Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

Інтерлінація функцій двох змінних (мішана інтерполяція).

 

Нехай задана функція двох змінних і система ліній

Слідом функції на лінії називається функція однієї змінної або , яка в кожній точці цієї лінії приймає такі ж значення , як і функція .

 

 

 


 

Функцією описуються дно океану.

Означення. Томограмою на площині будемо називати одну з трьох функцій

,

 

де - вирази, що отримуються розв’язанням рівняння відносно змінної .

       
   
 
 


 
 

Рис. 1. Графічна ілюстрація поняття томограми

 

 

Інтерлінацією функції (від англ. inter –між, line-лінія) на системі ліній називається відновлення її за допомогою слідів , .

 

 

Оператор інтерлінації функції на двох прямих .

Оператор

 

має такі інтерлінаційні властивості властивості:

 

 

При цьому справедлива тотожність ,

– інтегральній вигляд похибки наближення.

Приклад 1. Побудувати оператор інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на двох прямих .

 

Розв’язання. Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

 

Оператор інтерлінації на двох лініях має вигляд

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

Оператор інтерлінації функції на трьох прямих .

 

Оператор

має такі властивості:

При цьому, якщо , то для залишку справедлива рівність

Така формула інтерлінації може знайти застосування, наприклад, якщо треба задовольнити неоднорідні граничні умови у нестаціонарній задачі теплопровідності.

 

Приклад 2. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на трьох прямих .

Розв’язання. Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації функції двох змінних на трьох прямих має вигляд

.

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

 

Оператор інтерлінації функції на чотирьох прямих .

Оператор

має властивості

 

При цьому для залишку справедлива рівність

Тобто оператор точно відновлює всі функції, які задовольняють умову

Якщо , то

,

Приклад 3. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на чотирьох прямих ;

 

Розв’язання. Експериментальними даними є

, ,

.

Звідси витікає, що

,

Оператор інтерлінації на чотирьох прямих має вигляд:

 

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

 

Оператор

має такі властивості .

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

має такі властивості

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

є оператором поліноміальної інтерполяції Лагранжа.

Оператор

є оператором поліноміальної інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних прямих.