Найти производные данных функций.
1) у=х5+ 
-cos x
Решение:
y’=(х5+ 
-cos x)’=5x4+ 
’+sin x=5x4 
+sin x=5x4 
+sin x
Ответ: y’ =5x4 
+sin x.
2) у=(х3-5) ех
Решение:
у’=((х3-5) ех)’=( х3-5)’ ех +( х3-5)( ех)’=3x2ех+( х3-5) ех =( х3+3x2-5) ех
Ответ: y’ =( х3+3x2-5) ех.
3) 
Решение:
Ответ: 
4) y=ln(sin5x+x2)
Решение:
y’= 
Ответ: y’= 
5) 
Решение:
Ответ: 
6) y= 
Решение:
y’= 
Ответ: y’= 
7) у=(sinx)cosx
Решение:
Применим логарифмическое дифференцирование:
Логарифмируя по основанию е находим: lny=ln(sinx)cosx
Применим основное свойство логарифма: lny=cosx·lnsinx
Дифференцируем обе части равенства: (lny)’=(cosx·lnsinx)’
Ответ: 
8) y3+x2cosy=2
Решение:
Дифференцируем обе части равенства: (y3+x2cosy)’=(2)’
3y2y’+(x2)’cosy+x2(cosy)’=0
3y2y’+2xcosy-x2siny·y’=0
2xcosy=x2siny·y’-3y2y’
y’(x2siny-3y2)=2xcosy
Ответ: 
Задача № 3_.
Найти первую и вторую производные данных функций:
1) y=x2esinx
Решение:
y=x2esinx
Ищем первую производную:
y’=(x2esinx)’
y’=(x2)’esinx+x2(esinx)’
y’=2xesinx+x2cosx·esinx
Ищем вторую производную:
y’’=(2xesinx+x2cosx·esinx)’
y’’=(2x)’esinx +2x(esinx)’+(x2)’cosx·esinx+ x2(cosx·esinx)’
y’’=2esinx +2xcosx·esinx+2xcosx·esinx+ x2((cosx)’esinx +cosx(esinx)’)
y’’=2esinx +4xcosx·esinx+x2(-sinx·esinx +cos2x·esinx)
y’’=2esinx +4xcosx·esinx-x2sinx·esinx + x2cos2x·esinx
Ответ: y’=2xesinx+x2cosx·esinx; y’’=2esinx +4xcosx·esinx-x2sinx·esinx + x2cos2x·esinx
2) x=2cost; y=3sint
Решение:
Ответ: 
Задача № 4_.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить график:
Решение:
1) Область определения D(у)=(-∞; 1)U(1; ∞), то есть функция непрерывна на своей области определения, х=1 - точка разрыва, исследуем поведение функции вокруг этой точки.
следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.
2) Так как область определения D(у) не симметричное относительно нуля множество, то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).
3) у(х)∩ОХ в точке (0; 0),
так как при у=0 Þ 
4) у(х)∩ОY в точке (0; 0),
так как при x=0 Þ 
5) Вычислим у¢(х)
функция возрастает на [-2; 0]; функция убывает на (-∞; -2]; [0; 1); (1; +∞)
x=0 - точка max у=0 – max;
х=-2 – точка min y=-4/27 – min.
6) Вычислим у²(х)
функция выпукла на (-∞; -2-√3]; [-2+√3; +∞); функция вогнута на [-2-√3; -2+√3]; (1; +∞);
х=-2±√3 – точки перегиба;
7) y=kx+b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где
итак, у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты.
Строим график:
Задание 5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
f(x)=x3-3x2-9x+2, [-2; 4]
Решение:
Область определения D(у)=R, точек разрыва нет и, следовательно, функция имеет наибольшее и наименьшее значения, которые она принимает либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.
Находим критические точки функции: f’(x)=(x3-3x2-9x+2)’=3x2-6x-9
f’(x)=0 => 3x2-6x-9=0 => x2-2x-3=0 => 
две критические точки,
принадлежащие отрезку [-2; 4].
Находим значения функции в критических точках (так как обе они принадлежат исследуемому отрезку) и на концах отрезка и из них выбираем наибольшее и наименьшее:
f(-2)= (-2)3-3(-2)2-9(-2)+2=0;
f(-1)= (-1)3-3(-1)2-9(-1)+2=7 – наибольшее значение;
f(3)=33-3·32-9·3+2=-43 – наименьшее значение;
f(4)=43-3·42-9·4+2=-18;
Итак, 
Ответ: 