Кейс-задания / Кейс 1 подзадача 1

Задание № 34

У степенного ряда
радиус сходимости R равен …

2 0

Для степенного ряда радиус сходимости ряда .
.

Ряды / Разложение в ряды Тейлора и Маклорена

Помощь

Задание № 35

Если
то четыре первых члена ряда Маклорена для функции
имеют вид …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Так как , то можно сделать подстановку:

Получим:
или

Ряды / Необходимый признак сходимости ряда

Помощь

Задание № 36

Для исследования вопроса о сходимости числового ряда
используется необходимый признак сходимости числового ряда
Тогда может сходиться ряд …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Правильное решение:

1. Рассмотрим ряд

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется.
Значит, данный ряд не может сходиться.

2. Рассмотрим ряд

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется.
Значит, данный ряд не может сходиться.
3. Рассмотрим ряд

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется.
Значит, данный ряд не может сходиться.
4. Рассмотрим ряд

Необходимое условие сходимости ряда выполняется.
Значит, данный ряд может сходиться.

Основы дискретной математики / Числовые множества

Помощь

Задание № 37

Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа.
Примеры таких множеств:
N – множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество действительных чисел,
C – множество комплексных чисел.
Пусть множество
Для приведенных множеств верным будет утверждение …

Варианты ответа:

Начало формы

Так как число принадлежит множеству комплексных чисел, то

Основы дискретной математики / Основные понятия теории множеств

Помощь

Задание № 38

Пусть тогда это множество, заданное перечислением всех его элементов, имеет вид …

Варианты ответа:

Начало формы

Решение

Множество задано с помощью характеристических свойств. Его элементами являются все натуральные числа, большие или равные 3, но меньшие или равные 33 и делящиеся на 3. Значит,

Основы дискретной математики / Прямое произведение двух множеств

Помощь

Задание № 39

Прямым или декартовым произведением множеств
называется множество всех возможных упорядоченных пар (x; y),
в которых и .
Пусть А={1, 2, 3}, тогда равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Составим все возможные пары (x; y), где и .
Получим:

Основы дискретной математики / Действия над множествами

Помощь

Задание № 40

На рисунке изображены множества и

Заштрихованная область соответствует множеству …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Каждая точка заштрихованной области принадлежит множеству и не принадлежит ни множеству ни множеству По определению, это множество

Основы дискретной математики / Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества

Помощь

Задание № 41

Дано множество . Тогда верным утверждением будет: «Множество X ________».

Варианты ответа:

Начало формы

	конечно и задано с помощью характеристического свойства
	конечно и задано перечислением элементов
	бесконечно и задано перечислением элементов
	бесконечно и задано с помощью характеристического свойства

Правильное решение:

В задании указано свойство, которым обладают все элементы множества X: каждый элемент этого множества является действительным числом и одновременно корнем уравнения . В этом случае говорят, что множество задано с помощью характеристического свойства. Уравнение на множестве действительных чисел имеет не более двух корней, значит, множество X конечно и задано с помощью характеристического свойства.

Основы дискретной математики / Действия над конечными множествами

Помощь

Задание № 42

Даны множества A={a, b ,c, d, e} и B={c, d, e ,g, k}.
Тогда множество А\В равно …

Варианты ответа:

Начало формы

	{g, k}
	{c , d, e}
	{a, b}
	{a, b, c}

Конец формы

Правильное решение:

Разностью множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Элементы a и b принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Тогда А\В={a, b}.

Основы теории вероятностей и математической статистики / Элементы комбинаторики

Помощь

Задание № 43

В турнире по волейболу участвуют 7 команд. Составляют итоговую турнирную таблицу, в которой каждая команда может занять любое место.
Число вариантов распределения мест равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Решение

Конец формы

В итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами. Число различных вариантов распределения мест семи команд равно числу перестановок из семи элементов, которое вычисляется по формуле . Получим

Основы теории вероятностей и математической статистики / Классическое определение вероятности

Задание № 44

В урне 3 красных, 5 зеленых и 7 желтых шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Вероятность того что вынутый шар окажется зеленым (событие А), равна …

Варианты ответа:

Начало формы

Решение.

Конец формы

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа mэлементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий: .
Имеем: число m = 5 – число благоприятствующих событий.
n = 3 + 5 + 7 = 15 – общее число равновозможных событий.
Тогда .

Основы теории вероятностей и математической статистики / Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее

Задание № 45

Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

Варианты ответа:

Начало формы

	1,6


	4,5

Решение.

Конец формы

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки

Обращаем внимание на то, что значение «2» некоторая случайная величина
принимает 3 раза, значение «4» – 2 раза, значение «7» – 4 раза и значение «3» – 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

Основы теории вероятностей и математической статистики / Математическое ожидание дискретной случайной величины

Задание № 46

Закон распределения вероятностей для дискретной
случайной величины Х имеет вид:

Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно ...

Варианты ответа:

Начало формы


	0,21
	4,5

Конец формы

Правильное решение:

Напоминаем, что по определению
Здесь – значение дискретной случайной величины;
а – вероятность, с которой дискретная случайная величина
принимает значение .
Тогда

Основы теории вероятностей и математической статистики / Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задание № 47

Монету бросают три раза подряд. Тогда вероятность того, что все три раза
выпадет орел, равна …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Правильное решение:

Пусть событие А означает, что при первом бросании монеты выпадет орел.

Событие В при втором бросании монеты выпадет орел.

Событие С при третьем бросании монеты выпадет орел.

События А, В и С являются независимыми.
Тогда вероятность совместного появления трех независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий:

Основы теории вероятностей и математической статистики / Объем выборки

Задание № 48

Выборка, задана статистическим распределением:

Ее объем равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Правильное решение:

Случайная величина Х принимает некоторое значение 35 раз, второе значение 32 раза и третье значение 73 раза. Тогда 35 + 32 + 73 =140 – объем выборки.

Основные численные методы / Приближенные числа и действия с ними

Задание № 49

При вычислении значения выражения данные в условии задачи значения и округлили до целых и получили Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …

Варианты ответа:

Начало формы

	0,1
	3,8
	4,2
	2,6

Конец формы

Правильное решение:

Модуль разности между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа. Значит, абсолютная погрешность числа 50 равна и абсолютная погрешность числа 100 равна Абсолютная погрешность суммы и разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей.
Тогда абсолютная погрешность полученного числа 200 будет равна

Основные численные методы / Численное интегрирование

Задание № 50

Для приближенного вычисления интеграла можно воспользоваться формулой трапеций:
Отрезок [a;b] разбит на n равных частей.
Пусть n=4. Вычисления производите с точностью до 0,01.
Известны значения функции в точках:

Тогда …

Варианты ответа:

Начало формы

	0,64
	0,54
	0,6
	0,6321

Конец формы

Разобьем отрезок [0;1] на 4 равные части, с шагом
Получим
Тогда:

По формуле трапеций имеем

Основные численные методы / Численное дифференцирование

Задание № 51

Некоторая функция задана в виде таблицы

Если требуется найти значение производной данной функции
в некоторой точке то можно заменить данную функцию, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией для которой и найти производную функции .
Возьмем . Пусть функция такая, что .
Вычисления производить с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции значение …

Варианты ответа:

Начало формы

	1,5
	1,3
	1,7
	1,0

Конец формы

Правильное решение:

Так как , то получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными или
Получим
Значит

Основные численные методы / Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание № 52

Известно, что для приближенного решения дифференциального уравнения с начальным условием можно воспользоваться методом Эйлера: .
Тогда для уравнения, при начальном условии , с шагом h=0,1 и точностью до десятых y(0, 2) равно …

Варианты ответа:

Начало формы


	1,0
	1,2
	1,1

Конец формы

Правильное решение:

Основные численные методы / Понятие относительной погрешности

Задание № 53

При измерении линейкой длины и ширины фанерного листа были получены размеры a=120см. и b=60 см. Известно, что погрешность измерения линейкой равна 2 см.
Была найдена площадь листа S=12060=7200 кв.см. Полученный результат имеет относительную погрешность равную …

Варианты ответа:

Начало формы

	0,05
	0,1

Конец формы

Правильное решение:

Относительная погрешность приближенного положительного числа равна отношению абсолютной погрешности числа к точному значению этого числа. Так как точное значение числа, как правило, неизвестно, то под относительной погрешностью понимают отношение абсолютной погрешности числа к его приближенному значению. Тогда относительные погрешности чисел a и b равны соответственно
Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

Основные численные методы / Понятие конечных разностей функции

Задание № 54 Дана таблица значений некоторой функции

Тогда конечная разность равна …

Варианты ответа:

Начало формы

	0,9
	0,3
	-0,3
	-0,6

Правильное решение:

Конечные разности можно получить с помощью таблицы

Они находятся по формуле .
Тогда для получения числа, стоящего в следующем столбце таблицы нужно вычесть из числа, стоящего в нижней строке число, стоящее в верхней строке предыдущего столбца.

Линейное программирование / Системы линейных неравенств

Задание № 55

Заштрихованной области

соответствует система неравенств …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки (7; 0) и (0; 3).
Если предположить, что уравнение этой прямой , то получим . Для прямой получим
Тогда уравнение прямой имеет вид
Область решения системы неравенств расположена выше прямой и, следовательно, правильный ответ

Линейное программирование / Графический метод

Задание № 56

Областью решения системы неравенств является заштрихованный многоугольник

Тогда максимальное значение функции , где принадлежат области решений, равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Правильное решение:

Максимальное и минимальное значение функции L достигается в вершинах заштрихованного многоугольника. Найдем координаты вершин.
Получим . Значения функции L в этих точках соответственно равны 9; 6; 12; 9. Максимальное значение функции L равно 12.

Линейное программирование / Симплексный метод

Задание № 57

Пусть известна математическая модель некоторой задачи.
Требуется найти наименьшее значение при линейных ограничениях:

Тогда для решения задачи симплекс – методом вводят дополнительные неизвестные и получают систему линейных ограничений …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Так как для решения задачи симплекс – методом нужно от неравенств, в системе линейных ограничений, перейти к равенствам, то вводят три новых дополнительных неотрицательных неизвестных .
Если в неравенстве записан знак « », то к левой части нужно прибавить
дополнительную неизвестную, а если знак « », то из левой части нужно вычесть дополнительную неизвестную.

Линейное программирование / Транспортная задача

Задание № 58

План перевозки товаров из двух складов в три магазина задан в виде таблицы
.
Тогда стоимость перевозок равна …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Из таблицы следует, что стоимость перевозок равна

Линейное программирование / Постановка задачи линейного программирования

Задание № 59

Для изготовления двух видов изделий А и В используется три вида материалов 1, 2, 3. Для производства одного изделия вида А требуется затратить материалов вида 1, 2, 3 соответственно 2 кг; 3,5 кг; 8 кг, а для производства одного изделия вида В – 3 кг; 2,5 кг; 5 кг. Предприятие обеспечено запасами материалов вида 1, 2, 3 в количествах соответственно 300 кг; 1000 кг; 2000 кг. Прибыль от реализации одного изделия вида А составляет 120 рублей, а изделия вида В – 90 рубля.
Требуется составить план производства изделий вида A и B такой, чтобы прибыль от реализации была наибольшей. Пусть выпущено изделий
вида A и изделий вида B.
Тогда математическая модель задачи будет иметь вид …

Варианты ответа:

Три первых неравенства системы описывают ограничения на запасы материалов для изготовления изделий. Два последних должны указывать на то, что количество изделий не может быть отрицательным числом. В задаче требуется найти максимум.

Линейное программирование / Оптимальное решение

Задание № 60

При решении задачи линейного программирования симплекс методом был получен один из результатов для выражения целевой функции L:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
В задаче нужно было найти наибольшее значение L для неотрицательных значений входящих в линейные уравнения неизвестных.
Только один из полученных способов записи L позволяет дать ответ о её наибольшем значении.
Тогда наибольшее значение L равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Обращаем внимание, что в записи коэффициенты при неизвестных отрицательны и любое увеличение значений или приведет к уменьшению значения L. Так как значения неизвестных должны быть неотрицательными числами, то наибольшее значение получится если
и . Наибольшее значение L равно 107.

Основы теории комплексных чисел / Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Задание № 61

Результат выполнения действий равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Сначала, используя формулу сокращенного умножения, возведем комплексное число в третью степень, не забывая при этом, что :

Разделим получившееся комплексное число на число :
.
Далее преобразуем второе слагаемое, используя равенство :
. Найдем сумму слагаемых: .

Основы теории комплексных чисел / Тригонометрическая форма комплексного числа

Помощь

Задание № 62

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид …

Варианты ответа:

Начало формы





Чтобы представить комплексное число в тригонометрической форме записи, необходимо найти его модуль и аргумент. Используя формулу , где - действительная, а - мнимая часть комплексного числа, находим модуль данного числа: Далее по формулам и находим аргумент комплексного числа (напомним, что под аргументом понимается его главное значение, то есть значение, удовлетворяющее условию ). Так как , , то . Итак, зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , получим:

Конец формы

Основы теории комплексных чисел / Решение уравнений

Задание № 63

Корни квадратного уравнения равны …

Варианты ответа:

Начало формы

	,
	,
	,
	,

Конец формы

Правильное решение:

Известно, что дискриминант квадратного уравнения находится по формуле
; для исходного уравнения ,
; но, учитывая равенство , мы можем найти корни уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим
,

Корнями уравнения являются комплексные числа и

Основы теории комплексных чисел / Тригонометическая форма комплексного числа

Задание № 64

Частное комплексных чисел, если и , равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Правильное решение:

Воспользуемся формулой
.
Значит,

Основы теории комплексных чисел / Сопряженные комплексные числа

Задание № 65

Число, сопряженное с комплексным числом , равно …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Преобразуем исходное выражение, используя формулу ; имеем:

А затем, используя определение сопряженных комплексных чисел (два комплексных числа: и , отличающихся знаком мнимой части, называются сопряженными), можем записать число, сопряженное с числом ; это число
.

Основы теории комплексных чисел / Модуль комплексного числа

Задание № 66

Модуль комплексного числа равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Сначала выполним действия над комплексными числами, не забывая при этом формулу :

Используя формулу , где – действительная, а – мнимая часть комплексного числа, находим модуль данного числа:

Теория пределов / Предел функции в точке

Задание № 67

Предел функции равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Конец формы

Для вычисления предела воспользуемся свойством
,
если существуют конечные пределы и .
Следовательно, имеем:

Теория пределов / Второй замечательный предел

Задание № 68

Предел функции равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Преобразуем функцию так, чтобы можно было применить второй замечательный предел, формулу
Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на число , имеем

Далее выполним замену переменной, полагая . Тогда если , то , и, следовательно,

Теория пределов / Способы задания числовых последовательностей

Задание № 69

Четвертый член последовательности равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Теория пределов / Способы задания числовых последовательностей

Задание № 69

Четвертый член последовательности равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Чтобы найти четвертый член данной последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить число ; получаем:

Теория пределов / Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

Помощь

Задание № 70

Предел функции равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Видим, что
и ,
поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Тогда, зная, что , получим

Теория пределов / Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

Задание № 71

Предел функции равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Заметим, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение для функции , так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому сначала преобразуем функцию, используя формулу разности квадратов ; получим:
.
Сократим получившуюся дробь на критический множитель и подставим предельное значение аргумента в оставшееся выражение; имеем:
.

Теория пределов / Первый замечательный предел

Задание № 72

Предел функции равен …

Варианты ответа:

Начало формы

Правильное решение:

Чтобы вычислить предел функции, нужно воспользоваться первым замечательным пределом ,
а так же соотношением , то есть, сначала вынесем числовой множитель за знак предела:
.
Теперь необходимо выполнить замену переменной: , откуда .
Учитывая, что при , получаем:
.