Однородные линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Свойства решений.
Понятие линейного дифференциального уравнения произвольного порядка. Дифференциальный оператор и его свойства.
Линейным дифференциальным уравнениемn -го порядка называется уравнение вида
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),
где y = y(x) — неизвестная функция,
a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:
L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y .
Уравнения
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), f(x) № 0,
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.
Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:
L(y) = 0 и L(y) = f(x).
Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
при любых постоянных c1, c2 является решением однородного уравнения.
б) Если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения
L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) - y2(x)
является решением однородного уравнения L(y) = 0.
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Принцип суперпозиции:
Если y1(x) и y2(x) — решения неоднородных линейных уравнений
L(y) = f1(x) и L(y) = f2(x), то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения
L(y) = f1(x) + f2(x).
Однородные линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Свойства решений.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x)y = 0,
где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x),a2(x), ..., an-1(x), an(x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) существуют n линейно независимых решений уравнения
y1(x), y2(x), ..., yn(x);
2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция
y(x)=c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x)
является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1,c*n, ..., c*n, что решение
y*(x)=c*1 y1(x) +c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x)
удовлетворяет при x = x0 начальным условиям
y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение y(x)=c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядкаy1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):
exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)' + anexp(lx)=
= (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
Утверждение: если система функций является линейно-независимой и каждая из этих функций явл решением ЛДУ н-ного порядка, то определитель Вронского для такой системы не равен нулю
yn+a0(x)y(n-1)…+an-1y=0 (1)
y1=y1(x), y2=y2(x), … yn=yn(x) (2)
Тогда определитель Вронского будет не равен нулю.
W(x1y1;x2y2…xnyn)=0 (3)
Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель