Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної узагальненим полiномом

У попередньому пунктi розглянуто найпростiший випадок, коли апроксимуюча функцiя є полiномом степеня . Узагальнимо його, припустивши, що апроксимуюча функцiя має вигляд

тобто є лiнiйною комбiнацiєю функцiй , якi належать деякiй системi лiнiйно незалежних функцiй. Вираз (2.37) називається узагальненим полiномом по системi функцiй .

Метод найменших квадратiв в цьому випадку полягає у знаходженнi серед узагальнених полiномiв такого, для якого функцiя

приймає мiнiмальне значення. Аналогiчно попередньому приходимо до нормальної системи рiвнянь, яка має вигляд:

Якщо ввести позначення

то систему (2.39) можна записати у виглядi матричного рiвняння

де

Визначник системи (2.39) є визначником Грама функцiй . Оскiльки цi функцiї, за припущенням, лiнiйно незалежнi, то вiн вiдмiнний вiд нуля. Отже, розв'язок системи iснує i єдиний.

Якщо при побудовi апроксимуючої функцiї використовується система лiнiйно незалежних функцiй, яка є ортогональною, тобто

то система (2.39) спрощується i матриця стає дiагональною. Параметри наближення обчислюються за формулою

З погляду на це зручно застосовувати ортогональну систему лiнiйно незалежних функцiй.

Для перевiрки вiдповiдностi побудованої емпiричної формули експериментальним даним, по-перше, обчислюють значення апроксимуючої функцiї при табличних значеннях аргумента та порiвнюють цi значення з експериментальними (табличними) значеннями функцiї; по-друге, обчислюють середньоквадратичну похибку акпроксимацiї за формулою

Якщо , де --- абсолютна похибка експериментальних даних, тобто, якщо математична похибка апроксимацiї значно бiльша фiзичної похибки вихiдних даних, то кiлькiсть коефiцiєнтiв недостатня для опису i треба збiльшити . Якщо , то старшi коефiцiєнти апроксимацiї фiзично не є вiрогiдними i треба зменшити . Якщо , то кiлькiсть коефiцiєнтiв оптимальна.

 

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома

Якщо емпiрична формула нелiнiйна вiдносно параметрiв, то її лінеаризують, тобто шляхом деяких перетворень вихідних змінних подають у вигляді лінійної функції.

Нехай, наприклад, апроксимуюча функцiя має вигляд

Припускаючи, що у вихiднiй таблицi даних значення аргумента i значення функцiї додатнi, застосуємо попереднє логарифмування (при умовi ):

Позначимо

тодi рiвнiсть (2.46) набуває вигляду

тобто в системi координат отримали лiнiйну залежнiсть.

На практиці, для знаходження апроксимуючої функцiї у виглядi (2.45) (в умовах зроблених припущень) необхiдно: 1) по заданiй таблицi скласти нову таблицю, прологарифмувавши значення та у вихiднiй таблицi; 2) за даними нової таблицi методом найменших квадратiв знайти параметри i апроксимуючої функцiї (2.48); 3) використовуючи формули (2.47), знайти значення параметрiв i пiдставити їх у вираз (2.45). Це i буде шукана емпiрична формула.

Описаний алгоритм можна застосувати також i в деяких iнших випадках, коли емпiрична формула не є полiномом, але шляхом вiдповiдної замiни змiнних зводиться до нього. Замiни змiнних, якi зводять степеневу, показникову, гiперболiчну, логарифмiчну залежностi до лiнiйної, наведенi у таблицi 2.6.

Таблиця 2.6

 

Приклад 2.6. Методом найменших квадратів побудувати функцію, апроксимуючу залежність, яка задана таблицею,

у виглядi елементарної функцiї .

Розв'язування. Згiдно з таблицею 2.6 зробимо замiну змiнних . Тодi шукана залежнiсть набуває вигляду

Параметри i знаходяться так само, як i в прикладi 2.5, але за основу береться нова таблиця значень змiнних i .

 

Система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно невiдомих (нормальна система) у цьому випадку має вигляд

 

Розв'язавши її, отримуємо .

Звiдси .

Шукана емпiрична формула має вигляд

Обчислимо середньоквадратичну похибку апроксимацiї даної залежностi функцiєю (2.49)

Для цього складемо нову таблицю

 

Таким чином, із останьої колонки таблиці отримуємо

Порівнюючи середньоквадратичні похибки i (з прикладу 2.6) можна зробити висновок, що ця функцiя краще наближує дану експериментальну залежнiсть, нiж лiнiйна функцiя (2.36).