Результат измерения плотности

Крушняк Н.Т.

 

 

Методические указания

По выполнению домашнего задания № 2

«Оценка точности измерения плотности твердого тела»

по дисциплине «Прикладная метрология»

 

 

Москва

 

Домашнее задание № 2

 

“Оценка точности измерения плотности твердого тела”

 

Плотность твердого тела определяется косвенным измерением по формуле

r = ,

где m – масса тела, V – объем тела.

Данная зависимость является степенной нелинейной функцией

r = m V

с коэффициентами = 1 и = -1.

Результат измерения плотности

= ,

где и - среднее арифметическое значение результатов наблюдений при измерении массы тела m и объема V

= ; = ,

где n и n - числа наблюдений при измерениях массы и объема.

Так как зависимость нелинейная, то для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации. Данный метод применим в том случае, если можно пренебречь остаточным членом R разложения функции (1) в ряд Тейлора. Остаточный член вычисляют по формуле

 

R = (Dхj)2 = .

 

Остаточным членом пренебрегают, если

 

R 0,8 = 0,8 .

 

Погрешность измерения плотности содержит случайную и неисклю-ченную систематическую составляющие.

Случайная погрешность измерения плотности

e(P) = t × ,

где t – коэффициент Стьюдента; – эмпирическое среднее квадратическое отклонение результата измерения плотности.

Так как зависимость r = степенная, то расчеты проводим в относительной форме

 

S(d ) = = = ,

где S2(dm) и S2(dV) – оценки дисперсий результатов наблюдений массы m и объема V, выраженные в относительной форме:

(dm) = ; (dV) = ;

и – эмпирические средние квадратические отклонения результатов наблюдений массы и объема

= ; = .

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения плотности в абсолютной форме равна

= S( ) × .

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности q(r) определяется неисключенными систематическими погрешностями измерения массы qm и объема qV.

Неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности определим в относительной форме

q(P) = = ,

где - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р (при

Р = 0,95 = 1,1)

В абсолютной форме

q(P) = q(d .

Для определения полная погрешности результата измерения плотности вычисляем отношение .

При условии полная погрешность результата измерения плотности содержит как случайную (P), так и неисключенную системати-ческую (P) пгрешности и определяется по формуле

,

где , .

При условии пренебрегают неисключенной систематической погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна случайной погрешности

 

.

При условии пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна неисключенной систематической погрешности

 

.

 

 

Пример. Плотность твердого тела определяется по результатам измерения массы тела m и его объема V

r = .

Масса тела измеряется методами точного взвешивания с применением набора образцовых гирь, погрешность которых не превышает 0,01 мг. Объем тела определяется методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь.

Определить результат измерения плотности по следующим результатам наблюдений.

 

m, г 252,9119 252,9133 252,9151 252,9130 252,9109
V, см 195,3799 195,3830 195,3790 195,3819 195,3795

 

252,9094 252,9113 252,9115 252,9119 252,9115 252,9118
195,3788 195,3792 195,3794 195,3791 195,3791 195,3794

 

Результаты расчетов представим в виде таблицы.

 

Таблица

 

Масса тела m, г ,г г   Объем тела V, см , см , см
252.9119 252.9133 252.9151 252.9130 252.9109 252.9094 252.9113 252.9115 252.9119 252.9115 252.9118 -1 +13 +31 +10 -11 -26 -7 -5 -1 -5 -2   195.3799 195.830 195.790 195.819 195.795 195.788 195.792 195.794 195.791 195.791 195.794 +1 +32 -8 +21 -3 -10 -6 -4 -7 -7 -4

 

Определим средние арифметические значения результатов измерения массы и объема , а также эмпирические оценки дисперсий:

252,9120 г; 195.3798 см ;

213.2 10 , г ;

180.5 10 , см .

Оценки дисперсий в относительной форме

;

.

Результат измерения плотности

Для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации, но сначала надо проверить допустимость этого приема. Для этого следует вычислить остаточный член R по формуле

 

.

 

Определим частные производные

;

Частные производные будем вычислять в точке с координатами и , так как погрешности Dm и DV незначительны. Получим

или в относительной форме

При оценке и в качестве DV и Dm возьмем наибольшие отклонения от средних значений, наблюдавшиеся при измерении

; .

Тогда

;

.

Так как погрешности случайные, то их знак можно не учитывать. Поэтому

.

Проверим условия, позволяющие пренебречь остаточным членом

R < 0,8

или в относительной форме

dR < 0,8

где ;

.

 

Вычислим

> .

Поэтому остаточным членом можно пренебречь.

Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения плотности найдем в относительной форме

Откуда

 

г/см3.

Определим доверительные границы случайной погрешности измерения

плотности

 

где t = 2,23 при P = 0,95 и (n – 1) = 10.

Определим неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности. Так как qm = ± 0,01 мг и qV = ± 0,01 , то неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности в относительной форме равна

в абсолютной форме

.

Вычислим отношение

< 0,8.

Так как < 0,8 , то пренебрегаем неисключенной систематической погрешностью и принимаем

D(P) = e(P) = ± 0,000008 г/см3.

Результат измерения плотности

 

P = 0,95 ; n = 11.

 

Сравним полученный результат с результатом, получаемым при использовании приближенной оценки числа степеней свободы по формуле

 

.

Так как n1 = n2 = n = 11, то

 

.

 

При P = 0,95 и kэф = 21 коэффициент Стьюдента t = 2,08. Поэтому

 

(P) = 2,083,510-6 = 7,2810-6 г/см3 .

 

Полученное значение (P) достаточно близко к предыдущему результату (P) = 7,810-6 г/см3.

 

 

 

 

Приложение 1

 

Таблица П1

 

Значения коэффициента Стьюдента t

Число степеней свободы k t при доверительной вероятности Р, равной
0,90 0,95 0,98 0,99
6,31 12,71 31,82 63,66
2,92 4,30 6,96 9,92
2,35 3,18 4,54 5,84
2,13 2,78 3,75 4,60
2,02 2,57 3,36 4,03
1,94 2,45 3,14 3,71
1,89 2,36 3,00 3,50
1,86 2,31 2,90 3,35
1,83 2,26 2,82 3,25
1,81 2,23 2,76 3,17
1,80 2,20 2,72 3,11
1,78 2,18 2,68 3,06
1,77 2,16 2,65 3,01
1,76 2,14 2,62 2,98
1,75 2,12 2,58 2,92
1,73 2,10 2,55 2,88
1,72 2,09 2,52 2,84
1,72 2,07 2,51 2,82
1,71 2,06 2,49 2,71
1,71 2,06 2,48 2,78
1,70 2,05 2,47 2,76
1,70 2,04 2,46 2,75
1,64 1,96 2,33 2,56

 

 

Приложение 2

 

Варианты домашнего задания № 2.

 

№ 1

 

m, г 300,2354 300,2357 300,2394 300,2314 300,2368 300,2387 300,2325
V, см 150,1263 150,1267 150,1253 150,1296 15,1241 150,1273 150,1260

 

№ 2

 

m, г 423,3642 423,3645 423,3635 423,3674 423,3618 423,3652 423,3627
V, см 156,7348 156,7351 156,7342 156,7372 156,7327 156,7336 156,7363

 

№ 3

 

m, г 357,6374 357,6378 357,6367 357,6375 357,6358 357,6391 357,6346
V, см 238,4249 238,4267 238,4253 238,4233 238,4251 238,4241 268,4243

 

№ 4

 

m, г 675,2136 675,2139 675,2141 675,2162 675,2127 675,2123 675,2131
V, см 373,1187 373,1199 373,1183 373,1192 373,1169 373,1174 373,1176

 

№ 5

 

m, г 837,2347 837,2344 837,2349 837,2331 837,2364 837,2353 837,2338
V, см 256,8204 256,8236 256,8209 256,8187 256,8199 256,8201 256,8207

 

№ 6

 

m, г 743,5451 743,5450 743,5483 743,5432 743,5453 743,5459 743,5448
V, см 313,7321 313,7325 313,7317 313,7343 313,7309 313,7313 313,7334

 

№ 7

 

m, г 768,3327 768,3329 768,3321 768,3358 768,3088 768,3341 768,3316
V, см 183,8116 183,8148 183,8101 183,8123 183,8113 183,8108 183,8134

 

№ 8

 

m, г 543,7834 543,7837 543,7831 543,7841 543,7827 543,7857 543,7811
V, см 117,4371 117,4373 117,4368 117,4397 117,4351 117,4382 117,4365

 

 

№ 9

 

m, г 624,6712 624,6723 624,6705 624,6740 624,6703 624,6718 624,6728
V, см 121,5314 121,5318 121,5309 121,5304 121,5321 121,5348 121,5330

 

№ 10

 

m, г 867,3241 867,3275 867,3243 867,3237 867,3221 867,3218 867,3254
V, см 152,9672 152,9673 152,9669 152,9698 152,9684 152,9655 152,9681

 

№ 11

 

m, г 478,6493 478,6495 478,6489 478,6498 478,6471 478,6525 478,6507
V, см 75,7356 75,7388 75,7367 75,7333 75,7362 75,7351 75,7141

 

№ 12

 

m, г 913,4556 913,4567 913,4593 913,4531 913,4542 913,4551 913,4561
V, см 121,3088 121,3082 121,3091 121,3051 121,3108 121,3095 121,3090

 

№ 13

 

m, г 977,4248 977,4203 977,4250 977,4273 977,4670 977,4236 977,4254
V, см 124,6715 124,6755 124,6693 124,6743 124,6702 124,6713 124,6718

 

№ 14

 

m, г 302,2354 302,2357 302,2394 302,2314 302,2368 302,2387 302,2325
V, см 119,4371 119,4373 119,4368 119,4397 119,4351 119,4382 119,4365

 

№ 15

 

m, г 433,3642 433,3645 433,3635 433,3674 433,3618 433,3652 433,3627
V, см 153,9672 153,9673 153,9669 153,9698 153,9684 153,9655 153,9681

 

№ 16

 

m, г 685,2136 685,2139 685,2141 685,2162 685,2127 685,2123 685,2131
V, см 85,7356 85,7388 85,7333 85,7362 85,7351 85,7341 85,7367

 

 

№ 17

 

m, г 847,2347 847,2344 847,2349 847,2331 847,2364 847,2353 847,2338
V, см 248,4249 248,4267 248,4253 248,4233 248,4251 248,4241 248,4243

№ 18

 

m, г 488,6493 488,6495 488,6489 488,6498 488,6471 488,6525 488,6507
V, см 131,5314 131,5318 131,5309 131,5304 131,5321 131,5348 131,5330

 

№ 19

 

m, г 634,6712 634,6723 634,6705 634,6740 634,6703 634,6718 634,6728
V, см 363,1187 363,1199 363,1183 363,1192 363,1169 363,1174 363,1176

 

№ 20

 

m, г 923,4556 923,4567 923,4593 923,4531 923,4542 923,4551 923,4561
V, см 166,7348 166,7351 166,7342 166,7372 166,7327 166,7336 166,7363

 

№ 21

 

m, г 745,5451 745,5450 745,5483 745,5432 745,5453 745,5459 745,5448
V, см 246,8204 246,8236 246,8209 246,8187 246,8199 246,8201 246,8207

 

№ 22

 

m, г 367,6374 367,6378 367,6367 367,6375 367,6358 367,6391 367,6346
V, см 111,3088 111,3082 111,3091 111,3051 111,3108 111,3095 111,3090

 

№ 23

 

m, г 564,6556 564,6557 564,6593 564,6531 564,6542 564,6551 564,6561
V, см 101,1187 101,1183 101,1192 101,1179 101,1177 101,1190

 

№ 24

 

m, г 427,6374 427,6378 427,6367 427,6375 427,6358 427,6391 427,6346
V, см 216,4249 216,4267 216,4253 216,4233 216,4251 216,4241 216,4243

 

№ 25

 

m, г 957,4556 957,4567 957,4593 957,4531 957,4542 957,4551 957,4561
V, см 211,3078 211,3072 211,3081 211,3041 211,3098 211,3085 211,3080

 

№ 26

 

m, г 314,2354 314,2357 314,2394 314,2314 314,2368 314,2387 314,2325
V, см 121,4371 121,4373 121,4368 121,4397 121,4351 121,4382 121,4365

 

№ 27

 

m, г 657,1235 657,1238 657,1242 657,1262 657,1237 657,1221 657,1232
V, см 264,2188 264,2197 264,2181 264,2167 264,2175 264,2193 264,2174

 

№ 28

 

m, г 823,6548 823,6542 823,6541 823,6530 823,6565 823,6557 823,6539
V, см 168,9303 168,9338 168,9308 168,9286 168,9298 168,9305 168,9309

 

№ 29

 

m, г 755,6352 755,6345 755,6392 755,6330 755,6355 755,6368 755,6341
V, см 412,5427 412,5423 412,5416 412,5453 412,5408 412,5415 412,5438

 

№ 30

 

m, г 578,4243 578,4238 578,4232 578,4245 578,4227 578,4263 578,4209
V, см 227,9883 227,9865 227,9872 227,9898 227,9846 227,9884 227,9869

 

№ 31

 

m, г 673,4521 673,4532 673,4507 673,4554 673,4500 673,4519 673,4527
V, см 94,6716 94,6723 94,6707 94,6701 94,6728 94,6757 94,6732

 

№ 32

 

m, г 981,6742 981,6787 981,6753 981,6734 981,6723 981,6713 981,6752
V, см 146,2391 146,2385 146,2354 146,2407 146,2383 146,2341 146,2396