Кинематика материальной точки

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Ф И З И К Е

 

ЧАСТЬ 1

 

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

 

Методические указания для заочников

 

Тверь 2012


Кинематика материальной точки

1. Для описания движения материальной точки необходимо выбрать систему отсчета, включающую в себя тело отсчета (О), систему координат (например, декартову OXY) и часы. Линия в пространстве, по которой движется материальная точка, называется траекторией. Путь - это длина траектории. Вектор, соединяющий начало координат (О) и положение материальной точки в данный момент времени, называется радиус-вектором . Вектор, соединяющий начальное (1) и конечное (2) положения материальной точки, называется перемещением (обозначается ). Уравнения движения выражают зависимость координат или радиус-вектора от времени и имеют вид

 

или .

 

Уравнение траектории можно получить, исключив время из уравнений движения и выразив зависимость одной координаты от другой, например .

2.Мгновенная скорость точки характеризует ее перемещение за единицу времени и определяется как производная радиус-вектора по времени:

.

Проекции вектора скорости на оси ОХ и ОY могут быть найдены как производные от соответствующих координат:

,

.

Модуль(абсолютную величину) скорости можно найти по формуле

3. Ускорениеточки характеризует изменение ее скорости за единицу времени и равно производной вектора скорости по времени:

.

Проекции вектора ускорения aх и aу и его модуль а равны

,

,

 

4. Для удобства анализа характера движения точки ускорение раскладывают на две составляющие:

 

− тангенциальное ускорение at , характеризующее изменение вектора скорости только по величине; at равно производной модуля скорости по времени:

;

вектор сонаправлен с вектором скорости при ускоренном движении (аt > 0) и направлен противоположно при замедленном движении (аt < 0).

− нормальное ускорение an , характеризующее изменение вектора скорости только по направлению; поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, для них справедливо выражение , и нормальное ускорение может быть найдено как

;

вектор нормален (перпендикулярен) вектору скорости направлен к центру кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории R определяется как

и зависит от времени.

Пример

Уравнение движения материальной точки имеет вид: , где A= 4 м/с, В =-0,05 м/с2.Построить графики зависимостей x(t); vx(t); ax(t) . Для этого вычислить их значения в интервале времени от 0 до t0 с шагом Δt, где t0 =100 с, Δt=5 с.

 

 

Решение:

 

1) - проекция скорости на ось х равна первой производной от координаты x от времени;

;

2) м/с2 - проекция ускорения на ось х равна производной от проекции скорости на ось х. Так как проекция ускорения не зависит от времени, движение является прямолинейным равноускоренным.

3) График зависимости координаты от времени.

 

t, c
x, м 18,75 48,75 68,75 78,75 78,75
t, c  
x, м 68,75 48,75 18,75 -21,25 -45 -71,25 -100  

Графики зависимости проекции скорости на ось x от времени:

;

(м/с)

 

t, c
v, м /c 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1
t, c  
v, м /c -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5 -4 -4,5 -5 -5,5 -6  

График зависимости проекции ускорения на ось x от времени:

 

аx=-0,1 м/с2