Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
Домашний типовой расчет
по теме:
«Элементы математической статистики»
Выполнила ст. гр. ГНГ-10 Ларукова А.
Проверила Прудникова О. М.
Ухта 2012
Элементы математической статистики.
Задача
Выполнение задания
Известны х1 ,х2 ,…,хn – результаты независимых наблюдений над случайной величиной х.
Х – проходка на долото
13 вариант
| 136.6 | |||||||||
Сгруппируем эти данные в интегральную таблицу
а) Определить объем выборки
n = 76
б) Определить Хmaxи Xmin элементы выборки
Хmax = 307 Xmin = 2
Тогда размах выборки - R = Хmax - Xmin =305
в) По формуле Серджеса определяем количество интервалов
k = 1+3,322lg(n) = 7,25 7
г) Рассмотрим шаг разбиения
h = R÷k = 305÷7 = 43,57
д) Вычислим начальное значение интервальной таблицы
Xнач = Xmin -0,5h = -19,79
е) Составим интервальную таблицу
где Х – проходка на долото
| Xi - … | (-19,79;29,78) | (29,78;67,35) | (67,35;110,92) | (110,92;154,49) | (154,49;198,06) | (198,06;241,63) | (241,63;285,2) | (285,2;328,77) |
| ni | ||||||||
| Xi ср | 4,995 | 48,565 | 89,135 | 132,705 | 241,63 |
Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
а) Построение полигона частот
Полигоном частот – называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1 ,n1), (х2 ,n2), (хk ,nk). Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты хi , а на оси ординат – соответствующе им частоты ni . Точки (хi , ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
б) Построим гистограмму частот
Гистограммой частот – называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h , а высоты равны отношению ni /n (плотность частоты).
в) Построить моду и медиану
Модой – называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медиана – называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
| Хi | (-19,79;29,78) | (29,78;67,35) | (67,35;110,92) | (110,92;154,49) | (154,49;328,77) |
| ni | |||||
| ni /h | 0,8 | 0,44 | 0,16 | 0,16 | 0,18 |
г) Найдем и построим эмпирическую функцию распределения
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) – называют функцию F*(x) определяющую частоту события Х<х. F*(x) = nx /n
д) Построим кумуляту
Кумулята – это график составленный из накопительных частот то есть это сглаженное изображение эмпирической функции распределения.
| Хi | (-19,79;29,78) | (29,78;67,35) | (67,35;110,92) | (110,92;154,49) | (154,49;328,77) |
| ni | |||||
| ni /n | 35/76 | 19/76 | 7/76 | 7/76 | 8/76 |
| Xi ср | 4,995 | 48,565 | 89,135 | 132,705 | 241,63 |
Найдем несмещенную оценку математического ожидания и дисперсии случайной величины х
Х – проходка на долото
а) Несмещенная оценка
Xнесм = 
б) исправленная дисперсия
= 
(Xвыб)2 =363,609
в) «Исправленное» среднее квадратическое отклонение.
11691,37 = 11847,26
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины х с надёжностью 
= 0,9 и = 0,95
X – проходка на долото; n = 76; Xвыб = 60,3; S = 108,85; 
= 11691,37; 
= 
а) Найдем интервальные оценки математического ожидания
1) Ф(t) = 
= 
2) 
б) Найдем интервальные оценки дисперсии
1) 
= 0,99; q( 
;n) = (0,99;76)
82,18 
133,45
6753,55 
17808,9
(6753,55;17808,9)
2) = 0,95; q( ;n) = (0,95;76)
89,91 126,37
8083,81 15969,38
(8083,81;15969,38)
Выдвинуть гипотезу об истинном значении параметра 
нормального распределения и проверить ее при уровне значимости 
Выдвинем гипотезу об истинном значении параметра 
нормального распределения и проверим ее при уровне значимости 
примем 
Проверим гипотенузу 
При конкурирующей гипотенузе 
Решение:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия
б) при 
найдем
нет основания отвергнуть гипотезу 
,т.е. выборочная средняя 
незначимо отличается от гипотетической (предполагаемой)генеральной средой 
Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины x проверить ее по критерию 
(Пирсона) при уровне значимости
Выведем гипотенузу о нормальном законе распределения случайной величины х и проверим ее по критерию при уровне значимости 
имеем 
нормальный закон распределения наблюдается
нормальный закон распределения не наблюдается
а) Составим вспомогательную таблицу вида
| № | Частичный
интервал
| Нормированный
правый конец
| Нормированный левый конец
| 
| 
| Теоретическая вероятность
| Теоретическая частота
| Эмпирическая частота
|
| (-19,79; 29,78) | -0,28 | -0,74 | -0,1103 | -0,2703 | 0,16 | 12,16 | ||
| (29,78; 67,35) | 0,06 | -0,28 | 0,0239 | -0,1103 | 0,1342 | 10,2 | ||
| (67,35; 110,92) | 0,47 | 0,06 | 0,1808 | 0,0239 | 0,1569 | 11,92 | ||
| (110,92; 154,49) | 0,87 | 0,47 | 0,3078 | 0,1808 | 0,127 | 9,65 | ||
| (154,49; 328,77) | 2,47 | 0,87 | 0,4932 | 0,3078 | 0,1854 | 14,09 |
б) Сравним эмпирическую и теоретическую частоты.
эмпирическая частота 
| |||||
теоретическая частота 
| 12,16 | 10,2 | 11,92 | 9,65 | 14,09 |
Вывод: расхождение случайно
|
|
| 
| 
| 
|
| 12,16 | 22,84 | 521,67 | 42,9 | ||
| 10,2 | 8,8 | 77,44 | 7,59 | ||
| 11,92 | -4,92 | 24,21 | 2,03 | ||
| 9,65 | -2,65 | 7,02 | 0,73 | ||
| 14,09 | -6,09 | 37,09 | 2,63 |
Задача
Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость y от x. Построить теоретическую зависимость и экспериментальные точки на одном графике.
| x | -2 | -1 | |||||
| y | 5,2 | 2,7 | -0,2 | -0,8 | -2,7 | -5,3 | -7,4 |
1) Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы на координатной плоскости.
Основываясь на график, можно предполагать, что данная функция зависимости является линейной 
2) Предусматриваем нахождения параметров ( 
этих зависимостей из условий минимума алгебраической суммы квадратического отклонения
3)Где коэффициенты 
найдем из решения системы для квадратической зависимости:
n-количество пар в таблице
4)Для решения системы следует составить вспомогательную таблицу
| 
| 
| 
| 
|
| -2 | 5,2 | -10,4 | ||
| -1 | 2.7 | -2,7 | ||
| -0,2 | ||||
| -0,8 | -0,8 | |||
| -2,7 | -5,4 | |||
| -5,3 | -15,9 | |||
| -7,4 | -29,6 | |||
| -8,5 | -64,8 |
0,0225;
Задача
При исследовании коэффициента трении полимерного волокна для двух образцов были получены следующие силы трения. Можно ли считать, что в среднем образцы одинаковы.
| 1 обр | 5,01 | 4,89 | 4,89 | 4,88 | 4,88 | 4,92 |
| 2 обр | 4,88 | 5,00 | 5,02 | 4,90 | 4,90 | 4,95 |
Ход решения: 1) Вычислить 
