ЕЛЕМЕНТАРНИХ МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ
У ДІТЕЙ ДОШКІЛЬНОГО ВІКУ
§ 1.Значення і завдання формування
початкових математичних уявлень і понять
у дошкільників
Проблема навчання математики в наш час набуває дедалі більшого значення. Це пояснюється насамперед бурхливим розвитком математичної науки у зв'язку з проникненням її у найрізноманітніші галузі знань.
Підвищення рівня творчої активності мас, проблеми автоматизації виробництва, моделювання на електронно-обчислювальних машинах тощо передбачають наявність у працівників більшості сучасних професій достатньо розвиненого вміння чітко й послідовно аналізувати процеси, які вивчаються. Це стосується, зокрема, проблем сучасної дошкільної педагогіки. Навчання в дитячому садку спрямоване на виховання у дітей звички до повноцінної логічної аргументації всього, що нас оточує.
Розвитку логічного мислення у дошкільників найбільшою мірою відповідає навчання початкової математики. Для математичного стилю мислення характерні: чіткість, стислість, розчленованість, точність і логічна послідовність міркувань, уміння користуватись символікою. У зв'язку з цим перебудовано зміст навчання математики в школі та дитячому садку.
Основна мета формування елементарних математичних знань у дітей дошкільного віку полягає в тому, щоб дати їм математичні уявлення і початкові поняття, навчити їх найпростіших способів виконання математичних дій, сформувати відповідні уміння та навички, підготувати до самостійного застосування цих умінь при розв'язанні найрізноманітніших практичних і пізнавальних завдань, сприяти розвитку особистості в цілому.
Природно, що основою пізнання є чуттєве сприйняття, здобуте з досвіду та спостережень. У процесі чуттєвого пізнання формуються уявлення — образи предметів, їхніх ознак, відношень. Так, оперуючи різноманітними множинами (предметами, іграшками, картинками, геометричними фігурами), діти вчаться встановлювати рів-
ність і нерівність множин, називати кількість визначеними словами: бі'льше, менше, порівну. Порівняння конкретних множин готує дітей до засвоєння в майбутньому поняття числа. Саме операції з множинами є тією осно-
_ вою, до якої звертаються діти не лише в дитячому садку, а й протягом усіх наступних років навчання у школі. Уявлення про множину формують у дітей основи розуміння абстрактного числа, закономірностей натурального ряду чисел. Хоча поняття натурального числа, а також геометричної фігури, величини, частини та цілого абстрактні, все ж вони відображають зв'язки і відношення, властиві предметам навколишньої дійсності.
* Доведено, що ознайомлення дітей з різними видами математичної діяльності в процесі цілеспрямованого навчання орієнтує їх на усвідомлення зв'язків та відношень.
У дітей дошкільного віку процес формування початкових математичних знань та умінь здійснюється так, щоб навчання давало не лише безпосередній практичний результат (навички лічби, виконання елементарних математичних операцій), а й широкий розвиваючий ефект. Аналіз передового педагогічного досвіду з навчання дошкільнят математики переконує в тому, що, правильно організоване, воно сприяє загальному розумовому розвитку дітей. Діти дістають елементарні уявлення про множину, число, відношення величин, про найпростіші геометричні фігури, вчаться орієнтуватись у часі та просторі. Вони оволодівають лічбою та вимірюванням лінійних і об'ємних величин за допомогою умовної міри, встановлюють кількісні відношення між числами, цілим і частиною. У математичній підготовці дітей, розвитку елементарних математичних уявлень важливу роль відіграє навчання вимірюванням як початкового способу пізнання кількісної сторони дійсності. Це дасть змогу дошкільнятам користуватися не звичайними, а умовними мірками при вимірюванні сипких, рідких та інших речовин. Водночас у дітей розвиваються навички вимірювання на око, що дуже важливо для їхнього сенсорного розвитку.
■ Під впливом систематичного навчання математики діти оволодівають спеціальною термінологією: назвами чисел, геометричних фігур (коло, овал, прямокутник, ромб тощо), елементів фігур (кут, сторона, вершина), обчислювальних дій (додавання, віднімання, порівняння) та ін.
Проте не рекомендується у роботі з дітьми вживати такі слова-терміни, як множина, сукупність, елемент та ін.
Заняття з математики набувають особливого значення у зв'язку з розвитком у дітей пізнавальних інтересів, уміння виявляти вольові зусилля в процесі розв'язування математичних задач.
Навчальні 'завдання на занятті розв'язуються в поєднанні з виховними. Так, вихователь учить дітей правильно сидіти, не розмовляти під час заняття, уважно слухати, виконувати завдання.
Заняття з математики дисциплінують дітей, сприяють формуванню у них цілеспрямованості, організованості й відповідальності.
Отже, навчання математики з раннього віку сприяє всебічному розвитку дошкільнят.
Серед завдань формування елементарних математичних уявлень і понять слід виділити основні, а саме:
1. Нагромадження у дошкільнят знань про множину,
число, величину, форму, простір і час.
2. Формування широкої первісної орієнтації у кіль
кісних, просторових та часових відношеннях навколиш
ньої дійсності; формування навичок і вмінь у лічбі, ви
мірюванні, обчисленні та ін.
3. Оволодіння дітьми математичною термінологією,
розвиток у них пізнавальних інтересів і здібностей, ро
зумовий розвиток дитини в цілому.
Ці завдання розв'язуються вихователем одночасно на кожному занятті з математики, а також у процесі організації різних видів самостійної дитячої діяльності. Численні психологопедагогічні дослідження та передовий педагогічний досвід роботи в дошкільних закладах показують> що тільки правильно організована дитяча діяльність і систематичне навчання забезпечують своєчасне і правильне формування у дошкільників найпростіших умінь та знань з математики.
Дослідження Г. С. Костюка, Н. О. Менчинської, Г. М. Леушиної та ін. переконують у тому, що вікові можливості дітей дошкільного віку дають змогу формувати в них цілком наукові, хоча й елементарні, початкові математичні знання. При цьому підкреслюється, що відповідно до віку дитини треба добирати й спосіб впливу .У зв'язку з цим на конкретних вікових етапах створюються найсприятливіші умови формування визначених знань та умінь.
конкретних множин. Спочатку малюки берутьпредмети руками, перекладають їх, а з віком діти лічать предмети, не торкаючись до них або сприймаючи лише на дотик.
Доведено, "що на основі практичних дій у дітей формуються такі операції, як аналіз, синтез, порівняння, узагальнення тощо. Вихователь в оцінці результатів своєї роботи повинен орієнтуватися насамперед на ці показники, на те, як діти вміють аналізувати, узагальнювати, робити висновки. Рівень оволодіння дітьми розумовими операціями залежить від застосування спеціальних методичних прийомів, які дають змогу дітям вправ-лятись у порівнянні, узагальненні. Так, діти вчаться порівнювати множини за кількістю, проводячи при цьому структурний і кількісний аналіз множини. Порівнюючи предмети за формою, діти виділяють довжину окремих параметрів, зіставляють їх між собою.
Важливим і відповідальним є завдання розвитку у дітей мислення і мови (оволодіння математичною термінологією). Необхідно значно більше приділяти уваги розвитку початкових навичок індуктивного і дедуктивного мислення, формуванню у дітей пізнавальних інтересів та здібностей. На жаль, досвід показує, що саме розв'язанню цього завдання у практиці роботи дитячих садків приділяється недостатньо уваги.
. Слід зазначити, що загальні розумові методи пізнання становлять основу всякого наукового мислення, в тому числі й математичного. Проте, останнє має свої особливості.
На практиці іноді простежується однобічне розуміння здібностей, як вузько спеціальних, що межують з обдарованістю. З цієї причини вихователі іноді недооцінюють формування у всіх дітей певних здібностей. Адже будь-яка діяльність неможлива, якщо людина не має до неї здібностей. У психології здібності визначаються як якості людини, необхідні для успішного виконання діяльності (Л. А. Венгер). Для з'ясування питання, у чому конкретно полягають ці здібності, треба знати, яких психологічних якостей обрана діяльність потребує, без яких вона взагалі не може бути виконаною.
Здібності слід розглядати не тільки у тісному зв'язку з певним видом дитячої діяльності, а й з її загальною структурою, у якій насамперед розрізняють орієнтувальні та виконавчі дії. І коли ми кажемо про загальні здібності до діяльності, то маємо на увазі, наскільки дитина
здатна в орієнтувальних діях застосовувати свої знання, уміння та навички, чи високий у неї рівень пізнавальної самостійності. Все це визначає ефективність виконавчої частини. Поряд з цим необхідно формувати у дітей уміння абстрагувати, виділяти основне.
. Отже, математичний розвиток дітей передбачає широку програму залучення їх до діяльності, якою керує вихователь.
§ 2. Виникнення математики і розвиток її як науки
Питання про виникнення математики з давніх-давен цікавило багатьох вчених та педагогів-практиків. Справді, цікаво знати, як виникли перші математичні поняття, як вони розвивались, поповнювались і поступово формувались в окрему науку. Особливо це важливо для дошкільної педагогіки і методики формування елементарних математичних уявлень, які вивчають особливості початкового ознайомлення дитини з числом та лічбою.
Лічба та обчислення увійшли в наш побут так, що ми не можемо собі уявити дорослу людину, яка не вміє лічити і виконувати найпростіші обчислення. Точно невідомо, коли з'явились у того чи іншого народу початкові математичні поняття про лічбу, множину і число, але з певністю можна сказати, що потреба порівнювати різні величини, лічити виникла з самого початку розвитку людського суспільства.
На підставі вивчення культури та мов різних народів, аналізу археологічних розкопок, вивчення життя й побуту народів знизьким рівнем суспільного розвитку, а також спостереження за засвоєнням математичних знань дітьми дошкільного віку вчені висувають ряд гіпотез про те, як порівнювалися множини в дочисловий період, як формувались перші уявлення й поняття про число і натуральний ряд чисел, як у процесі розвитку людського суспільства створювались системи числення та письмова нумерація. Отже, математика виникла з потреб людей і розвивалась у процесі їхньої практичної діяльності.
Бурхливий розвиток математики тісно пов'язаний з тим, що спочатку практика, а потім і теорія висували перед нею дедалі нові завдання. Для розв'язання практичних або теоретичних завдань набутих знань не виста-
І
Так, у другій молодшій групі дитячого садка (четвертий рік життя) основну увагу приділяють формуванню знань про множину та число. Як зазначає О. І. Марку-шевич, поняття множини є одним з основних і найбільш загальних, воно проходить через усю математику. Поняття множини таке широке, що не означається, принаймні на сучасному рівні розвитку математики, через інші, а вводиться як первісне і пояснюється на конкретних прикладах. У процесі вивчення основних властивостей множини формується поняття про число, перше уявлення про натуральний ряд чисел тощо. У дошкільному віці усвідомлення основних властивостей множини обмежене. Однак розуміння деяких її властивостей (рівність і нерівність множин, незалежність потужності множини від якісних її ознак та ін.) можливе вже у молодшому дошкільному віці.
Поряд з формуванням у дітей початкових математичних уявлень і понять «Програма виховання в дитячому садку» передбачає ознайомлення дітей дошкільного віку з рядом математичних залежностей і відношень. Так, діти пізнають деякі відношення між множинами (рівно-потужність — нерівнопотужніїть; відношення порядку в ряді величин, натуральних чисел; часові і просторові відношення і т. д.). При цьому всі математичні знання подаються у взаємозв'язку. Наприклад, формування уявлень про кількість пов'язане з уявленням про множину та величину, з розвитком умінь бачити, умовно виділяти величину предметів та їхніх параметрів, а також з усвідомленням відношень між предметами і їх параметрами. Необхідно також мати на увазі, що, засвоюючи знання про число, діти повинні навчитись абстрагувати (відокремлювати) кількісні оцінки від усіх інших (колір, форму, величину тощо).
Формування початкових математичних уявлень і понять у взаємозв'язку дає змогу поступово і цілеспрямовано конкретизувати й уточнювати кожне з виділених понять. Ознайомлення дітей з мірою та вимірюванням сприяє формуванню більш точного розуміння числа й насамперед одиниці. Саме зв'язок лічби та вимірювання допомагає дитині усвідомити залежність результату лічби (виміру) від одиниці лічби (умовної мірки). . На заняттях з математики в дитячому садку у дітей формуються найпростіші види практичної і розумової діяльності. Під видами діяльності у цьому випадку, спо-
собами обстеження, лічби, вимірювання, розуміють об'єктивні послідовні дії, які має виконувати дитина для засвоєння знань: поелементне порівнювання двох множин, накладання мірок та ін. Оволодіваючи цими діями, дитина засвоює ме^ту й засоби діяльності, а також правила, що сприяють формуванню уявлень. Наприклад, порівнюючи рівні і нерівні між собою множини, накладаючи і додаючи елементи, дитина усвідомлює поняття кількості. Тому особливо велика увага приділяється розвитку практичних дій дітей з предметами.
- Центральним завданням навчання математики в дитячому садку є навчання лічби. Основними способами при цьому є накладання й додавання, оволодіння якими передує навчанню лічби за допомогою слів-числівників.
Водночас дошкільнят вчать порівнювати предмети за величиною і результати порівняння визначати відповідним словом-поняттям (Великий, маленький, вузький, широкий і т. ін.), будувати ряди предметів за величиною у зростаючому та зменшуваному порядку (великі, менші, ще менші, найменші). Проте для того, щоб дитина засвоїла й усвідомила ці поняття, необхідно сформувати у неї конкретні уявлення, навчити її порівнювати предмети між собою, спочатку безпосередньо, накладанням, а потім опосередковано, за допомогою вимірювання.
Програма з математики в дитячому садку передбачає розвиток окоміру дітей при формуванні оцінок величини .Для цього їх навчають оцінювати величину предметів в цілому або за окремими параметрами, зіставляючи з величиною відомих предметів. Звертається увага на формування вміння перевіряти правильність оцінок у своїй практичній діяльності, застосовуючи додавання, вимірювання і т. ін. Кожна практична дія поповнює знання дітей новим змістом. Вважають, що формування елементарних математичних уявлень і понять відбувається одночасно з виробленням у дітей практичних вмінь та навичок.
Практичні дії, виконуючи певну роль у формуванні математичних понять, самі не залишаються незмінними. Наприклад, зазнає змін діяльність, пов'язана з лічбою. Спочатку вона спирається на практичне поелементне порівняння двох конкретних множин, а пізніше особливого значення набуває число, як показник потужності множини, і натуральний ряд чисел, що змінює згодом одну із
чало, доводилось відшукувати нові засоби, створювати нові методи формування знань.
Походження та зміст математичної науки точно і повно характеризується такими словами Ф. Енгельса: «Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу, отже—дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набирає надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його походження із зовнішнього світу... Як і всі інші науки, математика виникла з практичних потреб людей: з вимірювання площ земельних ділянок і місткості посудин, з обчислення часу та з механіки»1.
Дотримуючись схеми, запропонованої академіком А. М. Колмогоровим, всю історію розвитку математики можна поділити на три основні етапи.
Перший етап — найтриваліший. Він охоплює тисячоліття — від початку людського суспільства до XVII ст. У цей період формувались і розроблялись поняття дійсного числа, величини, геометричної фігури. Пізніше було винайдено дії над натуральними числами, дробами, розроблено властивості й способи вимірювання довжини, кутів, площ, об'єму. Великим досягненням у цей період стало відкриття існування ірраціонального числа типу У2. (Ірраціональні числа записують у вигляді нескінченного неперіодичного дробу). Характерним для першого періоду є те, що математика була покликана задовольняти безпосередні потреби, які виникли в господарській та військовій діяльності людини: проста лічба голів худоби, різноманітний поділ урожаю, порівнювання довжин різних відрізків, розпланування земельних ділянок, вимірювання їхніх площ, визначення об'єму, а пізніше всілякі грошові розрахунки та ін. Математика була тісно пов'язана з астрономією, фізикою, механікою.
Відомо, що у Вавілоні та Єгипті (2 тис. р. до н. є.) розв'язували математичні задачі арифметичного, алгебраїчного та геометричного змісту. При цьому нерідко вдавались до певних правил, таблиць. Щоправда, теорій, з яких випливали б ці правила, найчастіше ще не існувало. Тому не дивно, що серед цих правил були й такі, які давали при деяких умовах правильні результати, при інших — помилкові. Слід також підкреслити, що нагро-
1 Маркс К., Енгельс Ф. Анти-Дюрінг. — Твори, т. 20, с 37.
мадження математичних знань у Єгипті мало емпіричний характер.
Становлення математики як науки розпочалось у Стародавній Греції, де були значні досягнення в галузі геометрії. Саме у Греції, починаючи з VII ст. до н. є., розробляється математична теорія. З науки практичної математика перетворюється у логічну, дедуктивну.
Знаменною подією в історії розвитку математики була поява більш як за 300 р. до н. є. класичного твору Евклі-да, де систематично викладено геометрію приблизно в обсязі, в якому вона тепер вивчається у середній школі. Крім того ,у ньому подано дані про подільність чисел та розв'язування квадратних рівнянь. У III ст. до н. є. Архі-мед знайшов спосіб визначення площ, об'ємів і центрів ваги різних простих фігур. Наприкінці III ст. до н. є. Аполлоній написав книгу про властивості деяких чудових кривих — еліпса, гіперболи та параболи.
Проте в епоху рабовласницького суспільства розвиток науки відбувався дуже повільно. Це пояснюється насамперед відривом теорії від практики, пануванням переконань, що справжня наука не повинна цікавитись життєвими потребами людей, що застосовувати науку на практиці — означає принижувати її. У цей період у Стародавній Греції панувала ідеалістична філософська школа Платона, яка встановила в математиці ряд заборон та обмежень, негативне значення яких відчувається іноді й досі (наприклад, штучне обмеження користування лише циркулем та лінійкою при геометричних побудовах). Однак уже тоді були вчені, які правильно розглядали взаємовідношення теорії і практики, досвіду та логіки, логічної дедукції. До них слід віднести Архімеда, Демокріта, Евкліда.
Одночасно з грецькою і, в основному, незалежно від неї розвивалась математична наука в Індії, де не було характерного для грецької математики відриву теорії від практики, логіки від досвіду. І хоч індійська математика не досягла рівня розвитку математики греків, вона створила чимало цінного, що увійшло у світову науку й збереглось до нашого часу (десяткова система числення, розв'язування рівнянь 1-го та 2-го степеня, введення синуса і т. д.).
Спадкоємцями як грецької, так і індійської математичної науки стали народи, які об'єднались у VIII ст. арабським халіфатом. Серед них надзвичайно важливу
роль в історії культури відіграли народи Середньої Азії та Закавказзя (узбеки, таджики, азербайджанці), що нині входять до складу СРСР.
Наукові праці писались тоді арабською мовою, яка була міжнародною мовою країн Близького та Середнього Сходу. Починаючи з VIII ст., на арабську мову перекладаються твори індійських і грецьких математиків, завдяки чому з ними змогли ознайомитись європейці. Період з XII по XV ст. характеризується початком оволодіння вченими Європи стародавньою математичною наукою. Цього вимагали торгові операції великого масштабу. На латинську мову почали перекладати наукові твори і перші підручники з математики, написані в Азії.
Наприкінці XV ст. було запроваджено книгодрукування, яке істотно прискорило розвиток математики як науки взагалі. У XVI ст. було зроблено кілька визначних математичних відкриттів: знайдено розв'язування рівнянь 3-го і 4-го степеня в радикалах, встановлено методи наближеного обчислення коренів рівнянь будь-якого степеня з числовими коефіцієнтами, досягнуто великих успіхів у справі створення алгебраїчної символіки і т. ін.
На підставі археологічних даних, літописів можна дійти висновку, що загальний рівень математичних знань на Русі у XII—XVI ст. був не нижчим, ніж у Західній Європі того часу, незважаючи на татарську неволю, яка довго гальмувала дальший розвиток культури.
Другий етап розвитку математики за тривалістю значно коротший, ніж перший. Він охоплює XVII — початок XIX ст. З XVII ст. починається розквіт математики у Європі. У цей час зароджуються нові галузі математики, що належать до так званої вищої математики. Основу вищої математики становлять аналітична геометрія, диференційне та інтегральне числення. Виникнення їх, пов'язане з іменами великих учених XVII ст. — Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбніца, — дало змогу математично вивчати рухи, процеси зміни величин та геометричних фігур. Разом з тим у математику було введено систему координат, змінні величини і поняття функції.
Найвизначнішими відкриттями філософії цього періоду є визнання загальності руху і зміни. Ф. Енгельс писав: «...вся природа, починаючи від найдрібніших частинок її до найбільших тіл, починаючи від піщинок і кінчаючи сонцями, починаючи від протистів і кінчаючи людиною,
перебуває у вічному виникненні і зникненні, у безперервному потоці, у невпинному русі і зміні»1.
Слід зазначити, що на першому етапі математика недосконало відбивала кількісні відношення і просторові форми дійсності. На другому етапі розвитку математики основним об'єктом вивчення стали залежності між змінними величинами. Принципову важливість цього періоду характеризують слова Ф. Енгельса: «Поворотним пунктом у математиці була Декартова^зланна величина. Завдяки цьому в математику ввійшли рух і тим самим діалектика і завдяки цьому ж стало негайно необхідним диференціальне і інтегральне числення...»2.
Особливо бурхливо на цьому етапі розвивалась математика в Росії. У XVIII ст. з'явилось багато рукописів математичного змісту, присвячених арифметиці та геометрії. Саме тоді вийшла книга з елементарної математики Л. Ф. Магницького, видана у 1703 р. під назвою «Арифметика». За цією книгою готувався з математики М. В. Ломоносов.
Л. Ф. Магницький був досить^ освіченою людиною свого часу. Він закінчив Московську слов'яно-греко-ла-тинську академію, де здобув різносторонню освіту, зокрема, математичну. Знаючи багато європейських мов, Л .Ф. Магницький ознайомився з методичною літературою різних країн. Свої знання він виклав у книзі, яка стала першим російським підручником з арифметики. За своїм характером підручник не був суто академічним. Часто думки викладались у віршовій формі, текст супроводжувався символічними малюнками. Проте це був більш-менш систематизований виклад початкової математики. Крім того, у підручнику було вміщено матеріал з алгебри, геометрії і тригонометрії.
У 1724 р. була заснована Петербурзька академія наук, де з 1727 р. працював Д. Ейлер, який опублікував значну частину своїх праць у виданнях Академії (473).
У 1755 р. завдяки турботам видатного російського вченого М. В. Ломоносова був заснований перший російський університет у Москві. З'явились численні російські переклади кращих іноземних підручників з математики, а також ряд оригінальних російських підручників з арифметики, алгебри, геометрії, тригонометрії та
1 Маркс К., Енгельс Ф. Твори, т. 20, с 333—334.
2 М а р к с К., ЕнгельсФ. Твори, т. 20, с. 531.
аналізу, що не поступались науковим рівнем перед кращими західноєвропейськими підручниками того часу.
Третій етапрозвитку математики — з XIX ст. до наших днів. Характеризується він інтенсивним розвитком класичної вищої математики. Математика стала наукою про кількісні і просторові форми дійсного світу у взаємозв'язку їх. Вона переросла попередні рамки, які обмежували її вивченням чисел, величин, процесів зміни геометричних фігур та їхніх перетворень, і стала наукою про більш загальні кількісні відношення, для яких числа й величини є лише окремим випадком.
Великий внесок у розвиток науки математики зробили російські та радянські вчені (М. І. Лобачевський, П. Л. Чебишев, А. М. Колмогоров та ін.). Сучасна математика досягла дуже високого рівня розвитку. Тепер налічується кілька десятків різних галузей математики, кожна з яких має свій зміст, свої методи дослідження і сфери застосування.
У другій половині XX ст. виникла математична економіка, математична біологія та лінгвістика, математична логіка, теорія інформації та ін.
Сучасний розвиток суспільства, економіки й культури передбачає високий рівень обробки інформації. Розв'язання багатьох наукових та господарських завдань неможливе без використання обчислювальної техніки, створення спеціальних приладів і машин. Нині широко використовуються обчислювально-аналітичні й електронно-обчислювальні машини, які працюють з недоступною для людини швидкістю.
В середині XX ст. виникла кібернетика — нова математична наука. Кібернетика — наука про керування, зв'язки та переробку інформації. Засновником її вважається американський математик Норберт Вінер, який опублікував у 1948 р. книгу під назвою «Кібернетика, або керування і зв'язок у живому організмі та машині». Кібернетика виникла завдяки синтезуванню даних цілого ряду суміжних наукових дисциплін: теорії інформації ,теорії ймовірностей, автоматів, а також даних фізіології вищої нервової діяльності, сучасної обчислювальної техніки та автоматики.
Кібернетика — одна із наймолодших математичних наук, їй всього кілька десятків років, але перспективи її розвитку величезні. Кібернетичні машини керують польотом космічних кораблів, вони перебувають на службі
у медицини та ін. Однак усі ці машини створює йбудує сама людина. Все це продукт людського генію, результат його знань, де провідне місце займають математичні науки.
Отже, математика, що виникла із практичних потреб людини, перетворилась у науку, яка забезпечує дальший розвиток суспільства.
§ 3. Множинита операціїнад ними
Як і кожна наука, математика має свої основні поняття, якими вона оперує: множина, число, лічба, величина та ін. Вихідним змістом багатьох математичних понять є реальні предмети та явища навколишнього життя і діяльності людей. Саме про це писав Ф. Енгельс: «Поняття числа і фігури взяті не звідки-небудь, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму. Щоб лічити, треба мати не тільки предмети, які підлягають лічбі, але й мати вже здібність абстрагуватися при розгляді цих предметів від усіх інших їх властивостей крім числа, а ця здібність є результат довгого історичного розвитку, що спирається на досвід» '.
Первісним поняттям у математиці є поняття множини. Множина — це сукупність об'єктів, що розглядаються як одне ціле.
Людина завжди була оточена різноманітними множинами: множина зіро.к на небі, рослин, тварин навколо неї, множина різних звуків, частин власного тіла та ін. Множина на відміну від невизначеної множинності може мати межі і бути охарактеризована числом. Число показує кількість елементів або кількість груп у множині. Тоді вважають, що число позначає потужність множини.
На початку розвитку лічильної діяльності порівняння множин здійснювалося поелементно, один до одного. Елементами множин називають об'єкти, що становлять множину. Це можуть бути реальні предмети (речі, іграшки, картинки), а також звуки, рухи, числа тощо. Порівнюючи множини, людина не тільки виявляє рівність чи нерівність множин, а й відсутність у множині того чи ін-
1 Маркс К-, Енгельс Ф. Твори, т. 20, с 36—37.
|
. шого елемента, тієї чи іншої його частини. Є два способи визначення потужності множини: перший — перелічуванням усіх її елементів та називанням результату числом; другий — виділенням характеристичної особливості множини.
Елементами множини можуть бути не тільки окремі об'єкти, а й їх сукупності. Наприклад, при лічбі парами, трійками, десятками і т. ін. У цих випадках елементами множини стає не один предмет, а два, три — сукупність. Основними операціями з множинами є такі: об'єднання, переріз і віднімання.
Об'єднанням (сумою) двох множин називають третю множину, яка містить усі елементи цих множин. Проте сума множин не завжди дорівнює сумі чисел елементів множин. Вона дорівнює сумі чисел елементів тільки тоді, коли в обох множинах немає спільних елементів. Якщо є спільні елементи, то в суму вони вводяться лише один раз. Наприклад, у загадці: двоє батьків і двоє синів, а всього їх троє, бачимо приклад об'єднання множин, коли сума множин не дорівнює сумі чисел. Оскільки одна й та сама особа включалась двічі у першу та в другу множини, вона перелічується тільки один раз. Або, наприклад, щоб визначити кількість предметів, що вивчаються учнями педучилища в семестрі, необхідно з розкладу кожного дня зробити вибірку: до множин предметів, які вивчають учні в понеділок, додати не всі уроки наступних днів тижня, а лише ті, що не називались у попередніх днях тижня. Таким чином, кількість предметів буде меншою за загальну кількість уроків на тиждень, бо є предмети, які повторюються у різні дні.
Дії над множинами найкраще зображати графічно. На рис. 1 зображено об'єднання множин.
Перерізом двох множин називається множина, яка містить усі їхні спільні елементи. На рис. 2 перерізом множин є два трикутники, що. належать одночасно і першій і другій множинам.
При відніманні двох множин дістаємо третю множину, яка називається різницею. Різниця містить елементи першої множини, які не належать другій. На рис. З заштрихована частина є різницею двох множин.
Характеризуючи множини у математиці, застосовують такі поняття: скінченна і нескінченна множини, рів-нопотужні і нерівнопотужні, одноелементна, порожня множина, частина множини чи підмножина. Дітей раннього
|
і дошкільного віку ознайомлюють з конкретними скінченними множинами. Але для того, щоб сформувати уявлення і поняття про множину, треба цілеспрямовано працювати з дітьми у всіх вікових групах. Знання дітей про множину, елементи множини забезпечують фундамент, основу для формування поняття числа.
§ 4. Історія розвитку натурального числа
Розглядаючи питання формування поняття натурального числа у дітей, треба мати чітке уявлення про розвиток цього поняття в історичному аспекті — філогенезі. Вивчення історії математики, зокрема періоду зародження математики, дає змогу зрозуміти основні закономірності виникнення перших математичних понять (про множину, число, величину, про арифметичні дії, системи числення та ін.) і використовувати ці закономірності з урахуванням досвіду сучасних дітей при навчанні їх математики.
Як показують дослідження з історії математики, поняття натурального числа виникло на ранніх ступенях розвитку людського суспільства, коли у зв'язку з практичною діяльністю виникла потреба якось кількісно оцінювати сукупності. Спершу кількість множин не відокремлювалась від самих множин, сприймалась і утримувалась в уявленні людини з усіма якостями, просторовими та кількісними ознаками. Людина не тільки оцінювала сукупність щодо її цілісності (всі чи не всі предмети