Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Известно, что для любого значение x верны равенства

sin (-x) = -sin x, cos (-x) = cos x


Следовательно, y = sin xнечетная функция, а y = cos xчётная функция. Так как для любого значения x из области определения функции y = tg x верно равенство tg (-x) = -tg x, тоy = tg xнечетная функция.

Известно, что для любого значения x верны равенства

sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x.


Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого xиз области определения этой функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T).
Число T называется периодом функции f (x).
Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f (x), то числа x + T, x - T и вообще числа x + Tn, n Є Z, также принадлежат области определения этой периодической функции и f (x + Tn) = f (x), n Є Z

Число 2π является наименьшим положительным периодом функции y = cos x, также и для функции y = sin x.
π - наименьший положительный период функции tg x.


 

Функция синус

Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

Функция косинус

 
Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

Функция тангенс

 
Область определения функции— множествовсех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, kZ для всех х из области определения.

tg x = 0при
tg x > 0 для всех
tg x < 0для всех
Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

 
Область определения функции— множествовсех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, kZ для всех х из области определения.

ctg x = 0при
ctg x > 0 для всех
ctg x < 0для всех
Функция убываетна каждом из промежутков

 


 

Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |xa| < δ, xa, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

График 1.3.6.1. Предел функции y = x2 при x → 2.
График 1.3.6.2. Предел функции при x → 0.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

График 1.3.6.3. Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} приx → 0 равен 0.

Предел функции в точке a = 0 равен 0: Предел функции в точке a = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции в точке a = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f (0) = 1.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |xa| < δ, xa, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функцию которая стремится на бесконечности к нулю:

Наконец, запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x),

и если

,

то существует

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство

f (x) < g (x),

и если то AB.