Измерение силы связи порядковых величин.

Нелинейная регрессия

1) Парабола 2-го порядка .

Для определения параметров a,b,c можно воспользоваться МНК.

 

 

2) Гипербола .

С помощью замены переменной преобразуем эту формулу к линейному виду.

Замена: X=1/x;

Для нахождения параметров a и b можно воспользоваться формулами:

a=^Da/_D, b=^Db/_D, заменив x_i ->X_i.

 

i
… n	…	…	1/ 1/ … 1/
						-

 

3) Показательная функция или экспонента (e=2,718281828459045…)

y=e^ax+b=(e^a)^xe^b=A^xB {A=e^a, B=e^b} => y=a^xb

ln y= ln (a^xb)= ln a^x+ln b=x ln a+ ln b.

ln y= x ln a+ ln b

Замена: Y=ln y, A=ln a, B=ln b => a=e^A, b=e^B.

Y=Ax+B, A=^DA/_D, B=^DB/_D, y_i -> Y_i=ln y_i.

 

Для нелинейных форм регрессии в качестве характеристики силы связи между факторным и результативным признаком следует использовать корреляционное отношение (а не коэффициент прямолинейной корреляции Пирсона!).

 

 

Общая дисперсия результирующего признака:

. Отражает общую вариацию результирующего признака у в зависимости от всех факторов.

Факторная дисперсия (аналог межгрупповой дисперсии):

. Характеризует влияние факторного признака х на вариацию у.

Остаточная дисперсия:

. Объясняет вариацию у от всех прочих (кроме х) факторов (аналог средней из внутригрупповых дисперсий).

На основании правила сложения дисперсий, получим: s²=s_ф²+s_e².

 

Лучшей является регрессионная модель с наибольшим значением корреляционного отношения.

 

Свойства корреляционного отношения.

1. 0 £ h £ 1.

2. h_x,y ¹ h_y,x.

3. При прямолинейной зависимости h_x,y = h_y,x = r_x,y.

Значения корреляционного отношения ( так же, как и коэффициентов прямой корреляции Пирсона) можно использовать при работе со шкалой Чеддока:

 

hxy	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Квадрат корреляционного отношения (h²) называется коэффициентом или индексом детерминации. h² показывает, какая доля вариации Y объясняется влиянием факторного признака X.

 

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Может быть использован при анализе тесноты связи количественных и порядковых величин, прост в вычислении, но менее точен, чем корреляционное отношение. Основан на совпадении знаков отклонений от средней величины и подсчете числа случаев совпадения и несовпадения знаков.

, -1 £ i £ 1

u- число пар с одинаковыми знаками отклонений (+,+),(-,-),(0,0)

v- число пар с разными знаками отклонений x, y от .

Фирма	Стоимость основных фондов (X) (млрд. руб.)	Выпуск продукции (Y) (млрд .руб.)	Знак отклонения от средней арифметической
		2,4 3,6 4,5 4,6 5,6 6,5 7,0 5,0	- - - - - + + + + +	- - - - - - + + + +

u=9, v=1,

r_xy=0,854

 

 

Измерение силы связи порядковых величин.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Spearman) (или коэффициент корреляции рангов):

(ранги не связаны)

n- число наблюдений (число пар рангов).

В случае повторяющихся (связанных рангов) использовать данную формулу нельзя. Можно использовать коэффициент Кендэлла (t) (Kendall). Или формулу коэффициентов Спирмена для связанных рангов.

S - фактическая сумма рангов.

n - объем выборки.

Сначала упорядочивают ранги r_x по возрастанию. Для каждого ранга r_y вычисляется число следующих рангов выше данного минус ниже данного. Так для всех рангов. Результат суммируется, получается S. Для нашего примера:

 

S=(8-1) + (7-1) + (7-0) + (6-0) + (5-0) + (3-1) + (3-0) + (2-0) + (1-0) = 39.