Методи рішення завдань на побудову
Основні задачі на побудову
План розв’язання задач на побудову такий:
1. Аналіз. Проаналізувати умову задачі, побудувавши ескіз фігури із заданими властивостями, і встановити зв’язок між її елементами. Визначити послідовність елементарних побудов.
2. Побудова. Здійснити визначену послідовність елементарних побудов.
3. Доведення. Довести, що побудована фігура має задані властивості.
4. Дослідження. Дослідити, чи завжди можна виконати побудову, та скільки існує розв’язків задачі.
Зверніть увагу!Елементарними побудовами є:
· проведення прямої за допомогою лінійки без поділок;
· позначення точки;
· проведення кола за допомогою циркуля;
· знаходження точки перетину прямих або кіл.
· Задача на побудову трикутника за трьома сторонами
· Послідовність елементарних побудов.
· На прямій позначити точку. Це одна вершина трикутника. З центром у цій точці провести коло радіусом, що дорівнює одній зі сторін трикутника. На прямій одержимо точку перетину з колом, що буде другою вершиною трикутника.
· З центром у першій вершині провести коло радіусом, що дорівнює другій стороні трикутника; з центром у другій вершині провести коло радіусом, що дорівнює третій стороні трикутника. Точка перетину кіл — третя вершина трикутника. З’єднати відрізками три вершини трикутника.
· Задача на побудову кута, що дорівнює даному
· На сторонах заданого кута обрати дві довільні точки. Розглянути трикутник, вершинами якого буде вершина заданого кута й одержані точки. Побудувати трикутник, рівний розглянутому трикутникe, і продовжити дві його сторони.
· Задача на побудову бісектриси даного кута
· Послідовність елементарних побудов.
· Провести коло довільного радіуса з центром у вершині заданого кута. Позначити точки перетину кола зі сторонами кута. Тим же радіусом провести кола з центрами в позначених точках. Точка перетину кіл лежить на шуканій бісектрисі кута. Провести через неї промінь із вершини заданого кута.
· Задача на побудову прямої, перпендикулярної до даної прямої
· Обрати на прямій дві довільні різні точки. Виконати побудову точки, що є серединою одержаного відрізка. Пряма, яку одержали при побудові, перпендикулярна до заданої прямої.
Методи рішення завдань на побудову
До основних методів розв'язування задач на побудову, що вивчаються в середній школі, відносяться:
1) Метод геометричних місць.
2) Методи геометричних перетворень:
а) метод центральної симетрії;
б) метод осьової симетрії;
в) метод паралельного переносу;
г) метод повороту;
д) метод подібності;
3) Алгебраїчний метод.
Перераховані методи є одним з видів застосування на практиці відповідних геометричних понять, які складають основу кожного з методів. Тому без доброго знання цих понять учнями не може бути ніякої мови про успішне засвоєнні відповідних методів. Але, з іншого боку, в силах вчителя підібрати таку систему завдань на побудову і так побудувати навчання, щоб оцінити потреби поглиблювали уявлення і збільшували знання школярів про даному понятті, розкриваючи його з різних сторін. Завдання при вивченні конкретного методу повинні підбиратися так, щоб в них як можна більш яскраво проявлялася суть досліджуваного методу, особливо на початковому етапі його вивчення. При цьому якщо завдання вирішується декількома методами, то досліджуваний метод повинен дозволяти вирішити завдання найбільш економно та красиво. Розглянемо більш детально кожен метод.
22 пит Вимірювання відрізків. Відстань між двома точками
Якщо на прямій відмітити дві різні точки, то вони розіб’ють пряму на три частини, дві з яких - це промені, а та, що знаходиться між променями, називається відрізком.
Відрізок — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками, які називаються кінцями відрізка. Точки відрізка, які лежать між його кінцями, називаються внутрішніми точками відрізка.
Кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом.
Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
Внутрішня точка відрізка, що розбиває його на два рівні відрізки, називається серединою відрізка.
На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.
Відстанню між двома точками називається довжина відрізка з кінцями в цих точках.
Запам’ятайте! Рівні відрізки мають рівні довжини. Якщо відрізки мають рівні довжини, то вони рівні.
Більший відрізок має більшу довжину. З двох відрізків більшим є той, довжина якого більша.
Це цікаво.
Для вимірювання довжин відрізків у школі найчастіше використовують лінійку зі шкалою. Щоб виміряти довжину відрізка, треба прикласти лінійку до відрізка так, щоб один кінець відрізка сумістився з поділкою шкали, що відповідає нулю, тоді поділка, що буде суміщена з другим кінцем відрізка, вкаже на відповідне значення довжини відрізка.
Довжини великих відрізків, наприклад, на місцевості, вимірюють за допомогою рулетки.
Якщо на місцевості не потрібні точні вимірювання довжин відрізків, можна скористуватись таким методом. Виміряти середню ширину свого кроку і, виміривши довжину відрізка в кроках, помножити довжину одного кроку на їхню кількість.
23 пит
Кут плоский — геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з одної точки, що називається вершиною кута.
Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою повороту променя. Таке визначення дозволяє узагальнити поняття кута: залежно від напрямку обертання розрізняють додатні й від'ємні кути, розглядають кути, більші від розгорнутого і повного, кути, рівні нулю тощо. В тригонометрії це дозволяє вивчати тригонометричні функції для будь-якого значення аргументу.
Поняття кута узагальнюється також на різні об'єкти, що розглядаються в стереометрії.
Вимірювання
Мірою кута є відношення довжини дуги S до радіуса r
Ілюстрація від'ємних кутів та кутів, більших від повного
Докладніше: градус, мінута, секунда
Традиційно кути вимірюють у градусах, хвилинах і секундах. При цьому розгорнутий кут ділиться на 180 градусів, кожен із градусів ділиться на 60 мінут, кожна з мінут на 60 секунд. Градуси позначаються значком °, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.
У міжнародній системі одиниць СІ використовується інший спосіб вираження величини кута, при якому кут - безрозмірна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні радіана. При цьому величина кута за означнням дорівнює відношенню довжини дуги кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до радіуса. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, при якому відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірні величини кутів зручно використовувати у тригонометрії.
Кут можна розглядати як фігуру, утоворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, в залежності від напрямку обертання, величина кута може приймати як додатні, так і від'ємні значення. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута збільшується від нуля до додатніх значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, приймаючи від'ємні значення.
Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснює більше одного оберту. Це зручно в тригонометрії та фізиці.
Прилади для вимірювання кутів називаються кутомірами. Найпопулярніший із низ транспортир. Транспортир можна використовувати також для побудови кута певної величини. Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях науки і техніки: в астромномії, навігації, в будівництві та гірництві тощо. За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозвляє отримати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: теодолітів, гоніометрів, секстантів і т.д.
Площі фігур
· ПЛОЩА – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
- Рівні фігури мають рівні площі.
- Якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин.
- Площа квадрата із стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
· Площа— величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних квадратів, якими фігури можна покрити.
| Фігура | Рівняння | Змінні |
| Квадрат | 
|  — довжина сторони квадрата.
|
| Правильний трикутник | 
| — довжина сторони трикутника.
|
| Правильний шестикутник | 
| — довжина сторони шестикутника.
|
| Правильний восьмикутник | 
| — довжина сторони восьмикутника
|
| Правильний багатокутник | 
|  — периметр, а  — кількість сторін.
|
| Правильний багатокутник (кути в градусах) | 
| — периметр, а — кількість сторін. ага.
|
| Прямокутнийтрикутник | 
|  і  — катети трикутника.
|
| Довільнийтрикутник | 
| — сторона трикутника,  — висота, проведена до цієї сторони.
|
| , — будь-які дві сторони,  — кут між ними.
| |
 (формула Герона)
| , ,  — сторони трикутника,  — півпериметр  .
| |
| у випадку обходу вершин трикутника за годинниковою стрілкою отримаємо додатний результат, інакше від'ємний. | |
| Прямокутник | 
| та — довжини сторін прямокутника (його довжина та ширина).
|
| Паралелограм | 
| та — довжина сторони та опущеної на неї висоти відповідно.
|
| і — сусідні сторони паралелограма, — кут між ними.
| |
| Ромб | 
| та  — довжини діагоналей ромба.
|
| Еліпс | 
| та — довжини малої та великої півосей відповідно.
|
| Трапеція | 
| та — паралельні сторони а — відстань між ними (висота трапеції).
|
Геометричну фігуру називають простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.
Для простих фігур площа — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієїфігури дорівнює сумі площі її частин;
• площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
На рисунках, поданих нижче, зображені основні геометричні фігури; поруч даються формули їх площ.
25, Об'є́м — місткість геометричного тіла, тобто частини простору, обмеженої однією або декількома замкнутими поверхнями. Місткість або ємкість виражається числом кубічних одиниць, що поміщаються в об'ємі.
Прийняті одиниці вимірювання — в СІ і похідних від неї — кубічний метр, кубічнийсантиметр, літр (кубічний дециметр) і т. д. Позасистемні — галон, барель, бушель.
· Слово «об'єм» також використовують в переносному значенні для позначення загальної кількості або поточної величини. Наприклад, «об'єм попиту».
· В образотворчому мистецтві об'ємом називається ілюзорна передача просторових характеристик предмета, що зображується, художніми методами.
| Загальні формули об'ємів: | ||
| Тіло | Формула | Величини |
| Куб | 
| s = ребро куба |
| Прямокутна призма | 
| l = довжина, w = ширина, h = висота |
| Циліндр | 
| r = радіус основи циліндра, h = висота |
| Будь-яка призма, що має постійну площу перетину поперек всієї висоти: | 
| A = площа основи, h = висота |
| Куля | 
| r = радіус кулі |
| Еліпсоїд | 
| a, b, c = півосі еліпсоїда |
| Піраміда з прямокутною основою | 
| l = довжина, w = широта, h = висота |
| Конус | 
| r = радіус кола основи, h = висота |
| Довільне тіло (з використаннямінтегрального числення) | 
| тут h — значення координати в довільному напрямку всередині фігури, A(h) = площа перпендикулярного до вибраного напряму перетину при значенні координати h |