ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Пример.
Под каким углом пересекают данные прямые ось 
.
1) 
2) 
3) 
Чтобы определить угловой коэффициент, надо из уравнения выразить 
:
4) 
Запишем основные формулы.
1) Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом 
, проходящей через точку 
.
2) Уравнение прямой, проходящей через точку 
и точку 
.
3) Угол между прямыми 
и 
.
4) Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 
и 
.
// 
5) Расстояние от точки до прямой 
.
Пример.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
и точку 
.
Согласно уравнению 2: 
Пример.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
и точку 
.
Пример.Даны прямые 
и 
. Найти угол между этими прямыми.
Найдем угловые коэффициенты этих прямых: 
и 
По формуле 3 находим тангенс угла между прямыми:
Пример.Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой 
.
Угловой коэффициент данной прямой 
, значит угловой коэффициент прямой, ей параллельной, 
. Используя уравнение 1, получим 
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой 
.
Угловой коэффициент данной прямой 
, значит угловой коэффициент прямой, ей параллельной, 
. Используя уравнение 1, получим 
Задание 1. В треугольнике 
с вершинами 
составить:
1) уравнения всех его сторон
2) уравнения всех высот
3) медианы 
4) найти угол между медианой и высотой 
1) Составим уравнение стороны 
Используем уравнение
Составим уравнение стороны 
Составим уравнение стороны 
2) Составим уравнение высоты 
Угловой коэффициент прямой 
, значит,
угловой коэффициент перпендикулярной прямой 
.
Используем уравнение
Составим уравнение высоты AL. Угловой коэффициент прямой 
, значит,
угловой коэффициент перпендикулярной прямой 
.
Составим уравнение высоты . Угловой коэффициент прямой 
, значит,
угловой коэффициент перпендикулярной прямой 
.
3)Составим уравнение медианы 
Точка М – середина отрезка, а координаты середины отрезка есть полусумма координат концов отрезка. Значит, 
или 
.
Используем формулу 
4) Найдем угол между медианой и высотой . Угловой коэффициент прямой 
, угловой коэффициент прямой 
.
- Кривые второго порядка.
Эллипс.
Эта кривая задается уравнением 
. Это уравнение называется каноническим.
Чтобы сделать эскиз этой кривой, на оси OX надо отметить точки 
, а на оси OY отметить точки 
. Эти точки соединить плавной линией.
| |
Если центр кривой смещается из начала координат в другую точку, уравнение кривой изменяется.
Пример.Выделяя полные квадраты, сделать эскиз эллипса.
Выделяем полные квадраты.
. Приведем это уравнение к каноническому виду.
Значит, центр эллипса находится в точке 
, 
Чтобы сделать эскиз кривой, отмечаем центр эллипса, пунктирными линиями переносим в нее оси координат.
Гипербола.
Эта кривая задается уравнением 
. Это уравнение называется каноническим. Чтобы сделать эскиз этой кривой, на оси OX надо отметить точки , а на оси OY отметить точки . Построить прямоугольник, проходящий через эти точки и пунктиром провести прямые, проходящие через диагонали этого прямоугольника. Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Затем вписываются две ветви гиперболы.
Пример.Выделяя полные квадраты, сделать эскиз гиперболы.
центр кривой в точке 
.
Отмечаем центр гиперболы, пунктирными линиями переносим в нее оси координат, строим прямоугольник, проводим в нем диагонали и вписываем две ветви гиперболы.
Заметим, что если получилось уравнение 
, то надо поменять знак:
. У этой гиперболы ветви направлены не вправо и влево, а вверх и вниз. Строится такая гипербола точно также, только ветви гиперболы вписываются в верхний и нижний угол между асимптотами.
Парабола.
Эта кривая задается уравнением 
или 
. Эти уравнения называются каноническими. Чтобы сделать эскиз параболы, надо найти ее вершину и определить, в какую сторону направлены ее ветви. Если в уравнении в первой степени находится 
, то ветви вдоль оси . Если 
, ветви вправо, если 
, ветви влево. Если в уравнении в первой степени находится , то ветви вдоль оси 
. Если , ветви вверх, если , ветви вниз.
Пример. Выделяя полные квадраты, сделать эскиз параболы.
1)
вершина параболыв точке
,ветви вдоль оси вверх.
2) 
вершина параболыв точке
,ветви вдоль оси
влево.
- Плоскость и прямая в пространстве.
Плоскость.
Плоскость задается линейным уравнением вида 
Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормалью 
, а его координатами являются коэффициенты при 
в уравнении плоскости: 
.
Пример.1) Плоскость задана уравнением 
, значит, нормаль 
.
2) Плоскость задана уравнением 
, значит, нормаль 
. Этот вектор перпендикулярен оси 
, значит, сама плоскость параллельна оси . Аналогично, если в уравнении плоскости нет переменной , эта плоскость параллельна оси . Если нет переменной , плоскость параллельна оси
Пример.Нарисовать плоскости, заданные следующими уравнениями.
1) 
Находим точки пересечения плоскости с осями координат.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
На осях координат отмечаем полученные точки и соединяем отрезками прямых.
2) 
Эта плоскость параллельна оси OZ.
В плоскости XOY по двум точкам строим прямую 
.
При 
, при 
.
Затем построенную прямую «смещаем» параллельно оси
Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать координаты 
любой точки, принадлежащей этой плоскости, и координаты вектора нормали 
, затем воспользоваться уравнением 
(*)
Пример.Составить уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
параллельно плоскости 
.
Запишем координаты нормали заданной плоскости: 
. Так как плоскости параллельны, их нормали тоже параллельны, значит, в качестве нормали 
искомой плоскости, можно взять . Используя (*), составим уравнение плоскости :
Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
.
Если заданные точки не лежат на одной прямой, то такая плоскость единственная. Рассмотрим векторы 
и 
. Если векторы параллельны, то точки 
лежат на одной прямой и единственную плоскость они не определяют. Проверим пропорциональность координат: 
векторы не параллельны, точки не лежат на одной прямой.
Векторное произведение векторов 
и 
есть вектор, перпендикулярный обоим этим векторам, значит, искомая нормаль 
.
Найден вектор нормали 
или можно взять 
Из заданных точек выбираем любую, например, 
и используем уравнение (*):
- искомое уравнение. Полученная плоскость параллельна оси .
Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве задается тремя способами.
- Общие уравнения прямой (прямая
задана как линия пересечения двух плоскостей):
- Канонические уравнения прямой(прямая проходит через точку
параллельно вектору 
. Вектор называется
направляющим вектором прямой):
- Параметрические уравнения прямой. ( прямая задается как траектория движения
точки):
Здесь 
любое число, называемое параметром.
Пример.Задана прямая общими уравнениями 
Плоскости 
и 
не параллельны, так как нормали не параллельны 
, значит, пересекаясь, задают прямую.
Пример.Задана прямая каноническими уравнениями 
Точка 
лежит на этой прямой, вектор 
параллелен этой прямой и называется направляющим вектором.
Пример.Задана прямая параметрическими уравнениями
Направляющий вектор этой прямой 
. Для любого значения параметра соответствует одна точка, лежащая на прямой. Например, для 
получаем точку с координатами 
, или 
.
Обратно, для любой точки, лежащей на данной прямой, найдется единственное значение параметра, соответствующее этой точке. Например, точке 
соответствует параметр 
.
Пример.Найти угол между прямыми
и 
Угол между прямыми – это угол между их направляющими векторами. Найдем направляющий вектор первой прямой:
- нормаль к первой плоскости,
- нормаль ко второй плоскости. Тогда направляющий вектор
Точно так же для второй прямой:
- нормаль к первой плоскости,
- нормаль ко второй плоскости. Тогда направляющий вектор
Находим косинус угла 
между прямыми:
Пример.Прямая задана общими уравнениями: 
Получить канонические уравнения этой прямой.
Направляющий вектор прямой найден в предыдущем примере 
. Остается найти какую-либо точку, лежащую на прямой.
Пусть, например, 
, тогда решаем систему уравнений 
Канонические уравнения имеют вид: 
Задание 3. В пространстве заданы две прямые 
и 
.
a. Записать канонические уравнения прямой .
b. Найти угол между прямыми и .
Канонические уравнения прямой получены в предыдущем примере, направляющий вектор этой прямой 
. Направляющий вектор второй прямой 
. С помощью скалярного произведения найдем косинус угла между прямыми:
Задание 4.Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В, С. Найти точку пересечения полученной плоскости с заданной прямой .
Составим уравнение плоскости, используя уравнение .
Значит, вектор нормали 
, или можно взять . Выбираем точку, лежащую в плоскости, например, 
:
В полученном уравнении отсутствует 
, значит, эта плоскость параллельна оси .
Найдем точку пересечения А плоскости и прямой. Для этого канонические уравнения прямой запишем в параметрическом виде:
Полученные параметрические уравнения подставим в уравнение плоскости и найдем то значение параметра 
, которое соответствует точке пересечения А.
Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим в параметрические уравнения прямой и получим 
Значит, 
.
Поверхности второго порядка.
- Эллипсоид - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
2. Однополостный гиперболоид - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
3. Двуполостный гиперболоид - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
4. Конус второго порядка -поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
5. Эллиптический параболоид - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
6. Гиперболический параболоид - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
7. Эллиптический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
8. Гиперболический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
9. Параболический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением
Это уравнение называется каноническим.
Все эти поверхности расположены относительно системы координат специальным образом. Например, центр эллипсоида находится в начале координат, а его оси являются координатными осями. Если же поверхность, не поворачивая, сместить в некоторую точку, ее каноническое уравнение изменится. Чтобы узнать, куда было сделано смещение и распознать поверхность, надо выделить полные квадраты.
Задание 5.Получить каноническое уравнение, указать название поверхности.
Выделим полные квадраты:
Это двуполостный гиперболоид, с центром в точке 
с осью, параллельной оси
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Задание 1Длятреугольника АВС составить:
1) уравнения всех его сторон
2) уравнения всех его высот
3) уравнение медианы СМ
4) найти угол между медианой СМ и стороной ВС
Вариант 1 А(2,3), В(0,-3), С(1,3)
Вариант 2 А(2,-4), В(0,-3), С(1,6)
Вариант 3 А(2,-3), В(0,-2), С(3,-4)
Вариант 4 А(2,-5), В(0,-1), С(3,1)
Вариант 5 А(-2,3), В(1,-7), С(0,6)
Вариант 6 А(2,-5), В(0,9), С(-1,6)
Вариант 7 А(0,3), В(-2,-3), С(-3,2)
Вариант 8 А(0,5), В(-2,-6), С(-3,1)
Вариант 9 А(0,3), В(-2,-3), С(-3,2)
Вариант 10 А(-2,3), В(-1,1), С(-3,2)
Задание 2Сделать эскиз заданных кривых, выделив полные квадраты. Записать канонические уравнения данных кривых.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Задание 3В пространстве заданы две прямые и .
c. Записать канонические уравнения прямой .
d. Найти угол между прямыми и .
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант .
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Задание 4Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В, С. Найти точку пересечения полученной плоскости с заданной прямой .
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Задание 5 Выделив полные квадраты, выяснить вид поверхности и записать ее каноническое уравнение.
Вариант 1 
Вариант 2 
Вариант 3 
Вариант 4 
Вариант 5
Вариант 6 
Вариант 7 
Вариант 8 
Вариант 9 
Вариант 10 
ТЕСТЫ.
Вариант 1
1. Какие из следующих уравнений задают прямую
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Укажите угловой коэффициент прямой 
1) 5 2) 2 3) 2,5 4) -2,5
3. Как выглядит условие перпендикулярности двух прямых?
1) 
2) 
3) 
4) 
4. Какая из предложенных прямых перпендикулярна прямой 
?
1) 
2) 
3) 
5. Под каким углом прямая 
пересекает ось OX?
1) 
2) 
3) 
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2,3) и В(-3,1)
1) 
2) 
3) 
7. Какие из следующих уравнений задают эллипс?
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Эксцентриситет кривой второго порядка равен 
. Какая это кривая?
1) эллипс 2) гипербола 3) парабола 4) окружность
9. Указать центр окружности 
1) (1,2) 2(-1,2) 3) (-1,-2) 4) (1,-2)
10. Укажите вершину параболы 
1) (4,2) 2) (-4,2) 3) (-12,2) 4) (-2,4)
11. Что задает уравнение второго порядка 
?
1) эллипс 2) параболу 3) точку 4) две пересекающиеся прямые
12. Указать координаты фокусов эллипса 
1) 
2) 
3) 
4) 
13. Какие из уравнений задают плоскость?
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
14. Какие из заданных плоскостей перпендикулярны?
1) 
2) 
3) 
1) 2 и 3 2) 1 и 3 3) 1 и 2
15. Какая из плоскостей параллельна оси OY?
1) 
2) 
3)
16. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку
А(2,-1,0) параллельно плоскости
1) 
2) 
3) 
17. Какая линия или поверхность задается следующими двумя уравнениями 
1) прямая 2) плоскость 3) сфера 4) эллипс
18. Прямая задана параметрическими уравнениями 
.
Какой параметр соответствует точке А(-4,-5,1)?
1) 
2) 
3) 
4) у точки не может быть параметра
19. Укажите прямую, параллельную оси OX
1) 
2) 
3) 
20. Укажите уравнение сферы
1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 2
1. Какие из следующих уравнений задают прямую
1) 
2) 
3) 4) 
2. Укажите угловой коэффициент прямой 
1) -1,25 2) -5 3) 1,25 4) -2,5
3. Как выглядит условие перпендикулярности двух прямых?
1) 2) 
3) 
4) 
4. Какая из предложенных прямых перпендикулярна прямой 
?
1) 2) 3)
5. Под каким углом прямая 
пересекает ось OX?
1) 
2) 
3)
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2,3) и В(-3,1)
1) 2) 3)
7. Какие из следующих уравнений задают эллипс?
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Эксцентриситет кривой второго порядка равен 
. Какая это кривая?
1) эллипс 2) гипербола 3) парабола
9.Указать центр окружности 
1) (-4,-5) 2( -4,5) 3) (4,-5) 4) (4,5)
10. Укажите вершину параболы 
1) (8,12) 2) (-8,12) 3) (4,-8) 4) (-12,-8)
11. Указать координаты фокусов эллипса 
1) 2) 3) 4)
12. Какое из уравнений второго порядка задает точку?
1) 
2) 
3) 
13. Какие из уравнений задают плоскость?
1) 2) 
3) 
4) 
5)
14. Какие из заданных плоскостей перпендикулярны?
1) 2) 3)
1) 1 и 2 2) 1 и 3 3) 2 и 3
15. Какая из плоскостей параллельна оси OX?
1) 2) 3) 
16. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку
А(2,-1,0) параллельно плоскости 
1) 
2) 
3) 
17. Какая линия или поверхность задается следующими двумя уравнениями
1) эллипс 2) сфера 3) плоскость 4) прямая
18. Прямая задана параметрическими уравнениями 
.
Какой параметр соответствует точке А(11,-8,5)?
1) 
2) 
3) 
4) параметр не определяется
19. Укажите прямую, параллельную оси OY
1) 2) 3) 
20. Какие уравнения задают однополостный гиперболоид?
1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 3
1. Какие из следующих уравнений задают прямую
1) 
2) 3) 
4) 
2.Укажите угловой коэффициент прямой 
1) 5 2) -2,5 3) 2,5 4) -5
3.Как выглядит уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом?
1) 
2) 
3) 
4) 
4.Какая из предложенных прямых перпендикулярна прямой 
?
1) 
2) 
3) 
4)
5.Под каким углом прямая пересекает ось OX?
1) 2) 3) 4)
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(3,3) и В(-3,2)
1) 
2) 
3) 
4) 
7. Какие из следующих уравнений задают гиперболу?
1) 2) 
3) 4) 
8. Эксцентриситет кривой второго порядка равен 
. Какая это кривая?
1) эллипс 2) гипербола 3) парабола 4) окружность