Интервальная характеристика
При повторных измерениях одного и того же размера могут быть получены различные значения. Это объясняется действием случайных погрешностей. Это действие оценивается вероятностным разбросом результатов многократных измерений в виде доверительного интервала.
Доверительный интервал представляет собой интервал значений, в пределы которого входит измеренный размер с доверительной вероятностью. Доверительный интервал определяется по формуле:
,(3.23)
где n - число измерений;
- среднее арифметическое значение результата измерений;
S - СКО результата измерений:
(3.24)
tp – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р.
Значение доверительной вероятности задается до начала измерений и обычно равно 0,95. Другие её значения специально оговариваются.
Вопросы для самопроверки
1. Почему результаты измерений рассматриваются как случайные величины?
2. Какая величина является случайной?
3. Что такое массовое событие?
4. Что называется дискретной случайной величиной?
5. Какие случайные величины называются аналоговыми?
6. Какими вероятностными характеристиками можно описать случайную величину?
7. Как определить абсолютную частоту?
8. Что характеризует относительная частота?
9. Как определить функцию распределения вероятностей для случайной величины: а) дискретной; б) аналоговой?
10. Изобразите графически распределения вероятностей, плотности вероятности, функцию накопленных относительных частот и функцию распределения вероятностей.
11. Что определяет функция распределения вероятностей?
12. Как определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал на основании известной6 а) функции распределения вероятностей; б) плотности распределения вероятностей?
13. Почему для описания случайной величины чаще используются числовые характеристики?
14. Как определяются: а) начальные моменты; б) центральные моменты?
15. Как называется, как определяется и что характеризует первый начальный момент?
16. Какие центральные моменты используются для характеристик случайных величин?
17. Какими характеристиками определяется разброс случайных величин?
18. Определите степень размерности, которую могут иметь: а) дисперсия; б) СКО.
19. Приведите формулы для расчета дисперсии: а) если для каждого результата измерений задана абсолютная частота; б) если значения результатов измерений не повторяются; в) с использованием математического ожидания; в) с использованием вероятностей получения каждого результата.
20. Что характеризует и как определяется асимметрия?
21. Что такое эксцесс, и через какой момент определяется его значение?
22. Что определяют для случайной величины: а) статистическая мода; б) статистическая медиана?
23. Что называется доверительным интервалом?
24. Почему результат многократных измерений представляют в форме доверительного интервала?
25. Что такое доверительная вероятность?
Примеры решения задач
Задача 3.3.1.Произведены измерения выходного напряжения в выборке из партии микросхем. Результаты измерений представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1 - Результаты измерений напряжения
| Интервалы значе-ний напряжения U, мВ | 210-212 | 212-214 | 214-216 | 216-218 | 218-220 | 220-222 | 222-224 |
| Число значений mί |
Определите характеристики результата измерений выходного напряжения:
а) вероятностные - в виде гистограммы и функции накопленных частот;
б) числовые - в виде среднего арифметического значения и СКО;
в) интервальную - в виде доверительного интервала.
Решение.
а) Число значений в каждом интервале mί является абсолютной частотой. Рассчитываем относительные частоты для каждого интервала:
Pί= 
, (3.25)
где n - общее число результатов измерений:
, (3.26)
где r - число интервалов, r = 7.
n = 5+12+28+75+52+20+8=200 
Р1 = 
; Р2 = 
; Р3 = 
; Р4 = 
;
Р5 = 
; Р6 = 
; Р7 = 
.
Определяем ширину интервала:
(3.27)
где Umax и U min - наибольшее и наименьшее значения напряжения.
(мВ)
Рассчитываем аналог плотности вероятности:
(3.28)
; 
; 
;
; 
; 
.
Строим гистограмму, отложив по оси ординат величины Рί, как показано на рисунке 3.6, а.
Рассчитываем накопленные относительные частоты Fί для каждого интервала:
(3.29)
F1=P1=0,025;
F2=P1+P2=0,025+0,06=0,085;
F3=P1+P2+P3=0,025+0,06+0,14=0,225;
F4=P1+P2+P3+P4=0,025+0,06+0,14+0,375=0,6;
F5=P1+P2+P3+P4+P5=0,025+0,06+0,14+0,375+0,26=0,86;
F6=P1+P2+P3+P4+P5+P6=0,025+0,06+0,14+0,375+0,26+0,1=0,96;
F7=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=0,025+0,06+0,14+0,375+0,26+0,14+0,04=1;
б) Для расчета числовых характеристик определим середину каждого интервала:
(3.30)
где хHi ,xBi – нижняя и верхняя границы i-го интервала.
х1 = 211мВ; х 2= 213мВ; х3 = 215мВ; х 4= 217мВ; х5 = 219мВ; х 6= 221мВ; х7 = 223мВ.
Рисунок 3.6 - Гистограмма (а) и функция накопленных относительных частот (б)
Среднее арифметическое значение определяем по формуле (3.11):
(211∙5+213∙12+215∙28+217∙75+219∙52+221∙20+223∙8)=217,49 (мВ)
СКО рассчитываем по формуле (3.16). Для небольшого числа данных СКО генеральной совокупности σ(х) заменяем на выборочное СКО S.
=2,508257719 (мВ)
 |
в) Рассчитываем доверительный интервал по формуле (3.23). Так как значение доверительной вероятности не задано, то принимаем Р=0,95 по приложению А определяем значение коэффициента Стьюдента tp=1,96.
Доверительный интервал:
217,49-1,96 
Задача 3.3.2. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания Рn при каждом выстреле равна 0,6. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Вычислить для числа израсходованных снарядов: математическое ожидание, дисперсию и СКО.
Решение.
Число израсходованных снарядов х может принимать значения: х1=1, х2=2, х3=3, х4=4.Определим вероятности этих значений.
Вероятность попадания 0,6, тогда вероятность промаха Рн =1-0,6=0,4. Если на стрельбу потребовался только 1 снаряд, то значит попали в цель с 1-го раза, т.е. Р1=0,6. При необходимости в двух снарядах – первым не попали, а поразили цель вторым. Т.е. для х2=2:
Р2=Рn∙Рн (3.31)
Р2=0,6∙0,4=0,24
Для х3=3:
Р3=Рн∙Рн∙Рn=Рн2∙Рn (3.32)
Р3=0,4∙0,4∙0,6=0,096;
Для х4=4 вероятность определяется двумя ситуациями: либо не попали всеми четырьмя снарядами, либо попали последним снарядом:
Р4=Рн4+Рн 3Рn; (3.33)
Р4=0,44+0,43∙0,6=0,43 (0,4+0,6)=0,43=0,064.
Математическое ожидание:
(3.33)
М(х)=1∙0,6+2∙0,24+3∙0,096+4∙0,064=1,624≈1,6 (снаряда)
Дисперсия:
(3.34)
D(x)=(1-1,6) 2∙0,6+(2-1,6)2∙0,24+(3-1,6) 2∙0,096+(4-1,6) 2∙0,064=0,8112 (снаряда2);
СКО: σ(х)= 
(3.35)
σ(х)= 
(снаряда)
Задача 3.3.3. Средний процент выпуска брака на предприятии 1,2%.СКО брака σ(х)=0,15%. Определите вероятность того, что в отдельные дни процент брака будет находиться в пределах от 0,8% до 1,4%. Предполагается, что величина подчиняется нормальному закону распределения.
Решение.
Соответствие нормальному закону распределения позволяет для определения вероятности измеряемой величины воспользоваться функцией Лапласа (приложение Б).
Определим для каждой границы интервала значение квантили:
; 
(3.36)
где хн - нижняя граница интервала;
хв - верхняя граница интервала.
; 
По приложению Б определяем значения функции Лапласа для найденных значений квантилей:
Ф(tН)=Ф(2,67)=0,4962; Ф(tВ)=Ф(1,33)=0,4082.
Рассчитываем вероятность попадания величины в интервал [tн ; tв] :
Р=Ф(tН)+Ф(tВ) ( 3,37)
Р=0,4962+0,4082=0,9044
Задача 3.3.4. Определите минимальный объем выборки n, чтобы с надежностью 0,96 точность оценки математического ожидания измеренного параметра партии с помощью выборочного среднего равна 1,2 мм, если СКО σ равно 0,8 мм.
Решение.
Исходя из формулы (3.23) отклонение от математического ожидания оценивается доверительной погрешностью:
ε= 
(3.38)
Тогда 
(3.39)
σ=0,8 мм; ε=1,2 мм.
Коэффициент Стьюдента можно определить по приложению Б:
Ф(tp)= 
(3.40)
Ф(tp)= 
; tp=2,055.
Объем выборки: n= 
(шт.)
Задачи
Задача 3.4.1.Произведены прямые измерения диаметра валов в выборке. Результаты измерений представлены в виде отклонений от номинального значения. Экспериментальные данные распределены по интервалам и представлены в таблице 3.2.
Таблица 3.2 - Результаты измерений
| Интервалы откло-нений от номиналь-ного значения, мкм | -50;-40 | -40; -30 | -30;-20 | -20;-10 | -10;0 | 0;10 | 10;20 | 20;30 | 30;40 | 40;50 |
| Число эксперимен-тальных данных mί |
Постройте гистограмму эмпирического распределения и функцию накопленных относительных частот; определите доверительный интервал для измеренного диаметра в выборке для доверительной вероятности Р=0,98.
Задача 3.4.2.Измерена выборка объемом n=100 из большой партии пакетов фруктового сока. Средний вес пакета оказался равным 1050г. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для среднего веса пакета сока во всей партии, если СКО веса составляет 20г.
Задача 3.4.3.Результаты многократных измерений напряжения в электрической сети:
Uί, B . . . 218 219 220 221 222
mί . . . 5 12 24 15 7
Оцените с надежностью 0,96 математическое ожидание М(х) напряжения, распределенного по нормальному закону, при помощи доверительного интервала.
Задача 3.4.4.Произведено 10 прямых измерений электрической мощности ваттметром. Результаты измерений, кВт: 2,5; 2,2; 2,3;2,0; 2,4; 2,3; 2,4; 2,1; 2,2; 2,4, подчинены нормальному закону. Найдите оценку для математического ожидания М(х) и постройте доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности Р=0,95.
Задача 3.4.5. Ряд распределения входной величины Х измерительного преобразователя имеет вид:
Хί . . . 1 2 3 4 5
Рί . . . 0,1 0,15 0,5 0,2 0,05
Вычислите математическое ожидание и дисперсию отклика У измерительного преобразователя, имеющего функцию преобразования вида У=1,8+3х.
Задача 3.4.6.В течение суток регистрирующее устройство контроля каждый час фиксирует температуру в климатической камере. После первичной обработки данных получено распределение температуры по интервалам:
| Интервалы, 0С | 170-174 | 174-178 | 178-182 | 182-186 | 186-200 |
| Число результатов измерений mί |
Определить вероятностные, числовые и интервальную характеристики температуры в камере.
Задача 3.4.7.Измерения потери веса образцов хлебобулочных изделий при определении влажности дали следующие результаты:12,5; 13,1; 14; 11,7; 15,2; 14,3;12,8; 12,2; 14,5; 13,6 г. Определите среднюю потерю веса и вероятность того, что результат измерений будет находиться в пределах от 12,4 до 14,4 г.
Задача 3.4.8.При поверке омметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений не превышают ±0,5 Ом. Полагая распределение погрешностей нормальным, определите вероятность того, что погрешность результата превысит 1 Ом.
Задача 3.4.9.В результате поверки вольтметра установлено, что 70% всех погрешностей показаний прибора не превышает 1В. Полагая распределение погрешностей нормальным, определите среднюю квадратическую погрешность.
Задача 3.4.10.Многократные измерения частоты частотомером показали, что 60% всех результатов находятся в пределах от 10 до 14 кГц. Оцените точность частотомера и определите предельную погрешность результата из 16 измерений.
Задача 3.4.11.Определите вероятность того, что погрешность среднего результата из 25 измерений при среднеквадратической погрешности 4% не превысит ±1%.
Задача 3.4.12.Каким должен быть минимальный объем выборки n, чтобы с надежностью 0,96 точность оценки математического ожидания М(х) измеряемого размера в партии изделий с помощью выборочного среднего равна 0,8 мм, если СКО σ(х)=1мм ?
Задача 3.4.13.Сколько раз надо повторить измерения, чтобы была вероятна погрешность, в 2 раза превышающая среднеквадратическую погрешность?
Задача 3.4.14.Сколько повторных измерений надо провести, чтобы была вероятна погрешность, превышающая предельную погрешность1,5 σ?
Задача 3.4.15.Сколько раз необходимо повторить измерения напряжения, чтобы хотя бы один раз в ряду результатов появилась погрешность, превышающая ±10В с вероятностью не менее 0,98 , если применяемый метод измерений напряжения обеспечивает СКО результата 5В.
Задача 3.4.16.Метод измерений емкости с помощью электроизмерительного моста обеспечивает СКО результов в пределах 0,2 мкФ. Определите:
а) пригоден ли этот метод для однократного измерения емкости 20 мкФ с допускаемой погрешностью ± 2% при доверительной вероятности 95%.
б) сколько измерений необходимо провести данным методом, чтобы погрешность среднего результата не превысила ± 0,1 мкФ с доверительной вероятностью 96%.
Задача 3.4.17. Проведены 9 многократных измерений силы тока амперметром, имеющим погрешность σ1=20мА. В результате измеренная сила тока оценена с доверительной погрешностью ε=15 мА. Сколько необходимо провести измерений, чтобы такая же погрешность с такой же вероятностью была получена при использовании другого амперметра с σ2 = 40 мА?
Задача 3.4.18. Для результатов измерений толщины диэлектрика постройте гистограмму и определите с вероятностью 0,98 доверительный интервал. Толщина диэлектрика, мм:
| 10,326 10,002 10,010 9,992 9,999 10,004 9,894 10,014 10,030 9,996 | 10,052 10,046 10,018 9,872 9,966 9,958 10,028 10,144 10,025 10,000 | 9,899 9,464 9,936 9,808 10,080 10,030 9,780 9,970 10,100 10,005 | 9,760 9,940 10,006 10,012 9,958 9,990 9,690 10,032 10,014 10,016 | 9,856 9,994 10,046 10,006 10,029 10,018 10,008 9,899 9,950 9,946 |
Задача 3.4.19. Постройте для данных задачи 3.3.18 эмпирическую функцию распределения вероятностей и определите вероятность появления значений толщины диэлектрика, превышающих 10,050 мм.
Задача 3.4.20. Рассчитайте для данных задачи 3.3.18 среднее арифметическое значение, СКО, асимметрию, эксцесс. Определите, в каком интервале находится мода и какому значению равна медиана результатов измерений.
Задача 3.4.21. Из партии изделий контролёр отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что случайно взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,7. Определите вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
Задача 3.4.22. Измерительное устройство состоит из трёх блоков, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за время Т для каждого блока соответственно равны: 0,6; 0,75; 0,89. Найдите вероятности того, что за время Т безотказно будут работать: а) только одни элементы; б) только два элемента; в) все три элемента; г) ни один элемент.
Задача 3.4.23.Вероятности того, что необходимая для селективной сборки деталь находится в первом, втором, третьем, четвёртом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найдите вероятности того, что деталь находится: а) не более, чем в трёх ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.
Задача 3.4.24. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле 0,7. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,5, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
Задача 3.4.25. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов каждого элемента соответственно равны 0,15; 0,25; 0,3.Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.
Задача 3.4.26. Техническое устройство содержит два независимо работающих элемента, вероятности отказа которых соответственно равны 0,065 и 0,078. Найдите вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Задача 3.4.27. Три исследователя, независимо один от другого, измеряют некоторую физическую величину. Вероятности их ошибок при снятии показаний приборов соответственно равны 0,15; 0,20; 0,25. Найдите вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из них допустит ошибку.
Задача 3.4.28. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,4. Стрелки стреляют по очереди, причём каждый должен сделать по два выстрела. Определите вероятность того, что стрелок попадёт в мишень.
Задача 3.4.29.Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырёх выстрелах равна 0,7599. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.
Задача3.4.30. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра от номинального размера по абсолютной величине менее 0,7 мм. Определите, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных, если случайная величина распределена нормально с СКО 
= 0,4мм.
Задача 3.4.31. Результат измерений напряжения, среднее арифметическое значение которого 6,32 В, попадает в интервал от 5,014 до 6,626 В с вероятностью, равной 0,39. Чему равна вероятность попадания результата измерений в интервал от 4,922 до 7,718 В?
Задача 3.4.32. Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 с. Какова вероятность отсчета времени с ошибкой более 0,05 с по этому секундомеру, если отсчет выполняется с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону?
Задача 3.4.33. Азимутальный лимб имеет цену деления 1°. Какова вероятность сделать ошибку в пределах ± 10¢ при измерении азимутального угла, если результат отсчета округляется до ближайшего целого числа градусов?
Задача 3.4.34. По результатам измерений 100 резисторов, случайно отобранных из большой партии однотипных изделий, получена оценка сопротивления 
=10 кОм. Найдите:
а) вероятность того, что для резисторов всей партии значения сопротивления находятся в пределах (10±0,1) кОм при ско =1 кОм.
б) количество измерений, при которых с вероятностью 0,95 можно утверждать, что для всей партии резисторов значения сопротивления находятся в пределах (10±0,1) кОм.
Задача 3.4.35. При сборке измерительного устройства для наиболее точной регулировки основного узла может потребоваться (в зависимости от удачи) 1, 2, 3, 4, 5 проб деталей с вероятностями, соответственно равными 0,07; 0,21; 0,55; 0,16; 0,01. Сколько деталей необходимо сборщику для сборки 30 приборов?
Задача 3.4.36. При производстве стальных цилиндрических стержней проверка соответственно наружного диаметра показала, что 5% изделий имеют больший диаметр, чем это допустимо, 91% изделий находится в установленных границах и 4% имеют диаметр меньше допустимого. Какова вероятность обнаружить в выборке из 10 независимо отобранных образцов.
а) ровно один образец с большим диаметром и один с меньшим диаметром, чем это допустимо;
б) все годные образцы;
в) по крайней мере, один образец с диаметром вне установленных границ?
Задача 3.4.37. Из партии, включающей 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны случайным образом для проверки их качества 3 изделия. Найдите математическое ожидание и СКО нестандартных изделий, содержащихся в выборке.
Задача 3.4.38. Размер шарика для подшипников Х. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0.1 мм. Известно, что средний размер диаметра шарика 
а брак составляет 10% всего выпуска. Определите СКО s(х) диаметра шарика.
Задача 3.4.39. Возможные значения дискретной случайной величины Х:
х1 = -1; х2 = 0; х3 = 1; математические ожидания этой величины и её квадрата: М(Х)= 0,1; М(Х2)= 0,9. Найдите вероятности, соответствующие значениям х1, х2, х3.
Задача 3.4.40. Найдите вероятности возможных значений дискретной случайной величины х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, если известны математические ожидания этой величины и её квадрата: М (Х) = 2,3; М (Х2) =5,9.
Задача 3.4.41.Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения. Сколько надо провести измерений для определения оценки СКО прибора, чтобы с доверительной вероятностью 70% абсолютная величина ошибки определения этой величина была не более 20% от 
?
Задача 3.4.42. В цехе завода выпускаются валы электродвигателей. Из продукции одного станка произвольно выбирают 50 изделий, измеряют их диаметры и вычисляют значение выборочного среднего 
По техническим условиям станок настраивается на номинальный размер 43 мм. Можно ли на основании полученных результатов сделать вывод о том, что станок обеспечивает заданный номинальный размер, или полученные данные свидетельствуют о неудовлетворительной наладке технологического оборудования. Контролируемый признак имеет ормальное распределение с дисперсией s2=0,01 мм2.