Анализ устойчивости двойственных оценок
В оптимальном решении двойственной задачи значения 
равны частным производным линейной функции 
по соответствующим аргументам, т.е.
.
Теорема о двойственных оценках позволяет определить приращение целевой функции при малых изменениях свободных членов 
системы ограничений: 
, где 
оптимальное решение двойственной задачи.
Из последнего соотношения следует, что двойственные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменяется прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу. Таким образом, теория двойственности позволяет провести экономический анализ пары двойственных задач, в частности, определить дефицитность ресурсов, сырья, продукции. Большей условной оценке соответствует наиболее дефицитный ресурс. Для 
того недефицитного ресурса двойственная оценка 
.
С помощью двойственной оценки можно определить степень влияния ограничений на значение целевой функции.
Таким образом, если получено оптимальное решение задачи линейного программирования, то можно провести анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений 
, т.е. проанализировать устойчивость оптимального плана относительно изменений свободных членов системы линейных уравнений, оценить степень влияния изменения на значение целевой функции и определить наиболее целесообразный вариант изменений .
Следовательно, интерес представляет определение интервалов устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к возможным изменениям запасов ресурсов каждого вида 
. При этом условие устойчивости двойственных оценок задачи исходит из выражения
,
в котором компоненты вектора 
должны быть неотрицательны, т.е. 
. На этом основании для задачи, решение которой приведено на стр. 23 – 25, можнозаписать такое выражение:
Откуда получаем условие устойчивости: 
Затем последовательно находим интервалы устойчивости:
.
Составим варианты плана с учетом изменений исходных данных модели.
1. Пусть предприятие дополнительно приобрело 10 единиц первого вида ресурса, учитывая дефицитность этого вида ресурса, можно утверждать, что прибыль предприятия увеличится на величину 
ден. ед.
| Б | 
| 
| Произведение
 на 
| Расчет варианта плана |
| 
| 
| 11,6 | ||
| 
| 
| |||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 618,4 |
В результате объем продукции третьего вида увеличился, а первого вида – уменьшился, остаток третьего вида ресурса возрос, прибыль увеличилась.
2. Пусть теперь второй вид ресурса на предприятии уменьшился на 50 единиц.
|
| Б |
| 
| Произведение
на 
| Расчет варианта Плана |
|
| 
| ||||
|
| 
| 
| |||
|
| 
| ||||
|
| 
| 
|
Поскольку второй вид ресурса дефицитный и 
, то прибыль предприятия должна уменьшится на величину 
ден. ед. Что и произошло. В результате уменьшения дефицитного ресурса сократилось производство продукции первого вида и увеличилось – третьего вида, остаток третьего вида ресурса возрос, прибыль предприятия сократилась.
Таким образом, аналог устойчивости двойственных оценок позволяет построить множество вариантов оптимальных решений с учетом изменений исходных условий модели. Если эти изменения выходят за рамки предельных значений, то нарушается полученная система двойственных оценок и возникает необходимость повторного решения задачи в новых условиях. В этом случае представляет интерес использование задач параметрического программирования.