Линия влияния изгибающего момента в некотором заданном сечении С консоли (л. в. ).

Рассматривая положение груза 1 правее и левее заданного сечения, составим выражение изгибающего момента в сечении С по силам справа от сечения.

Груз 1 справа отсечения С, т. е. :

;

при х = a = 0;

при х = a+b = .

По этим данным построена правая ветвь л. в. (рис. 8, в).

Груз 1 слева от сечения С, т. е. :

= 0;

т. е. на участке между точками А и С левая ветвь л. в. совпадает с базовой линией. Общая л. в. показана на рис. 8, в.

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ влияния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПО ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ

1. Если известны линия влияния какого-либо усилия в элементе сооружения и положение на сооружении груза P, то величина этого усилия равна произведению силы тяжести груза на ординату линии влияния, расположенную под грузом.

Обозначив рассматриваемое усилие через S , получим , или .

Если же над той же ординатой

линии влияния расположен груз P,

не равный единице, то, применив

принцип независимости действия

сил, получим

. (5)

2. Если известны линия влияния какого-либо усилия в элементе сооружения и положение на сооружении системы сосредоточенных грузов (рис. 9, а), то значение этого усилия равно алгебраической сумме произведений сил тяжести этих грузов на ординаты линии влияния (рис. 9, б), расположенные под указанными грузами. Применив принцип независимости действия сил и принятые обозначения, получим

, или короче

. (6)

Пример 1. По консоли перемещается двухколесная тележка грузо-подъемного крана; расстояние между колесами 0,5 м; сила давления от каждого колеса 5 кН. Вылет консоли l = 1,20 м. Определить значение опорного момента при положении тележки, указанном на рис. 10, а.

Решение. Значение опорного момента получим, применив (6) и используя л. в. (рис. 10, б):

.

3. Система сосредоточенных сил или распределенная нагрузка, расположенная над прямым участком линии влияния некоторого усилия S, может быть заменена равнодействующей силой, а усилие S определено как произведение этой равнодействующей на соответствующую ей ординату линии влияния.

Пусть нагрузка представляет собой систему сосредоточенных сил (рис. 11, а), расположенных над прямым участком линии влияния некоторого усилия S (рис. 11, б).

Заменим данную систему сосредоточенных сил их равнодействующей R; если эта замена возможна, то должно соблюдаться условие

, (7)

где — усилие S, вызванное только одной равнодействующей силой; — то же, вызванное сосредоточенными силами .

Допустим, что выполненная нами операция замены данных сил их равнодействующей является возможной.

Тогда, приняв за точку моментов точку пересечения продолжения прямой tu линии влияния с ее основанием — точку О (рис. 11, б) и применив теорему Вариньона получим

,

Но по рис. 11, б

и выражение (7) может быть представлено так:

,

Или

(8)

.

Правая часть равенства (8) выражает собой — значение усилия S, вычисленное по формуле (5) левая же его часть есть не что иное, как — значение того же усилия S, но определенное по формуле (6). Следовательно, замена расположенных над прямым участком линии влияния сосредоточенных сил их равнодействующей оказалась возможной; при этом усилие в соответствии с первым свойством линий влияния определится по формуле

(9)

Если линия влияния имеет n прямых участков и каждому из них соответствуют и , и , …, и , то согласно 2-му свойству линий влияния усилие S определится выражением

,

или

. (10)

4. Если известны линии влияния какого-либо усилия в элементе сооружения и положение на сооружении равномерно распределенной нагрузки (рис. 12), то значение этого усилия равно произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на площадь линии влияния, расположенную под участком действия указанной нагрузки.

Пусть на некоторой длине балки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 12, а) и задана линия влияния какого-либо усилия в сечении этой балки (рис. 12, б).

Выделим из балки элемент длиной dx тогда равнодействующая данной нагрузки на длине dx выделенного элемента dR_q = qdx, а величина усилия согласно первому свойству линий влияния будет

(11)

Произведение ydx представляет собой площадь линии влияния в пределах длины dx выделенного элемента. Обозначив

ydx = dω (12)

и подставив (12) в (11), получим

dS = qdω.

Расчленив балку на множество таких весьма малых по длине элементов и заменив в пределах каждого элемента равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей, получим балку, нагруженную системой весьма малых сосредоточенных сил.

Применяя второе свойство линий влияния, получим следующее выражение, определяющее значение усилия от всей равномерно распределенной нагрузки, расположенной на балке:

,

но так как q = const, то

= .

Итак,

(13)

В формуле (13) ω — площадь фигуры под линией влияния, расположенная под участком действия равномерно распределенной нагрузки.

Если распределенная нагрузка расположена над линией влияния, состоящей из нескольких участков разных знаков, то величина усилия равна произведению интенсивности нагрузки на алгебраическую сумму площадей отдельных участков линии влияния.

Знаки площадей берутся соответственно знакам ординат тех участков, площади которых вычисляются.

Пример 2. Для балки пролетом l, нагруженной равномерно распре-деленной нагрузкой q (рис. 13, а), при помощи линий влияния определить опорную реакцию А, изгибающий момент и поперечную силу в середине балки. Линии влияния A, и показаны на рис. 13, б, в, г.

Решение. Так как нагрузка расположена на всем пролете, то площади линий влияния надо вычислять на протяжении всего пролета.

Определение реакции А.

Площадь фигуры под линией влияния

.

Опорная реакция

.

Определение изгибающего момента .

Площадь линии влияния

.

Изгибающий момент

.

Определение поперечной силы .

Линия влияния состоит из двух участков; площади и одинаковы по величине, но различны по знаку:

; ;

поэтому

.

Пример 3. Определить при помощи линий влияния изгибающий момент и поперечную силу в сечении 1—1 консольной балки от заданной равномерно распределенной нагрузки (рис. 14, a).

Сначала строим линии влияния и (рис. 14, б, в).

Определение изгибающего момента .

Ордината л. в. под силой Р равна м; площадь линии влияния под нагрузкой

м²;

кН·м.

Определение поперечной силы .

Ордината л. в. под силой Р равна м; площадь линии влияния под нагрузкой равна

м; кН.

литература

1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика / М.: Высш. шк., 1986. с. 31…45.

2. Мухин Н.В., Першин А.Н., Шишман Б.А. Статика сооружений / М.: Высш. шк., 1989. с. 145…162.

3. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джимчвелашвили Г.А.Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов /М.: Высш. шк., 2000. с. 13…26.

Содержание

• ⇐ Назад
• 1
• 23