Lineární funkce

Obsah

 

A nakonec

Uacute;vod

 

Cílem této práce bude strun a jasn vysvtlit matematické funkce, seznámit zaáteníky i pokroilé s tímto oborem. Tématem budou samozejm Funkce, základní a rozíené metodiky, postupy pi poítání. Na zaátku bych chtla vysvtlit, co to vlastn „ty funkce“ jsou, take njaká pesná definice, dále budu pokraovat seznamováním s jednotlivými druhy funkcí a pak se pustíme do píklad. Mými pomocníky v této práci budou wikipedie, odborná literatura a dalí zdroje. Toto téma jsem si vybrala, protoe mi nejen pipadá jako zajímavé, ale i téma, které je teba znát a umt ostatním vysvtlit, jeliko funkce nás budou provázet po celý ivot, jsou vude, kam se jen podíváte, a proto jsou tak dleité.

Sta

 

Definice

Funkce je vlastn název pro zobrazení njaké mnoiny M do mnoiny ísel (která jsou vtinou reálná nebo komplexní), nebo do vektorového prostoru (v tomto pípad mluvíme o vektorové funkci). Je to tedy pedpis, ve kterém je ke kadému prvku z mnoiny M jednoznan piazeno njaké íslo nebo vektor (hodnota funkce). Slovo funkce se nkdy také pouívá pro libovolné zobrazení.

Praxe

Funce v praxi mají velké uplatnní. Goniometrické funkce pedevím vyuívají architekti, inenýi a stavitele, lineární se budou hodit analitikm atd. V matematice jsou vhodné pro eení rovnic, nerovnic, porovnávání.

Zpsoby zadání funkce

1. Analyticky

Existují ti tvary vyjádení funkce analytickým zpsobem : exciplictní, implicitní a parametrický. Exciplitní vyjádení funkce vypadá takto : y=f(x), zatímco implicitní tvar vypadá trochu jinak : F(x, y)=0, parametrický vypadá dosti sloit, ale takový ve skutenosti není : x=f₁(t), y=f₂(t), kde je t vhodný parametr.

Píklad

Zápis kvadratické funkce analytickým zpsobem:

Emplicitní tvar	y=2x2
Implicitní tvar	y-2x2=0
Parametrický tvar	x=t , y=t2

 

2.Graficky

S tímto zpsobem se setkáváme u empirických funkcích, jejich hodnoty se získávají mením, nap. hodnoty teploty namené v prbhu dne.

Píklad

Píklad zadání funkce grafem. D(x) oznauje defininí obor a H(y) oznauje obor hodnot.

3.Tabulkou (výtem hodnot)

Pedpis funkce me být zadán také výtem hodnot, který obvykle uspoádáme do tabulky.

Píklad

Píkladem me být nap. zadání funkce

X
y

Defininím oborem je zde mnoina {1, 2, 3, 4, 5}, a oborem hodnot je mnoina {2, 4, 6, 8, 10}

Základní vlastnosti funkcí

Funkce f se nazývá SUDÁ FUNKCE, práv kdy zárove platí:

1. Pro kadé x D(f) je také –x D(f)

2.Pro kadé x D(f) je f(-x)=f(x)

Bod A‘ [-x; f(x)] je soumrn sdruený s bodem A[x; f(x)] podle osy y, proto je graf sudé funkce osov soumrný podle osy y.

Funkce f se nazývá LICHÁ FUNKCE, práv kdy zárove platí:

1. Pro kadé x D(f) je také –x D(f)

2.Pro kadé x D(f) je f(-x)=-f(x)

Bod A‘ [-x; f(x)] je soumrn sdruený s bodem A[x; f(x)] podle poátku kartézské soustavy souadnic , proto je graf liché funkce stedov soumrný podle poátku kartézské soustavy souadnic.

Funkci f nazveme ROSTOUCÍ V MNOIN M, práv kdy pro kadé dva prvky x₁, x₂ z M platí: je-li x₁ < x₂, potom f(x₁) < f(x₂). Funkci f nazveme KLESAJÍCÍ V MNOIN M, práv kdy pro kadé dva prvky x₁, x₂ z M platí: je-li x₁ < x₂, potom f(x₁) > f(x₂). Místo „funkce f je rostoucí (klesající) v D(f)“ íkáme pouze „funkce f je rostoucí (klesající)“

Dále se budu zabývat lineární a kvadratickou funkcemi. Ukáu Vám jak vypadají, jejich grafy a obecné rovnice.

Lineární funkce

je taková funkce, její hodnota na celém jejím defininím oboru rovnomrn klesá nebo roste. Napíklad funkce f(x) = 3x je lineární.

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádit ve tvaru

,

kde k i q jsou konstanty.

Parametr k je tzv. smrnice pímky, parametr q uruje její svislý posun. Defininí obor lineární funkce je .

Lineární funkce promnných má tvar

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

· grafem lineární funkce nad reálnými ísly je pímka rznobná s osou y

· lineární funkce jsou uzavené na skládání

· lineární funkce není ohraniená ani periodická

· pro k > 0 je lineární funkce rostoucí, pro k < 0 je klesající

· lineární funkce je spojitá

· pro q = 0 prochází poátkem a v takovém pípad je lichou funkcí

· lineární funkce má v kadém bod derivaci, která je rovna její smrnici

· primitivní funkce k lineární funkci je kvadratická funkce

· píklad:

 

 

– Vymezte lineární funkci, napite, jak je zadaná, co je jejím grafem, dolote na píkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte njaký graf lineární funkce a vlote obrázek do práce. Funkci na obrázku popite v textu. Toté provete v Excelu. Na závr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v pedpisu lineární funkce. Toto mete demonstrovat na obrázcích.

 

• sta-

– Napite, kterými funkcemi se budete v následujících kapitolách zabývat.

– Vymezte lineární funkci, napite, jak je zadaná, co je jejím grafem, dolote na píkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte njaký graf lineární funkce a vlote obrázek do práce. Funkci na obrázku popite v textu. Toté provete v Excelu. Na závr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v pedpisu lineární funkce. Toto mete demonstrovat na obrázcích.

– Vyberte si dalí typ funkce (kvadratická, lineární lomená, mocninná...) a postupujte stejn, jako v pedcházející kapitole.