Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

7. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента , при условие, что .( )

Физический смысл производной:

Производная показывает скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента x.

Геометрический смысл производной:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

8. Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

.

Геометрический смысл дифференциала:

П роведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому или . Это означает, что дифференциал функции в равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение .

Приближенные вычисления:

9. Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти первую производную функции f '(x).

3) Определить критические точки, для этого:

4) найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

5) найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

6) Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

7) Вычислить значение функции в точках экстремума.Необходимое условие существования экстремума функции в точке:Если -точка экстремума функции и в этой точке функция дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю.

(Точками экстремума могут служить лишь критические точки, в которых производная равна нулю или не существует).

Необходимое условие не является достаточным, т.е. из того факта, что производная равна нулю в некоторой точке, не следует, что функция в этой точке имеет экстремум(например, функция ).

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точкусмены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .

10. Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

(7.5)

Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.