Наближення квадратичною функцією

В деяких випадках апроксимувати результати експериментальних досліджень не тільки недоцільно, але й не бажано. Так, на рис. 5 наведені дані, з розгляду яких аж ніяк неможна апроксимувати лінійною залежністю.

Зробимо спробу для розв’язання поставленої задачі застосувати функцію у вигляді

 
 

Коефіцієнти а, b і с цієї залежності знаходять із умови забезпечення мінімуму функції

Визначимо частинні похідні від цієї функції по невідомих коефіцієнтах

Після перетворення отримуємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

(5.9)

розв’язання якої визначає значення коефіцієнтів а, b і с.

Розглянемо приклад. Нехай в результаті експерименту отримана наступна таблиця значень х і у:

Таблиця 3

хі 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
уі 0,705 0,495 0,426 0,357 0,368 0,406 0,549 0,768

 

Необхідно апроксимувати ці експериментальні дані лінійною і квадратичною функціями. Розв’язання задачі зводиться до рішення систем лінійних рівнянь (5.5) і (5.9).

Як вказувалося вище, розрахунки доцільно проводити в табличній формі (табл. 4). Оскільки методика їх проведення для лінійної залежності розглянута у вище наведеному прикладі, то для цього випадку вкажемо тільки остаточні результати. Рівняння лінійної регресії має вигляд:

При цьому нев’язка апроксимації становила 0,16517.

 

Таблиця 4

№ x y x2 x3 x4 xy x2y
0,5 0,705 0,25 0,125 0,0625 0,3525 0,1763
0,6 0,495 0,36 0,216 0,1296 0,2970 0,1782
0,7 0,426 0,49 0,343 0,2401 0,2982 0,2087
0,8 0,357 0,64 0,512 0,4096 0,2856 0,2285
0,9 0,368 0,81 0,729 0,6561 0,3312 0,2981
1,0 0,406 1,00 1,000 1,0000 0,4060 0,4060
1,1 0,549 1,21 1,331 1,4641 0,6039 0,6643
1,2 0,768 1,44 1,728 2,0736 0,9216 1,1059
Σ 6,8 4,074 6,20 5,984 6,0356 3,4960 3,2660

 

Застосування квадратичної функції дозволило отримати рівняння, яке найкращим чином апроксимує наведені в табл. 3 експериментальні дані. Це рівняння має вигляд:

 
 

При цьому нев’язка апроксимації становила 0,0021, що значно менше ніж при лінійній апроксимації.

Результати апроксимації лінійною та квадратичною залежностями в графічному виді показані на рис. 6. Точки на цьому рисунку відповідають експериментальним даним, наведеним в табл. 3. Графічні результати наочно свідчать про те, що для експериментальних даних, наведених в табл. 3, доцільно застосовувати саме квадратичну апроксимацію.

За апроксимаційні функції, крім розглянутих вище, в залежності від характеру розташування експериментальних точок можуть застосовуватися наступні функції:

– степенева –

– показова –

– дрібно-лінійна –

– логарифмічна –

– гіперболічна –

– дрібно-раціональна –

Коли вид апроксимуючої функції вибрано, то задача зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів методом найменших квадратів.