Решить задачу на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции
Пределы функций.
Дифференцирование функций
Уфа 2013
Введение
Залог успешного овладения курсом математики – активная самостоятельная работа студентов. Одна из форм активизации учебного процесса – система расчетно-графических работ (РГР). Основой системы данной работы является индивидуализация заданий. Данные методические указания предназначены для изучения раздела «Дифференциальное исчисление».
В методическом указании представлены задачи по темам: пределы функций, нахождение производной различных типов функций, приложение производной к исследованию функций и построению ее графика, решение геометрических, экономических и физических задач с использованием производной. В настоящем сборнике представлены тридцать различных вариантов заданий. Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле 
,
где 
- номер варианта,
-номер задания,
-предпоследняя цифра шифра студента,
-последняя цифра шифра.
Пример.
Пусть шифр студента 1235, тогда:
номер варианта первого задания: 
= 
;
номер варианта второго задания: 
;
номер варианта третьего задания: 
;
номер варианта четвертого задания: 
.
Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом. Если итоговая цифра по формуле получится число больше 30, то для определения варианта от полученной цифры отнимают 30.
Пример.
Пусть шифр студента 1298.
Номер варианта третьего задания: 
. Промежуток 35-30=5. Таким образом, в третьем задании студент решает задачу вариант №5.
Вычислить предел рациональной дроби
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
1.10 
1.11 
1.12 
1.13 
1.14 
1.15 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
1.21 
1.22 
1.23 
1.24 
1.25 
1.26 
1.27 
1.28 
1.29 
1.30 
Вычислить пределы
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
2.21 
2.22 
2.23 
2.24 
2.25 
2.26 
2.27 
2.28 
2.29 
2.30 
Вычислить, используя замечательные пределы
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
3.10 
3.11 
3.12 
3.13 
3.14 
3.15 
3.16 
3.17 
3.18 
3.19 
3.20 
3.21 
3.22 
3.23 
3.24 
3.25 
3.26 
3.27 
3.28 
3.29 
3.30 
Найти производные следующих функций (4 -5)
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
4.19 
4.20 
4.21 
4.22 
4.23 
4.24 
4.25 
4.26 
4.27 
4.28 
4.9 
4.10 
4.11 
4.29 
4.30 
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 
5.11 
5.12 
5.13 
5.14 
5.15
5.16 
5.17 
5.18 
5.19 
5.20 
5.21 
5.22 
5.23 
5.24 
5.25 
5.26 
5.27 
5.28 
5.29 
5.30 
Найти производную показательно-степенной функции.
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
6.10 
6.11 
6.12 
6.13 
6.14 
6.15 
6.16 
6.17 
6.18 
6.19 
6.20 
6.21 
6.22
6.23 
6.24
6.25 
6.26 
6.27 
6.28 
6.29 
6.30 
Найти производную функции, заданной неявно
7.1. 
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
7.7. 
7.8. 
7.9. 
7.10. 
7.11. 
7.12. 
7.13. 
7.14. 
7.15. 
7.16. 
7.17. 
7.18. 
7.19. 
7.20. 
7.21. 
7.22. 
7.23. 
7.24. 
7.25. 
7.26. 
7.27. 
7.28. 
7.29. 
7.30. 
8. Найти производную 
параметрически заданной функции
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
8.7. 
8.8. 
8.9. 
8.10. 
8.11. 
8.12. 
8.13. 
8.14. 
8.15. 
8.16. 
8.17. 
8.18. 
8.19. 
8.20. 
8.21. 
8.22. 
8.23. 
8.24. 
8.25. 
8.26. 
8.27. 
8.28. 
8.29. 
8.30. 
Вычислить приближенное значение выражения
9.1. 
9.2. 
9.3. 
9.4. 
9.5. 
9.6. 
9.7. 
9.8. 
9.9. 
9.10. 
9.11. 
9.12. 
9.13. 
9.14. 
9.15. 
9.16. 
9.17. 
9.18. 
9.19. 
9.20. 
9.21. 
9.22. 
9.23. 
9.24. 
9.25. 
9.26. 
9.27. 
9.28. 
9.29. 
9.30. 
Исследовать функцию и построить график
10.1. 
10.2. 
10.3. 
10.4. 
10.5. 
10.6. 
10.7. 
10.8. 
10.9. 
10.10. 
10.11. 
10.12. 
10.13. 
10.14. 
10.15. 
10.16. 
10.17. 
10.18. 
10.19. 
10.20. 
10.21. 
10.22. 
10.23. 
10.24. 
10.25. 
10.26. 
10.27. 
10.28. 
10.29. 
10.30. 
Решить задачу на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции
11.1 По углам прямоугольной пластинки со сторонами a и b вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся фигуры образована коробка, высота которой равна стороне вырезанного квадрата. Найти длину стороны вырезанного квадрата, при которой получается коробка наибольшего объема.
11.2 Прочность бруска с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна произведению основания на квадрат высоты этого прямоугольника. Найти форму такого бруса, вытесанного из бревна, поперечное сечение которого есть круг радиуса a, допускающего наибольшую нагрузку.
11.3 Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного симметрично в сектор круга радиуса a с центральным углом 2a.
11.4 Найти наибольший объем конуса с данной образующей длины l.
11.5 Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара радиуса a.
11.6 Из сектора круга радиуса а свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?
11.7 Две точки равномерно движутся по осям координат. Скорость первой точки равна v1, скорость второй – v2. в некоторый момент времени точки занимали положения А(а,0) и В(0,b) соответственно. Найти возможное кратчайшее расстояние между ними.
11.8 Стержень длиной 2b опирается концами на две прямые в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонтали под углами a и b. При каком положении стержня его середина находится выше всего?
11.9 При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание трапеции равно а, а боковые стороны равны b.
11.10 Сечение канала представляет собой равнобедренную трапецию площадью S и высотой h. Каким должен быть угол между боковой стороной и основанием, чтобы сумма длин нижнего основания и боковых сторон была наименьшей?
11.11 От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шириной b. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вершины угла. Найти наибольшую длину бревна l, которое можно сплавлять по этим каналам из одного в другой.
11.12 Яркость освещения выражается формулой 
, где j - угол наклона лучей, r – расстояние от площадки до источника света, m – постоянная (сила источника света). На какой высоте h надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение горизонтальной площадки на расстоянии а от столба было наибольшим?
11.13 Данное положительное число а разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
11.14 Кусок проволоки данной длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
11.15 Какой из прямоугольных треугольников с заданным периодом 2p имеет наибольшую площадь?
11.16 Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая в смысле площади форма площадки, если имеется l погонных метров сетки?
11.17 Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?
11.18 Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую полную поверхность?
11.19 В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
11.20 В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.
11.21 В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
11.22 В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей боковой поверхностью.
11.23 Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего объема (плоскости и центры их круговых оснований совпадают).
11.24 Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет наименьший объем?
11.25 Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (см. рис.). Каков должен быть центральный угол j, чтобы вместимость желоба была наибольшей?
11.26 Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой. Толщина стенок постоянна. Каковы должны быть размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него пошло минимум материала?
11.27 На прямолинейном отрезке АВ=а, соединяющем два источника света: А с интенсивностью I1 и В с интенсивностью I2, найти точку М, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.
11.28 Однородный стержень АВ, который может вращаться около точки А (см. рис.) несет груз массы М на расстоянии а от точки А и удерживается в равновесии вертикальной силой Р, приложенной к свободному концу В стержня (рычаг II рода). Погонная плотность стержня q. Определить длину стержня x так, чтобы сила Р была наименьшей, и найти Рmin.
11.29 Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем различными способами составить из них батарею, соединяя по n элементов последовательно, а затем полученные группы (числом N/n) – параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой 
, где 
- ЭДС одного элемента, r – его внутреннее сопротивление, R – внешнее сопротивление. Определить, при каком значении n батарея даст наибольший ток.
11.30 В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям эллипса.