Вираз скалярного добутку через координати векторів та обчислення кута між векторами

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где - алгебраические дополнения элементов .

В нашем случае

Тогда

Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: или в другой записи .

69.

Скалярний добуток двох векторів

Def. Скалярним добутком двох векторів і називають число (або ), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо хоча б один із векторів чи нульовий, то за означенням

Оскільки виконуються рівності

, ,

то

Геометричний зміст скалярного добутку.

Рис. 14.Геометричний змістскалярного добутку

Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора (рис. 14). Тоді . (5.1)

Формула (5.1) – робоча формула для обчислення проекції вектора на вектор (або вісь).

Властивості скалярного добутку

Алгебраїчні властивості скалярного добутку :

1) ;

2) ;

3) .

Геометричні властивості скалярного добутку:

1) якщо та , то , якщо кут гострий, і , якщо кут тупий;

2) скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні;

3) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини, тобто ,

звідки . (5.2)

Умова перпендикулярності двох векторів.

Ненульові вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

. (5.3)

Зокрема: , , .

Вираз скалярного добутку через координати векторів та обчислення кута між векторами

Нехай вектори і задані своїми координатами

, .

Тоді

(5.4)

Справді,

оскільки , , та .

Висновки з формули (5.4) такі:

1) умова перпендикулярності векторів і :

;

2) довжина вектора : ;

3) косинус кута між векторами і :

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( - угол между векторами и , );

3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

72.

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах :

де A , B і C - Довільні постійні, причому постійні A і B не рівні нулю одночасно. Вектор з координатами (A, B) називається нормальним вектором і він перпендикулярний прямій. Вектор з координатами (-B, A) або (B,-A) називається направляючим вектором.

При C = 0 пряма проходить через початок координат. Також рівняння можна переписати у вигляді:

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Если в общем уравнении прямой

(1)

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0 (А 0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0 (В 0); уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где , суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

и ,

то могут представиться три случая:

а). - прямые имеют одну общую точку;

б). - прямые параллельны;

в). - прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.