов разложения на множители(AA11.3).	Ученикимогут: использоватьсоответствующие математическиетермины, применяемые при разложении многочленанамножители.	Коэффициент, переменная, корень, остаток, частное, линейный множитель, квадратичные множитель, разлагать на множители, в виде произведения множителей, каноническая форма, многочлен	Разложитьнамножителимногочленполностьюпутемсравнениякоэффициентов.   Используякорнимногочлена...,найтикоэффициент… ИспользоватьсхемуГорнера, чтобынайтиостатоккогда…
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученикибудутраспознаватьмногочлены, использовать методы разложения многочлена на множители с целью нахождения корней и смогут использовать их для нахождения коэффициентов.

Среднесрочный план

 

 

Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
АА11.1   АА11.2     АА11.4   АА11.7   АА11.5   АА11.8   АА11.9   АА11.10   АА11.11     АА11.3	Учениксможет:   Даватьопределениемногочленаснесколькимипеременными, стандартный видмногочленаснесколькимипеременными, каноническийвидмногочленасодной переменной;   Определятьсимметричные и однородные многочлены;   Находитькорнимногочлена (разложением на множители);     разлагать на множители многочлен от одной переменной методом неопределенных коэффициентов;   использовать формулы для разложения многочленов на множители;     применять теорему Безу для нахождения корней или коэффициентов многочлена;   ПониматьиобъяснятьсутьсхемыГорнера;   применять схему Горнера для нахождения корней многочлена;     ЗнатьобобщеннуютеоремуВиета;   Применятькомбинацииматематических способов разложения на множители;	Учитель пишет на доске пять алгебраических выражений, три из которых простые многочлены с одной переменной, а два из них не являются многочленами вовсе. Поставьте галочки около многочленов и крестик около других выражений. Добавляйте больше алгебраических выражений к списку и каждый раз спрашивайте учеников, должны ли они ставить галочку около них и почему. При написании других многочленов, Вы можете представить многочлен с несколькими переменными.   Попроситеучениковвпарахпривестипримермногочленов, гдеможно "легко" увидетьегосимметричность, ипример, где «сложно»" увидетьегосимметричность.   Начнитесквадратноготрехчлена, записанного в канонической форме. Разложитеегонамножителиипостройтеграфик. Попроситеучениковпосчитатьзначения , где функцияпересекает ось Оx. Запишите кубическое выражение и сформулируйте теорему о делимости многочлена на выражение х- а “ многочлен f (x) делится на двучлен (x – a), где a задано, если ”.   Начнитескубическойфункциив канонической форме, которая как Вы знаете, имеет множитель     Попроситеучениковнайтикорень, посчитавзначенияf(a) дляразличных значений aдо тех пор пока они не найдуттакое aпри которомf(a)=0 и затем запишут f(x) как гдеP(x) является выражением второй степени. Послеперемножения обсудитесучениками, почемукоэффициентылевойчастидолжнысовпадать с коэффициентами правой части.   Напомнитеученикамформулу разности квадратов. Попроситеучениковперемножить ,где n=2, 3 и 4. Затем попросите их предугадать ответ, если n=5. Попросите учащихся разложить на множители . Выможетеиспользовать аналогичные подходы для вывода формул суммыдвух степеней.   Приготовьтелистс 8 заданиями: "Найдите частное и остаток от деления Ax3+Bx2+Cx+D наx – a.” (Например,x3+3x2-2x+1 разделить наx – 2 .) Попроситеучениковвгруппахиз 4 человекразделитьзаданияивыполнитьих. Кактолькогруппавыполниткакминимумчетырезаданияпопроситеихпосчитатьзначениеf(a)для каждого выражения и записать то, что они заметили.   Дайтеученикамнесколькопримеров,где применимасхема Горнера для нахождения значения многочлена в точке. (См пример ниже) при P(2) .     Попросите учеников обсудить в парах, о том каким образом, по их мнению, были подсчитаны значения в таблицах и что из себя представляет последний ряд в таблице. Как только они поймут, то, как построена таблица, попросите их объяснить, как она работает. (Вы можете дать им подсказку, попросив переписать многочлены в первоначальной форме). Скажите что, это схема называется схемой Горнера и попросите их найти больше информации об этой схеме в Интернете и сделать плакат, где будет показано, как она работает и где применяется.   Попроситеучениковсделатьтаблицуипосчитатьтабличныезначениядлямногочленовдо 4-ойстепениииспользоватьсвоитаблицы, которыепомогутимнайтикорнимногочленов. Объясните, что теорема Виета связывает корни многочлена и его коэффициенты. Это может помочь в разложении многочленов путем подстановки корней, которые можно будет проверить, используя теорему разложения на множители. Например: Предположим, чтоуВасестьвыражение третьей степениAx3+Bx2+Cx+DиВы знаете, что A=1, а произведение корнейравно D. Еслиуравнениетретьейстепениимеетпокрайнеймереодин целый корень, то он будет является множителем D.   Продемонстрируйте ученикам трудный пример разложения на множители многочлена. На отдельном листе запишите шаги для решения этого примера, но расположите их не по порядку. Попросите учеников расставить шаги в правильном порядке для решения примера и записать для каждого шага его математическое обоснование.	На протяжении всего урока приучайте учеников к быстромупостроению эскиза графиков многочленов, с которыми они работают, – это поможет им понять связи между алгебраическими действиями и графической формой многочлена. В, И, ф Недавайтеформальноопределениямногочленадотехпорпокакласснеобсудитобщиесвойства выражений, которые они отметили галочкой   Г, ф Этозаданиедастучителювозможностьпонятьнасколькоученикиусвоилипонятиесимметричного многочлена. В В Подчеркните то, какой вид имеет выражение в качестве тождества или равенства. И, ф Г, ф ЕслиВыприведетепарупримеров, гдеостатокравняетсянулю, Высможетеобсудитьтеорему о разложении на множителивкачествеособогослучаятеоремыоб остатке. Г И В Г, ф Выможетеусложнитьзадание, убравнесколькошаговипопросивучениковвоссоздатьих.	Формальное определение многочлена с примерами http://mathworld.wolfram.com/ Polynomial.html   Задание, раскрывающее уникальность многочленов http://nrich.maths.org/7670   Объяснение понятий остатка и теоремы о разложении на множители на простых примерах http://www.mathsisfun.com/ algebra/polynomials-remainder-factor.html     МетодГорнера – обоснование и примеры: http://www.trans4mind.com/ personal_development/ mathematics/polynomials/ hornerMethod.htm

 

 

В - работа всего класса

Г - работа в группах

И -индивидуальная работа

ф- способствует формирующему оцениванию

 

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.1В: Исчисление I
Примерное количество часов обучения:12
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Уверенностьв работе с алгебраическими выражениями, знание многочленов и умение строить графики.
Контекст
Исчисление – этоважныйинструментвысшейматематикиидругихнаучныхобластей, такихкакфизика, машиностроениеиэкономика. Вэтомразделеученикипознакомятсясосновополагающимипринципамиисчисления, впримененияхдлянесложныхфункцийсцельюподготовкикработесболеесложнымифункциямивИсчислении II.
Языковые цели данного раздела Образец языковых целей для учащихся с использованием соответствующего академического языка представлен ниже..
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученикимогут:   Находитьвторую производную (MH11.20).	Ученикимогут:   Использоватьправильныематематическиетерминыдляописанияшаговпонахождению производных.	Функция, тангенс угла наклона, графикфункции, дифференцировать, (втораяпроизводная), экстремум, точка перегиба.	Еслиядифференцируюэтуфункцию,яполучу…   Еслиядифференцируюееснова,яполучу… Начертитьграфикградиентаэтойфункции   Описатьповедениеградиента вблизи экстремальной точки.   Использовать 2-уюпроизводнуюдлянахождениякритических точек функции.
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученикибудутисследоватьотношениямеждуфункцией, еепроизводнойиееинтеграломисмогутприменятьметодыисчислениякфункциивидаaxn+bxm+..

 

Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
МН11.13     МН11.14     МН11.15   МН11.16     МН11.20     МН11.21     МН11.23     МН11.24   МН11.27   МН11.28     МН11.32   МН11.33   МН11.34   МН11.35   МН11.36   МН11.38     МН11.37   МН11.39	Ученик будет:   Знать определение производной;   Знатьопределениедифференциалафункции;     Находитьпроизводнуюфункциисогласноопределениюдлянесложных примеров; Пониматьгеометрическийифизическийсмыслпроизводной;   Находитьвторуюпроизводную;   Составлятьуравнениекасательнойдляграфикафункции;   Знатьопределениекритическихточекиточекэкстремумафункции;   Находить критические точки и точки экстремума;   Решатьнесложныезадачи, связанныеснаибольшим(наименьшим) значениемфункциинаотрезке;     Знатьопределениеточкиперегибаграфика функции;     Расцениватьинтегрированиекакпроцессобратныйдифференцированию;   Знатьопределениепервообразнойфункции;   узнаватьсвойствапервообразной, опираясьнаправиладифференцирования;     знать определение неопределенного интеграла;   Находитьнеопределенныйинтегралпрямым интегрированием;     Знать определение определенного интеграла;     Знатьопределениекриволинейной трапеции;   ПрименятьформулуНьютона – Лейбницадлятого, чтобынайтиплощадькриволинейной трапеции и подсчет простого интеграла в простых примерах;	Дайте учениками пять минут, чтобы они в индивидуально записали все, что знают о функциях. Затем попросите их сравнить свои записи с записями соседа Записи должны включать такие понятия как определение, способы задания, график. Попросите учеников подумать в парах над многочленами, которые имеют одинаковые коэффициенты перед положительными степенями переменной, но разные свободные члены.   Запишитестепеннуюфункцию на доске. Спросите « Еслияпродифференцируюэтуфункцию, чтояполучу?» Обсудите ответы и затем спросите «Если я продифференцирую ее снова, что я получу?» Попросите учеников подтвердить свои ответы, посчитав значения для второй производной и построив ее график.   Используйтепрограммупостроенияграфиков (Geogebra), чтобыувеличитьодинизнихвлюбойточкена многочленной функции до тех пор пока он не превратится в прямую линию. Спросите «Еслибыэтобылапрямаялиния, какойбылбыееградиент?», «Как выглядело бы равенство?» Постройте касательнуюлинию и увеличьте ее. Попроситеучениковнайтиуравнение касательной.   Ученики работают в парах, в программе построения графиков или с графическим калькулятором. Запишите на доске несколько графиков степенной функции и попросите учеников, выяснить, где на графике градиент будет равен 0.   Ученики должны работать в парах или по трое. Дайте каждой группе большой лист бумаги, на котором Вы нарисовали график степенной функции. Попроситеучеников, подписатьвсеэлементыграфикаинаписатьпримечание к нему.     Используйтематематическиемоделиреальнойжизни, например,поискмаксимумаобъемакартоннойкоробки, чьяразверткавырезанаизпрямоугольниказаданныхразмеров, или же исследуйте изменения в популяции лягушек в пруду с течением времени.   Покажитеклассуграфик . Обсудите критическую точку функции в x = 0 и как вторая производная ведет себя вблизи этой точки. Дайте определение этому процессу: перегиб (точка перегиба) и попросите учеников найти функцию, которая имеет точку перегиба не являющуюся критической точкой функции. Запишитенадоске .Спросите «Какуюфункциюядолжен/надифференцировать, чтобы получить эту?» Напишитевсевариантынадоскеипопроситеучеников продифференцировать их, чтобы убедиться, что они правильные. Объясните, чтокогдамысовершаемпроцесс обратный дифференциацию, который называется «интегрированием" мы находим «первообразную функции»   Подготовьтелистс 10 степенными функциями, например и набор из 5 карточек с изначальными функциями. .   Попроситеучениковсоотнестипервообразную с f’(x). Спроситеучеников, какиедополнительныеданныепонадобятся им для каждой f(x), чтобы найти недостающие первообразные.   Запишитенадоске . Спросите «Какуюфункциюядолжен/на дифференцировать, чтобы получить эту?» Напишитевсевариантынадоскеипопроситеучеников продифференцировать их, чтобы убедиться, что они правильные. Объясните, что когда мы интегрируем, мы не можем знать наверняка, какова была первоначальная функция, поэтому мы вводим постоянную интегрирования.   Подготовьтелистсчетырьмяилипятьюфункциями, которые необходимо проинтегрировать. Приложитекнемуготовыерешения, включивнекоторыеошибки. Попроситеучениковпоработатьвпарахиотметить ответы, которые оказались неверными и объяснить почему. Попроситеучениковпоработатьвпарахиисследоватьфункции, которыесимметричныотносительноx= 0, чтобы определить значения aи b, которые составляют .   Разделите класс на две группы. Одной группе дайте набор криволинейных трапеций для вычисления площадей. Другой группе дайте набор определенных интегралов для вычисления. Попросите их соотнести ответы и записать то, что они заметили. Объясните, что это были простые примеры формулы Ньютона-Лейбница, которые помогают найти площадь криволинейной трапеции. (приведите примеры).	И, Г, фУченики встречались с различными функциями в предыдущих классах   В, о Обсудитеответы, пытаясьпонять, почемунекоторые из них неверны. ГУченики работают в группах и соотносят графики многочленов, их графики градиента и графики их вторых производных. В В,И Г, ф Втовремякакученикиделаютзадание, постепенновводитематематическийязык, знакомяспонятиямикритических точеки экстремумов функции, к примеру записав их определения на доске. Г, ф Покагруппаработаетнадзаданием, задайтетакиевопросыкак: «Естьлинаграфикекритические точки?", «К какому виду они относятся ?», «Каковыеекоординаты?»   В   В, И     В     И Некоторыеученикимогутзаписатьсвоивариантыпервообразнойснеопределенным постоянным членом. Еслионисмогутсделатьэто, Выможетеввестина этом моменте понятиенеопределенного интеграла. В, И Г,ф Г ВкачестведополнительногозаданияВыможетевключитьфункции, которыенесимметричныотносительно x = 0. Г Пример для нахождения площади:	Бесплатнаяпрограммапостроенияграфиков http://geogebra.en.softonic.com     Графический калькулятор Бесплатнаяпрограммапостроенияграфиков http://geogebra.en.softonic.com     Графические калькуляторы.   Графические калькуляторы.

 

В - работа всего класса

Г - работа в группах

И -индивидуальная работаф- способствует формирующему оцениванию

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.2A: Геометрические фигуры
Примерное количество часов обучения: 18
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Геометрия точек и прямых в планиметрии.
Контекст
Данныйразделрасширитпознанияв стереометрии.
Языковые цели данного раздела Образец языковых целей для учащихся с использованием соответствующего академического языка представлен ниже..
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученикимогут:   Познакомиться саксиоматическимвысказываниемгеометриипространстваи его заключения(ГВ11.1 ).	Ученикимогут:   Использоватьправильныематематическиетерминыиописатьаксиомыстереометрии.	точка, прямая, плоскость, пространство, параллельные линии	Этоутверждениеостереометриииногда/всегда/никогдаоказывается верным потому что…   Точка лежит вплоскости…   Две прямые лежат в одной плоскости…
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученики могут описать и работать с прямыми линиями и плоскостями в трехмерном пространстве. Онибудутиспользоватьортогональныепроекции, чтобыпосчитать площадь фигур плоскости и узнают аксиомы геометрии пространства.

 

 

Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
ГВ11.1   ГВ11.2   ГВ11.3     ГВ11.4     ГВ11.5   ГВ11.6     ГВ11.8   ГВ11.9   ГМ11.1     ГМ11.2     ГМ11.3     ГМ11.4     ГМ11.5	Ученик будет:   Знать аксиомыстереометрии и их следствия;   Классифицировать прямые линии в пространстве;   Знать и применять признаки и свойства параллельных, скрещивающихся и перпендикулярных прямых;   Знать и применять признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей;     исследовать взаимное расположение прямых в пространстве, прямой линии и плоскости, плоскостей в пространстве, плоскости и многогранника (построение сечений);   строить общий перпендикуляр скрещивающихсяпрямых;   знать определения углов между прямой линией и плоскостью, между плоскостями, скрещивающимися прямыми;   находить и представлять угол между прямой и плоскостью, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми;   определять углы между прямыми линиями в пространстве, между прямой линией и плоскостью, между плоскостями;   определять расстояние между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве;     доказывать теорему о площади ортогональной проекции;   вычислять площадь ортогональной проекции;     Определятьгеометрическоеместоточеквпространстве, связанное с заданиемрасстояния;	Назовите ряд утверждений о стереометрии. Попросите учеников в парах решить, какие утверждения верны иногда, всегда или никогда. Они должны обосновать свои ответы.     Сделайте несколько карточек с уравнениями прямых. Попросите учеников расположить карточки по парам согласно своему критерию, а затем обсудите их результаты.   Попросите учеников записать все, что они знают опараллельных, скрещивающихся и перпендикулярных прямых. Для этого предоставьте им 5 минут, попросите их сравнить свои записи с кем-нибудь из одноклассников.   Попроситеучениковпривестипримерытрехлиний, глядянакоторыеслегкостьюможносказать, чтоонивсеперпендикулярныдругдругуитрилинии, глядянакоторыесложнобудетсказать, чтоониперпендикулярныдругдругу.     Разделите класс на группы из четырех человек и каждой группе дайте ряд многогранников. Попросите их найти как можно больше разных фигур, образованных при делении многогранники на составные части.   Таккакэтотпроцесссостоитиздвухэтапов, начнитестого, что ученики строят плоскость проходящую через две непараллельные прямые.     Попроситеучениковвпарахсделатьплакатсчертежами, которыеиллюстрируют необходимые определения.   Выполните ряд чертежей плоскости и прямой линии. Отметьте несколько углов на каждом чертеже и попросите учеников определить какойугол является углом между прямой и плоскостью. Они должны обосновать свой ответ.     Привестипроработанныйпример, отображающийшаги, необходимыедлянахожденияугла между двумя плоскостями, но расставьте все шаги не по порядку. Попроситеучениковвпарах, расставитьшагипопорядкуинаписатькраткоепояснение для каждого шага.     Попроситеучениковвпарахвывести формулу нахождения расстояния от произвольной точки до координатных осей в трехмерном пространстве. Дайтеимкоординатыдвухточекипопроситенайти расстояние между ними с использованием предыдущего задания. Затем попросите учеников найти обобщенное выражение для расстояния между двумя точками.   Напишите теорему на доске. Попросите класс предложить первый шаг доказательства теоремы. Обсудите, каким образом их предложения могут или не могут помочь в формулировании доказательства. Повторите все для следующего шага.   Используйте любую фигуру, например треугольник. Попросите учеников вычислить площадь треугольника, учитывая расстояния между вершинами. Попросите вычислить площади ортогональных проекций на каждой координатной плоскости и показать, что сумма их квадратов равна квадрату площади оригинала.     Подготовьте лист с чертежами и лист с описаниями геометрических мест точек в пространстве. Попросите учеников в парах соотнести чертежи с описаниями и доказать свои ответы.	Г, ф Г, В И, ф И Г В, И Г, ф И Г, ф Г Некоторым ученикам понадобится проработать больше чем один пример, прежде чем они смогут уверенно находить обобщенную форму для нахождения расстояния между двумя точками. В Предоставьтедостаточноеколичество времени «для обдумывания» прежде чем приступать к следующим шагам доказательства. И Г Ученики смогут сравнить свои результаты с результатами других групп, чтобы проверить, насколько был усвоен материал.	Видеоислайдыобаксиомах: http://opencollege.com/simsim/php/CatalogManager.php?path=Mathematics%2FSolid%20Geometry%2FAxioms%20of%20Solid%20Geometryandshow_catalog_tree=on&global_depth=3     Набор фигур.

 

В - работа всего класса Г - работа в группахИ -индивидуальная работа

ф- способствует формирующему оцениванию

 

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.2В: Тригонометрия
Примерное количество часов обучения:30
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Уверенность в работе с алгебраическими выражениями и решении квадратных уравнений.
Контекст
Понимание тригонометрии необходимо в геометрии и исчислении.
Языковые цели данного раздела Образец языковых целей для учащихся с использованием соответствующего академического языка представлен ниже.
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученики могут:   Демонстрировать решение простейших тригонометрических уравнений(АТ11.5).	Ученики могут:   Обсуждать и записывать, что они знают о синусе, косинусе, тангенсе , используя графики и проработанные примеры простейших уравнений, чтобы решать тригонометрические задачи.	угол синус, косинус, тангенс арксинус, арккосинус, арктангенс, тригонометрическоетождество, подстановка, главное значение	Синус/ косинус/ тангенс используется для… Синус/ косинус/ тангенсугларавен … Этот график показываетзначениесинуса/ косинуса/ тангенса. В этом примере /треугольнике, …даны, таким образом нам необходимо вычислить… используя правило синуса/ косинуса/ тангенса. Переписать это уравнениеsin. Использовать подходящую тригонометрическую подстановку,чтобы показать … Найти главное значение решения этого уравнения…
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученики будут рассматривать обратные тригонометрические функции и решать уравнения, содержащие эти функции. Онибудутрешатьтригонометрическиеуравненияинеравенства, используя тождества.
Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
АТ11.1 20.11.12     АТ11.2 21.11.12   АТ11.3 23.11.12   АТ11.4 27.11.12 28.11.12   АТ11.5     АТ11.6   АТ11.7     АТ11.8	Ученикбудет:     Знать следующие определения:rcsin, rccos, rctg;     Знать свойства rcsin, rccos,rctg;   Вычислять значения rcsin, rccos, rctg;   Решать уравнения и неравенства, содержащиеrcsin, rccos;     Демонстрировать решение простых тригонометрических уравнений;   Решать тригонометрические уравнения (применяя тригонометрические формулы, сведением к квадратному уравнению, методамирешения однородных уравнений первой или второй степени, разложением на множители,методомвспомогательного аргумента);   Решать тригонометрические уравнения (применяя формулу универсальной тригонометрической замены);   Решать тригонометрические неравенства (применяя тригонометрические формулы, метод различной замены);	Попросите учеников поработать в парах и записать все, что они знают о синусе, косинусе и тангенсе.Попросите их построить графики и включить примеры тригонометрических уравнений с решениями.   Объясните ученикам, что они уже раньше встречали rcsin, rccos, rctg, arcctg, когда решали тригонометрические уравнения.     Попросите учеников использовать калькуляторы, чтобы вычислить значения rcsin, rccos, rctg. Обсудите, какие из значений выдали уведомление об ошибке на калькуляторе и почему.   Разделите класс на три группы Попросите каждую группу выявить свойства rcsin, rccos, илиrctg. Помогите им с этим заданием, записав вопросы на доске: «Как будет выглядеть график, если я его начерчу?», «Есть ли значения, которые невозможно извлечь?» и др. Попросите каждую группу продемонстрировать свои результаты всему классу.   Попросите учеников написать собственные уравнения с rcsin, rccos, rctgи дать их другому ученику для решения. Предложите им написать как минимум три уравнения: легкое, средней сложности и сложное.   Приготовьте список утверждений касательно уравнений, некоторые из них Правильные, а некоторые Неправильные. Например: sin2A 2sinAcosA sin2A 1 + sin2A Для каждого утверждения сосчитайте сколько учеников, подумали, что оно правильное, и сколько, что оно неправильное. Напишите счет на доске. После этого, попросите учеников в парах доказать свои ответы (они могут привести контр-пример, показать как он работает на графике, показать его алгебраически) В конце задания, вновь пройдитесь по всем утверждениям и посмотрите, насколько изменился счет на доске.   Подготовьте лист со смешанными заданиями. Прочитайте вслух все задания спросите класс: « Каким будет первый шаг в решении этого уравнения?», «Можно ли применить метод подстановки здесь?» Дайте им время для обсуждения и придите к общему выводу. Когда вы разберете все примеры, попросите учеников выбрать как минимум 3 задания, решить которые будет сложнее всего. Подготовьте список заданий и попросите учеников решить примеры, которые могут вызвать сложности. Если кто-то из учеников, скажет, что все примеры легкие для них, попросите их придумать самим сложные.	Гф     В     В, И     Г,ф   И,Г,ф   В, Г, ф     В, И, о Ученик часто имеет затруднения в выборе способа решения тригонометрических уравнений. И,ф Использоватьграфическиекалькуляторы, чтобыученикисмоглипонять, когданеравенстваоказываютсяверными.	Графические калькуляторы.

В - работа всего класса

Г - работа в группах

И -индивидуальная работа

ф- способствует формирующему оцениванию

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.3A:Уравнения и неравенства
Примерное количество часов обучения: 24
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Уверенностьвработеалгебраическими выражениями и в решении линейной и квадратных уравнений.Решение простых показательных и логарифмических уравнений.
Контекст
Ученики уже работали с логарифмическими и показательными уравнениями и неравенствамив 9 классе. Уверенностьврешенииуравненийинеравенств поможет им дальнейшем для учебы в 12 классе.
Языковые цели данного раздела Типоваяязыковаязадачавзаимосвязаннаясакадемическимязыкомприведенаниже.
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученикимогут:   Разрабатыватьалгоритмырешенияиррациональныхуравненийинеравенств.(АУ11.5).	Ученикимогут:   Использоватьипониматьматематическиетерминыдляописаниярешенияиррациональныхуравненийинеравенств.	Уравнение, неравенство Рациональный, иррациональный Радикал Решать, решение, постороннее решение	Решить /ярешил(а) иррациональноеуравнение,путемизбавленияотрадикала... Убедитесь, что Вы исключили посторонние корни
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученики смогут применять методы решения рациональных,показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Они также смогут применять алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств.

 

Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
АУ11.2   АУ11.3   АУ11.4   АУ11.5   АУ11.6   АУ11.7   АУ11.8     АУ11.9	Ученик будет:   Знать основные методы решения уравнений: разложение не множители, введение новой переменной;   Решать уравнения высших степеней (биквадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным);   Решать дробно-рациональные уравнения;   Разрабатывать алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств;   Применять алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств;   Решать показательные уравнения и неравенства, приводимые к квадратным или решаемые разложением на множители;   Решать логарифмические уравнения и неравенства, приводимые к квадрату или разлагаемые на множители;   Решать рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные системы уравнений и неравенства.	Разделите учеников на группы из 4 или 5 человек, каждой группе раздайте лист с уравнениями. Проследите за тем, чтобы все ученики в группе понимали смысл заданий.     Подготовьтенаборкарточексуравнениямиикарточкиспредложениямиподстановкидлярешениябиквадратных уравнений. Попроситеклассразделитьсяпопарамисоотнестиправильныеподстановкис уравнениями.     Попросите учеников написать легкий пример рационального уравнения, решением которого является x=1. Затем попросите их написать более сложный пример.   Напишите на доске уравнение с одним радикалом и "попытайтесь» решить его не избавляясь от радикала. Обсудите Вашу попытку решения с классом и попросите их поделиться альтернативными идеями решения. Выберите идею, которая заключается в избавлении от радикала и решите уравнение.   Попросите учеников написать подсказки, чтобы не забыть, как решается иррациональное уравнение. Они могут записать следующее: «избавиться от радикала», «проверить постороннее решение», и др., а также они должны записать решенные примеры.   Ученики могут использовать графические калькуляторы, чтобы проверить число и приближенное значение решенияуравнений прежде чем решить его.     Попросите учеников разделиться на пары и записать все, что они знают о логарифмах. Они могут также начертить графики и написать свойства логарифмов.     Попросите учеников придумать пример системы логарифмических уравнений, где лучшим методом решения являетсяисключения. Запишите несколько предложений на доске и обсудите, будет ли метод исключения подходящим для всех случаев.	Г, ф Подходя к каждой группе, Вы сможете попросить их обосновать свои решения. Г, ф И,ф Попроситеучеников, объяснитьВам, почемуданныйпример легкий или же наоборот сложный в решении. В И, ф И Этохорошаяотработка умений дляучеников, позволяющаярешатьболеесложныеуравнения. Г, ф РезультатучениковпокажетВам, естьлинеобходимостьвповторениитемы «Логарифмы»преждечемприступатьк решению более сложных уравнений.   В	Графические калькуляторы.

В - работа всего класса

Г - работа в группах

И -индивидуальная работа

ф- способствует формирующему оцениванию

 

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.3В: Пределинепрерывность функции
Примерное количество часов обучения: 12
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Графическоепредставлениефункций, дифференцированиепростыхфункций.
Контекст
Основы исчисления в изучении пределов. Поведение функции может быть описано математически при помощи пределов.
Языковые цели данного разделаТиповаяязыковаязадачавзаимосвязаннаясакадемическимязыкомприведенаниже.
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученикимогут:   Знать предел функции в точке (МН11.6).	Ученикимогут:   Описать поведение функции при приближении переменной к определенной фиксированной точке.	функция, точка, приближениесверху (снизу), предел	Значениефункциистремится6кактолькопеременнаястремится к 0 сверху.   Пределфункциивэтойточкеравен…   Нахождение предела в точке говорит нам о …
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученикипознакомятся спонятиемпределафункциивточкеив бесконечно удаленной точке, смогут вычислятьпределыииспользоватьихдля описания асимптотнекоторых функций.

 

Ссылка на учебную программу	Ожидаемые результаты	Рекомендуемая педагогическая деятельность	Методические заметки	Ресурсы
МН11.5     МН11.6   МН11.7     МН 11.8   МН11.9     МН11.10   МН11.11   МН11.12	Ученик будет:   Знать предел функции в бесконечно удаленной точке;   Знатьпределфункциив точке;     Вычислять предел функции в бесконечно удаленной точке и в точке в несложных случаях;   Вычислятьпределы, используязамечательные пределы и их следствия;   Иметь представление о непрерывности функции;   Знатьопределениянаклонной и вертикальной асимптот;     Находить асимптоты графиков функций в простых случаях;     Иметь представление о приращении функции;	Подготовьте лист с функциями, некоторые из них имеют предел когда переменная достигает ±, некоторые нет. Попросите учеников исследовать функцию: · посчитав значения; · построивграфикфункции Обсудите результаты и попросите учеников написать несколько предложений, описывающих поведение функции.   Подчеркните тот факт, что нахождение предела в точке расскажет вам о том, что происходит с функцией, когда аргумент приближается к этой точке – затем приведите пример функции (например, градиент графика функции в точке x = 0),у которой нет значения в этой точке.   Попросите учеников определить функции, которые не непрерывны и вычислить их пределы, если аргументстремитсяк точкеразрыва.   Попросите учеников разделиться на пары и сделать плакат, объясняющий пределы, демонстрирующий решенные примеры с грамотным использованием символов.     Ученики могут использовать функцию «увеличение» на графических калькуляторах, чтобы исследовать непрерывность различных функций.   Предоставьте ученикам ряд графиков функций, имеющихасимптоты. Попросите их построить их и описать асимптоты.   Ученики работают в парах. Попросите их найти функцию с: · асимптотой x = 0 · асимптотой y = 0 · асимптотой x = 1 · 2 асимптотами и т.д.   Попроситеихобменятся своимиработами с партнером, которыйдолженпостроитьграфикиподписатьего.   Проведите связь между производной и приращением функции.	В, И   В И Г, ф И, ф И, ф Г, ф В	Графический калькулятор

 

В - работа всего класса

Г - работа в группах

И -индивидуальная работа

ф- способствует формирующему оцениванию

 

 

Старшая школа: Математика 11 класс
Раздел 11.3С:Векторы и координаты
Примерное количество часов обучения: 24
Рекомендуемый уровень первоначальных знаний
Работа с векторами на плоскости
Контекст
Ученики сталкивались с векторами на плоскости в 9 классе. Вматематикеитехникевекторыявляютсяудобнымспособомпредставления как величины, так и направления.
Языковые цели данного раздела Типоваяязыковаязадачавзаимосвязаннаясакадемическимязыкомприведенаниже.
Цель изучения раздела	Цель языкового обучения	Специальная лексика и терминология	Полезный набор фраз для письма/диалога
Ученики могут:   Разложить вектор на три компланарных вектора (ГВП11.4).	Ученикимогут:   Использоватьязыктрехмерногопространства, чтобыописатьоперациисвекторами.	Вектор, плоскость, компланарное разложение, разложение, перпендикуляр	Найти перпендикулярные компоненты вектора.   Вектор в разложенном виде.
Для создания других языковых целей и получения дополнительного руководства по целям преподавания языка, которые применимы к обучению и изучению академического языка, см. выше раздел «Введение в языковые цели»
Основные положения
Ученики могут работать с векторами в трехмерном пространстве и создавать связи между векторными представлениями и декартовыми представлениями точек и прямых.