Ряды Фурье и интегралы Фурье

Ряды

Числовые ряды

1) Числовым рядом называется выражение , где - числовая последовательность. Числовой ряд называется сходящимся, если существует , где - частичная сумма, - сумма ряда.

1)Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то предел его общего члена при n®¥ равен нулю: . Обратное утверждение неверно. Если этот предел не равен 0, то ряд расходится.

1)Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1)1. Признак сравнения.

1)Если даны два ряда (1.1) и (1.2), общие члены которых удовлетворяют соотношению , то из сходимости ряда (1.2) следует сходимость ряда (1.1) и из расходимости ряда (1.1) следует расходимость ряда (1.2).

1)На практике используется предельный признак сравнения.

1)Если существует конечный, отличный от нуля, то оба ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.

1)В качестве образцового ряда берут ряд Дирихле , который при расходится, а при - сходится.

1)2. Признак Даламбера.

1)Если для ряда существует , то при ряд сходится, при - расходится, при - неопределенность.

1) 3. Радикальный признак.

1)Если для ряда существует , то при ряд

1) сходится, при - расходится, при - неопределенность.

1)4. Интегральный признак сходимости.

1)Если существует функция f(x), для которой f(n)=U_n , где U_n- общий член ряда , то данный ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно.

1)5. Признак сходимости знакочередующегося ряда.

1)Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1)

2) ,

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена U₁, то есть .

Если в знакочередующемся ряде ограничить сумму n членами, то ошибка, совершаемая при замене суммы ряда на частичную сумму , не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Пример 1.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим выполнение необходимого признака .

.

Признак выполняется. Требуется продолжить исследования по достаточным признакам. Применим предельный признак сравнения. В качестве известного ряда возьмем гармонический ряд , который расходится, так как .

,

значит исследуемый ряд расходится.

Пример 2.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверка выполнения необходимого признака потребует громоздких вычислений (применение формулы Стирлинга), поэтому применим один из достаточных признаков. Если в общем члене ряда содержится факториал, то лучше применить признак Даламбера.

;

.

Ряд сходится.

Пример 3.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. По необходимому признаку получаем:

.

Из общего члена ряда легко извлечь корень n-ой степени, поэтому применим радикальный признак Коши:

Ряд сходится.

Пример 4.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Необходимый признак:

.

Применим интегральный признак.

несобственный интеграл сходится, значит и ряд сходится.

Пример 5.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Необходимый признак:

Для исследования ряда применим предельный признак сравнения дважды.

- (по первому замечательному пределу),

, где

- ряд Дирихле, . Все ряды расходятся.

Пример 6.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. По признаку Лейбница для знакочередующегося ряда:

, ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость по признаку сравнения.

.

Ряд абсолютно расходится, т.к. гармонический ряд - расходится.

Знакопеременный ряд - условно сходящийся.

Функциональные ряды

Область сходимости функционального ряда , где U_n(x), n=1,2,3… - функции одной переменой, есть совокупность значений переменной x, при которых ряд сходится. Сумма ряда в области сходимости является некоторой функцией от x : , для x из области сходимости.

Область сходимости определяется решением неравенства на основе достаточных признаков Даламбера или радикального признака :

.

Принадлежность концов интервала к области сходимости определяется на основе исследования числовых рядов, получающихся после подстановки значений этих концов в функциональный ряд.

В частном случае, если функциональный ряд представляет собой

степенной ряд вида , область сходимости по приведенным формулам определяется:

Здесь , где R – радиус сходимости .

Если функция f(x) в точке а непрерывна вместе со своими производными, то в окрестности точки x=a справедлива формула (ряд) Тейлора:

При a=0 ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена :

Таблица рядов Маклорена для некоторых функций.

;

;

;

;

;

;

;

.

В скобках указаны интервалы сходимости рядов.

Разложение функций в ряд Тейлора позволяет с любой степенью точности приближенно вычислить значение функции в точке, пределы, определенный интеграл, найти частное решение дифференциального уравнения (задачу Коши) и другие.

Пример 7.Найти область сходимости ряда .

Решение. ;

< 5; -7 < х < 3.

Исследуем ряд на концах интервала (подставляем значения концов в функциональный ряд):

.

Этот знакочередующийся ряд сходится , т.к. , и члены ряда, взятые по абсолютной величине , убывают, поэтому значение входит в область сходимости ряда.

.

Данный ряд с положительными членами расходится по признаку сравнения:

где общий член расходящегося гармонического ряда . Значит, точка не входит в область сходимости ряда.

Ответ: .

Пример 8.Найти область сходимости ряда .

Решение. ;

; .

Исследуем ряд на концах интервала.

При подстановке в функциональный ряд обеих концов интервала образуется один и тот же числовой ряд .

Этот ряд расходится по признаку сравнения его с расходящимся рядом Дирихле :

.

Значит область сходимости функционального ряда: .

Пример 9.Найти область сходимости ряда .

Решение.

x < -2 ; .

При подстановке в функциональный ряд обеих концов интервала образуется один и тот же числовой ряд , который расходится согласно необходимому признаку сходимости: . Таким образом, область сходимости ряда: .

Пример 10.Вычислить интеграл с точностью до = 0,001 .

Пример11.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x.

Решение. Определим коэффициенты ряда Тейлора по степеням x для функции:

.

, ,

, ,

, ,

, ,

… … … … … … … … … … … … … … … …

, .

Тогда:

Пример 12.С помощью рядов решить дифференциальное уравнение:

; ; .

Решение. Решение дифференциального уравнения находится в виде ряда Тейлора:

,

где точка x=a определяется из начальных условий (в приведенном примере x=0 ).

Значения функции и ее производных для ряда Тейлора находятся из начальных условий непосредственно для первых членов и для остальных членов ряда путем последовательного дифференцирования исходного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной и вычисленной в точке x=a. Для тех значений x, для которых получившийся ряд сходится, он представляет решение дифференциального уравнения.

В нашем примере:

,

,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Видна закономерность:

;

; .

Подставим все значения в ряд :

Выполним преобразования:

.

.

Определим радиус сходимости этого ряда:

;

Значит полученное решение справедливо для всех x.

Ряды Фурье и интегралы Фурье

Если на интервале [-p,p] функция f(t) удовлетворяет условию Дирихле: функция непрерывна с конечным числом экстремумов или имеет конечное число точек разрыва первого рода - то ряд Фурье этой функции сходится в точках непрерывности к самой функции f(t), а в точках разрыва первого рода - к полусумме левого и правого пределов функции f(t).

, где n=1,2,3,… ,

; ; .

Если функция f(t) периодична с периодом 2p, удовлетворяет условию Дирихле, то ряд Фурье данной функции сходится к ней для любого t. То же самое относится и к случаям, если функция f(t) периодична с периодом T или 2l. Соответствующие формулы имеют вид:

,

где ; ; .

,

где ; ; .

Если функция f(t) четная, то ; если нечетная и ряд Фурье упрощается.

Если f(t) задана на полуинтервале, то ее можно разложить в ряд Фурье по косинусам или синусам, продлив функцию соответственно четным или нечетным образом на весь период.

Если рядом Фурье представлялась функция периодическая или заданная на периоде и удовлетворяющая условиям Дирихле на этом периоде, то интегралом Фурье представляется функция непериодическая, к которой предъявляются два условия:

1) должна быть кусочно-гладкая, т.е. должна быть на некотором интервале непрерывной и иметь непрерывную производную во всех точках этого интервала , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв 1 рода (это аналог условия Дирихле);

2) должна быть абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. должен быть сходящимся На электротехническом языке это означает одиночный импульс тока или напряжения, имеющий начало и конец.

Тогда функция представляется несколькими видами интеграла Фурье:

а)

где .

Здесь и - одна и та же функция с аргументами x и t. В частных случаях может быть четной и нечетной.

Если - чётная, то и тогда

, где .

Иногда вводят функцию

тогда В этом случае функцию называют косинус- преобразованием Фурье.

Если - -нечетная, то и тогда

;

Если ввести функцию

- синус-преобразование Фурье,

то .

b) Второй вид интеграла Фурье :

.

с) Третий вид интеграла Фурье – в комплексной форме – здесь не рассматривается.

Представить функцию интегралом Фурье значит:

Вид а) - найти функцию и или или и подставить в соответствующую формулу.

Вид b) - посчитать внутренний интеграл и подставить в формулу.

Пример 13.Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (-p,p).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2p ( рис. 13.1. ).

- t

-

Рис. 13.1.

Функция нечетная, поэтому коэффициенты .

Ряд Фурье: .

Равенство справедливо всюду, кроме точек разрыва (на концах интервала), где ряд сходится к 0 , т.к. сумма ряда равна :

. .
Пример 14 .Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (p,p).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2 (рис.13.2.)

Рис. 13.2.

Функция четная, поэтому коэффициент .

Ряд Фурье: .

Пример 15.Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Продолжим функцию периодическим способом с периодом 2 (рис. 13.3.)

Рис.13.3.

.

; k=0,1,2,…

Ряд Фурье:

Пример 16.Разложить функцию на интервале ; в ряд косинусов.

Решение. Чтобы в разложении были только косинусы, необходимо иметь четную функцию, поэтому продолжим функцию на интервале ; четным, периодическим образом ( рис. 13.4.) .

f(t)

t

0

Рис. 13.4.

Чтобы разложить ту же функцию на интервале в ряд синусов, нужно продолжить эту функцию нечетным, периодическим образом (рис.13.5.).

Рис. 13.5.

Еще раз обратим внимание на то, что указанные в примерах функции раскладываются в соответствующий ряд Фурье только в указанных интервалах. За пределами интервалов этого разложения нет.

Если интервалы заданы или , то разложение в ряд Фурье производят по приведенным выше формулам.

Пример 17.Найти косинус-преобразование Фурье и написать интеграл Фурье для функции: (рис.13.6).

Решение. Построим график функции (рис. 13.6.)

Рис.13.6.

Проверим функцию f(x) на абсолютную интегрируемость:

Несобственный интеграл существует и конечен, значит f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.

Найдем косинус-преобразование :

Интеграл Фурье для функции:

Задание 13.1 . Исследовать на сходимость числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести исследование на абсолютную и условную сходимость).

1.

а) б)

в) г)

д) е)

2.

а) б)

в) г)

д) е)

3.

а) б)

в) г)

д) е)

4.

а) б)

в) г)

д) е)

5.

а) б)

в) г)

д) е)

6.

а) б)

в) г)

д) е)

7.

а) б)

в) г)

д) е)

8.

а) б)

в) г)

д) е)

9.

а) б)

в) г)

д) е)

10.

а) б)

в) г)

д) е)

11.

а) б)

в) г)

д) е)

12.

а) б)

в) г)

д) е)

13.

а) б)

в) г)

д) е)

14.

а) б)

в) г)

д) е)

15.

а) б)

в) г)

д) е)

16.

а) б)

в) г)

д) е)

17.

а) б)

в) г)

д) е)

18.

а) б)

в) г)

д) е)

19.

а) б)

в) г)

д) е)

20.

а) б)

в) г)

д) е)

21.

а) б)

в) г)

д) е)

22.

а) б)

в) г)

д) е)

23.

а) б)

в) г)

д) е)

24.

а) б)

в) г)

д) е)

25.

а) б)

в) г)

д) е)

Задание 13.2. Найти область сходимости рядов:

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

11. а) б)

12. а) б)

13. а) б)

14. а) б)

15. а) б)

16. а) б)

17. а) б)