Найти условие того, что ядро с массовым числом А и зарядом Z начнет процесс спонтанного деления на 2 осколка.
Решение:
Математическая справка:
1. В сферических координатах (r,ϑ, 
) элемент объема тонкого сферического слоя равен:
(3.3)
2. Рассмотрим сложную фигуру, изображенную на рис.1, координаты точек поверхности которой описывается произвольной функцией 
. Предполагается, что тело симметрично относительно вращения вокруг оси Z . Элемент длины dl на сечении фигуры, изображенной на рис.1, равен:
При вращении отрезка dl вокруг оси Z образуется плоское кольцо площадью 
. Следовательно, полная площадь поверхности деформированного ядра равна:
(3.3 
)
Рис.1 Сечение деформированного ядра
3.Для дальнейшего укажем значения некоторых интегралов, которые элементарно вычисляются путем замены 
с учетом того, что 
:
(3.4)
В процессе деформации атомных ядер изменяется каждый член формулы Б.В. (4), но главную роль в этом процессе играют второй (поверхностный) и третий (кулоновский) члены. Таким образом, наша задача сводится к расчетам изменения поверхностной и кулоновской энергий деформированного ядра для выбранной модели 
(3.1).
Так как ядерное вещество практически несжимаемо, то в процессе деформации его объем остается неизменным. Из этого условия можно найти связь параметров деформации 
и 
в формуле (3.1):
.
При вычислениях мы воспользовались формулами (3.2) и (3.4) и сохранили лишь члены порядка не выше 
. Из последнего соотношения для несжимаемого ядра получаем:
(3.5)
Далее вычислим изменение площади поверхности деформированного ядра. Для этого учтем формулу (3.3) и проведем приближенные расчеты, сохраняя лишь члены порядка не выше 
с учетом результата (3.5):
(3.6)
Тогда поверхностную энергию деформированного ядра можно вычислить по формуле:
. (3.7)
Здесь мы воспользовались также результатами задачи 1 (соотношения (1.1) и (1.3)). Сравнивая (3.7) с поверхностным членом формулы Б.В. (4):
, (3.8)
мы видим, что эффект деформации ядра сводится к формальной замене:
(3.9)
Отсюда можно оценить изменение кулоновской энергии деформированного ядра (4) путем формального перехода:
(3.10)
Тогда полное изменение энергии связи ядра, вызванное деформацией, будет равно:
(3.11)
Очевидно, ядро начнет спонтанно деформироваться, разделяясь на два осколка, если 
. Из формулы (3.11) мы получим окончательный результат:
(3.12)
Величина 
называется параметром деления, который играет определяющую роль в процессах спонтанного деления ядер.
Полученный результат позволяет объяснить, например, почему изотоп 
является менее стабильным относительно процессов спонтанного деления, чем изотоп 
. Достаточно сказать, что в природной смеси изотопов урана 
составляет лишь 0,3%, тогда как для изотопов 
эта концентрация достигает 99,7%.
Ответ: 
.
Задача 4. Используя формулу Бете - Вайцзеккера (4), определить среди изобарных ядер заряд ядра Zо , стабильного относительно 
распада. Определить характер 
активности радиоактивных ядер серебра 
Решение:
При радиоактивных 
распадах энергия связи конечного ядра возрастает, и для стабильного из группы изобарных ядер достигает максимума по параметру Z . Из формулы Б.В. (4) при A=const условие экстремума функции Есв (Z) имеет вид:
отсюда:
. (4.1)
Если заряд ядра Z > Zo, то оно будет проявлять 
активность, в противном случае - 
активно. Очевидно, при 
ядро будет стабильно относительно 
распадов. Используя этот критерий, можно предсказать, что ядра серебра (Z=47) являются 
активными (Zo=45), тогда как ядра олова (Zo=54) и цезия (Zo=59) являются 
активными.
Ответ: Zo = 
; ядро 
является 
активным, ядра 
и 
активны.
№8. Пусть изменение энергии связи ядра происходит в результате малых деформаций, когда координаты точки на поверхности ядра обладают аксиальной симметрией и в плоскости, проходящей через центр ядра, описываются в полярных координатах функцией вида:
,
где полином Лежандра 
. Оценить параметр деформации 
, когда ядро начнет процесс деления на 3 фрагмента.
Литература:
1. Широков Ю.М., Ядерная физика: Учебное пособие/ Ю.М. Широков, Н.П. Юдин.- М.: "Наука", 1980.- 728с.
2. Фрауэнфельдер Г., Субатомная физика/ Г. Фрауэнфельдер, Э. Хенли.- М.: "Мир", 1979.- 736с.
3. Капитонов И.М., Введение в физику ядра и частиц: Учебное пособие/ И.М. Капитонов.- М.: "Едиториал УРСС", 2002.- 384с.
4. Иродов И.Е., Сборник задач по атомной и ядерной физике: Учебное пособие/ И.Е.Иродов.- М. "Атомиздат", 1976.- 232с.
5. Флюгге З., Задачи по квантовой механике, в 2-х т./ З. Флюгге.- М.: "Мир", 1974.- т.1.- 374с., т.2.- 316с.