Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

Класс.

Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

1. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.

2. Докажите, что биссектриса точкой пересечения биссектрис делится на отрезки , отношение длин которых, считая от вершины равно частному суммы сторон , образующих угол, из вершины которого она проведена, и длины стороны, к которой она проведена.

3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС (С=90°). Окружность радиуса 15 проходит через точки А,С,D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Найдите площадь треугольника АВС.

4. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

5. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.

6. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

7. Биссектриса CD угла АСВ при основании ВС равнобедренного треугольника АВС делит сторону АВ так, что AD=BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника АВС, если ВС=2.

8. (Ларин.ЕГЭв.№91) В равнобедренном треугольнике АВС АС – основание. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. а) Докажите, что АВ – биссектриса угла САD. б) Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

9. (Ларин. ЕГЭ в.№93) В трапеции АВСD ВС и АD – основания. Биссектриса угла А пересекает сторону СD в ее середине – точке Р. а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС. б) Найдите площадь трапеции АВСD, если АР=8, ВР=6.

10. (Ларин. ЕГЭ. В.№108) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР. a) Докажите, что треугольник КМР – равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

11. (Ларин. ЕГЭ. В.№116) В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P. а) Докажите, что BC:AC=CP:AP. б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=4,BM=5.

12. (Ларин. ЕГЭ. В.№114) В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм. а) Докажите, что ABCD – параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

13. (Ларин. ЕГЭ. В.№98) В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL. а) До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH. б) Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Домашнее задание

1. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну BC в точке E Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD если BE=7, EC=3, а ABC=150°.

2. Каж­дое ос­но­ва­ние AD и BC тра­пе­ции ABCD про­дол­же­но в обе сто­ро­ны. Бис­сек­три­сы внеш­них углов A и B этой тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, бис­сек­три­сы внеш­них углов C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD, если длина от­рез­ка KE равна 28.

3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Найдите длины отрезков CD,СЕ,DЕ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, если АС=2, ВС=4, cos ACB=11/16.

 

 

Класс.

Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

1. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.

2. Докажите, что биссектриса точкой пересечения биссектрис делится на отрезки , отношение длин которых, считая от вершины равно частному суммы сторон , образующих угол, из вершины которого она проведена, и длины стороны, к которой она проведена.

3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС (С=90°). Окружность радиуса 15 проходит через точки А,С,D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Найдите площадь треугольника АВС.

4. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

5. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.

6. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

7. Биссектриса CD угла АСВ при основании ВС равнобедренного треугольника АВС делит сторону АВ так, что AD=BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника АВС, если ВС=2.

8. (Ларин.ЕГЭв.№91) В равнобедренном треугольнике АВС АС – основание. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. а) Докажите, что АВ – биссектриса угла САD. б) Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

9. (Ларин. ЕГЭ в.№93) В трапеции АВСD ВС и АD – основания. Биссектриса угла А пересекает сторону СD в ее середине – точке Р. а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС. б) Найдите площадь трапеции АВСD, если АР=8, ВР=6.

10. (Ларин. ЕГЭ. В.№108) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР. a) Докажите, что треугольник КМР – равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

11. (Ларин. ЕГЭ. В.№116) В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P. а) Докажите, что BC:AC=CP:AP. б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=4,BM=5.

12. (Ларин. ЕГЭ. В.№114) В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм. а) Докажите, что ABCD – параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

13. (Ларин. ЕГЭ. В.№98) В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL. а) До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH. б) Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Домашнее задание

1. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну BC в точке E Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD если BE=7, EC=3, а ABC=150°.

2. Каж­дое ос­но­ва­ние AD и BC тра­пе­ции ABCD про­дол­же­но в обе сто­ро­ны. Бис­сек­три­сы внеш­них углов A и B этой тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, бис­сек­три­сы внеш­них углов C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD, если длина от­рез­ка KE равна 28.

3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Найдите длины отрезков CD,СЕ,DЕ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, если АС=2, ВС=4, cos ACB=11/16.