Линейные нормированные пространства
Определение. Линейным пространством называется всякое множество V произвольных элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на действительные числа, т.е. для любых двух векторов 
и 
из V определен вектор 
, называемый суммой векторов и и обозначаемый + 
а для любого вектора и любого действительного числа 
определен вектор 
, называемый произведением вектора на число 
следующие условия:
1) + = + 
2) ( + )+ 
= +( + 
3) в множестве V имеется элемент 
, называемый нулевым элементом, удовлетворяющий для любого условию
;
4) ко всякому вектору 
имеется вектор - , называемый противоположным вектору 
удовлетворяющий условию
.
Элементы теории множеств
Понятие множества
Множеством в математике называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Понятие множества принадлежит к числу первичных простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров.
Примерами множеств являются: множество точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество предприятий некоторой отрасли. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами, или точками. Обычно множества обозначают прописными буквами, а входящие в них элементы – строчными. Задать множество можно перечислением его элементов или указав характеристическое свойство его элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Например, А= 
- множество, элементами которого являются числа 1, 2, 3, 4 и только они. Или А= 
- множество всех положительных чисел.
Если а есть элемент множества А, то это записывают так: а 
А.
Числовая прямая
Числовой прямой (или числовой осью) называется прямая, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и масштаб, т.е. единица длины
 |
0 1 М x
Между множеством R всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие: каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – одно определенное действительное число. Установив это взаимно однозначное соответствие, мы отожествляем точки числовой прямой и соответствующие действительные числа. Понятие «число х» и «точка х» становятся неразличимыми. Поэтому часто вместе «точка х» говорят «число х» и наоборот.
Отметим наиболее употребительные числовые множества.
Пусть a и b– два числа, причем a 
b, тогда:
- отрезок 
- это множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a 
х b;
- интервал ( 
) – множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству a х b;
- полуинтервалы ( 
) – числовые множества, характеризующиеся неравенствами соответственно a х b и a х b.
Интервалы и полуинтервалы могут быть, в частности, бесконечными: (- 
), (b,+ 
), (- 
), 
[b,+ ). (Очевидно, интервал (- ) есть вся числовая прямая.)
Все перечисленные множества принято объединять единым термином промежуток. Говоря «промежуток», мы имеем в виду либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.
Окрестностью точки 
называется всякий интервал, содержащий точку x.
Интервал ( 
, 
) называется 
- окрестностью точки 
.