Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка
Нехай на відрізку 
задана неперервна функція 
, графіком якої є деяка лінія.
1) Знайти область визначення функції.
2) Знайти точки перетину графіка з координатними осями.
Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:
і 
Перша система дає точки перетину з віссю OX, а друга — з віссю ОY.
3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.
4) Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область визначення функції є інтервалом (пів інтервалом) або кількома інтервалами (пів інтервалами), то слід знайти граничне значення функції, коли хнаближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.
5) Знайти інтервали монотонності функції.
6) Знайти екстремальні точки функції і побудувати їх на площині.
7) На основі дослідження побудувати графік функції. Для зручності побудови графіка результати дослідження записують у таблицю.
17. Якщо ф-ція f(x) неперервна на проміжку [a:b] то вона набуває на цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення. Найбільше значення ф-ції на проміжку [a:b] наз. абсолютним максимумом, а найменше – абсолютним мінімумом.
Ф-ція на відрізку [a:b]досягає найбільшого значення на одному із кінців свого проміжку, або в такій точці, яка є точкою максимума.
Диференціал ф-ції. Нехай ф-ція y=f(x) диференційована на деякому проміжку, тобто для будь-якої т.Х з цього проміжку виконується нерівність 
=f`(x) + a (a-альфа) а- нескінченно мала величина вищого порядку.
dy= f`(x)dx + adx. (d – дельта) 1й доданок – це головна частина приросту, лыныйна відносно dx
2й доданок завжди нескінченно мала величина вищого порядку ніж dx
Добуток f`(x) dx називається диференціалом ф-ції і познач dy=f`(x)dx
Геом. зміст: диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і 
х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої.
18. Озн: Впорядковані пари чисел (х0;у0) на координатній площині відп. 1 точка Р(х0;у0). Впорядкованій парі n-дійсних чисел відповідає одна точка Р(х1, х2….;хn)
Озн: Множина точок наз зв’язною, якщо будь-які 2 її точки можна сполучити ламаною лінією таким чином, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.
Озн: множина точок наз обмеженою, якщо всі її точки належать множині точок круга, обмеженого радіуса.
Озн: Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (х1-х10)2 +(х2-х20) +…+(хn- хn0) < б2 наз дельта околом т Р (х10;х20…хn0)
Озн: Точна наз внутрішньою для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деякими своїми б-околами. Зовнішньою якщо існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині
Озн: зв’язка множини, яка складається тільки з внутр. Точок наз відкритою областю.
Озн: точна наж межовою для області, якщо в будь-якому її дельта-околі існують точки, що належать області і не належать їй.
Озн: множина межових точок наз межею області
Озн: Обдасть об’єднана зі своєю межею наз замкненою областю.
Озн: якщо кожній множині Р(х1;х2;хn) з множини D n-вимірного простору поставити у відповідність за деяким законом одне й тільки одне дійсне число Z, то кажуть, що області D задано ф-цію n-незалежних змінних і позначають z=f(x1;x2;x3;…xn) Z=f(x;y)
Озн: лінією рівня наз множина точок площини, в яких ф-ція Z=f(x;y) набуває однакових значень, тобто стала.
19 Наведемо основні теореми диференціального числення.
Теорема Ферма. Нехай функція 
неперервна в інтервалі 
і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді , якщо в точці с існує похідна 
, то 
.
Теорема Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку 
, диференційовна в інтервалі і на кінцях відрізка набуває однакових значень 
, то знайдеться хоча б одна точка 
, в якій .
Теорема Коші. Якщо функції і 
неперервні на відрізку , диференційовні в інтервалі , причому 
, 
, то існує така точка , що
.
Теорема Лагранжа. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій
.
Цю формулу називають формулою Лагранжа або формулою скінченних приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції 
через похідну в деякій точці с інтервалу і скінченне значення приросту аргументу 
.
20. Число В наз границею ф-ції Z=f(x;y) при умови х->х0 у->у0 для будь-якого Е>0 існує таке число б>0, що для всіх х, у виконується нерівність 0<(x-x0)2+ (y-y0)2<б і виконується нерівність / f(x;y) –B/<E
limf(x;y)=B (х->х0 у->у0)