Динамика поступательного движения
· Согласно второму закону Ньютона:
, или 
,
где m - масса тела; а – ускорение, приобретенное им под действием силы F; v1 и v2 – начальная и конечная скорости.
· Закон сохранения импульса (количество движения):
или для двух тел (i=2)
,
где 
и 
– векторы скоростей тел до взаимодействия; 
и 
– векторы скоростей тех же тел после взаимодействия.
· Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила тяжести: 
;
б) сила трения скольжения: 
,
где k – коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.
в) сила упругости: 
,
где k – коэффициент упругости (жесткость пружины), х – абсолютная деформация;
г) сила гравитационного взаимодействия: 
,
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы тел; r – расстояние между телами.
· Работа постоянной силы F на пути S:
,
где a – угол между направлением силы и пути.
· Мощность постоянной силы:
,
где v – скорость движения.
· Кинетическая энергия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью 
,
.
· Потенциальная энергия упруго деформируемого тела:
,
где Dх – величина деформации; k – коэффициент упругости.
· Потенциальная энергия тяготения двух шарообразных тел (или материальных точек) с массами m1 и m2:
где R – расстояние между телами; G – гравитационная постоянная.
· Потенциальная энергия тела массой m, приподнятого на небольшую высоту h над землей:
.
Динамика вращательного движения
· Момент силы F относительно некоторой оси вращения:
,
где R – расстояние между линией действия силы и осью вращения; J – момент инерции; e – угловое ускорение.
· Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:
а) диска (цилиндра): 
,
где R - радиус диска (цилиндра);
б) материальной точки: 
;
в) тонкого стержня длиной l: 
;
г) шара с радиусом R: 
.
· Закон сохранения момента импульса:
или для двух тел (i=2),
,
где 
и 
– моменты инерции тел и угловые скорости в начальный момент времени; 
и 
– в момент времени, принятый за конечный.
· Кинетическая энергия вращающегося тела:
.
Примеры решения задач
Задача №1
Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид 
. Определите силу, действующую на тело с массой m=1 кг в конце второй секунды.
Решение
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна:
.
Мгновенное значение ускорения а определяется первой
производной от скорости по времени или второй производной от пути по
времени:
При t=2 с 
. Тогда 
Задача №2
Тело массой 2 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени выражается уравнением S=2t2+3t+1. Определите работу силы за 10 с сначала ее действия.
Решение
Работа, совершаемая силой, выражается через интеграл:
. (1)
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона:
. (2)
Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени. В соответствии с этим получим:
(3)
, (4)
. (5)
Тогда из формулы (3) имеем
(6)
Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим:
Работа, совершаемая силой за 10 с сначала движения, составит:
.
Задача №3
Диск радиусом R=10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением 
Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения:
1) тангенциальное ускорение 
;
2) нормальное ускорение 
;
3) полное ускорение 
.
Решение
Найдем угловую скорость, взяв производную по времени от заданного уравнения:
, при 
.
Угловое ускорение: 
, при 
.
Тангенциальное ускорение:
.
Нормальное ускорение: 
.
Полное ускорение: 
.
Задача №4
Шар радиусом R=10 см и массой m=15 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению 
С = –0,2 рад/с3). Определите момент силы М для t=3 c.
Решение
Момент силы согласно уравнению динамики вращательного движения:
, (1)
где J – момент инерции шара,
. (2)
Угловое ускорение определяется первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:
,
(3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
Задача №5
По горизонтальной поверхности катится диск со скоростью 
. Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленный самому себе, остановится, пройдя путь 
.
Решение
Кинетическая энергия диска:
__________ 
, (1)
где 
момент инерции диска, 
угловая скорость, 
. (2)
Эта энергия пойдет на работу по преодоления сил сопротивления 
(3)
Приравнивая (2) и (3), получим:
Задача №6
Радиус Луны 
, а ее средняя плотность 
. Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты.
Решение
На всякое тело, расположенное вблизи
поверхности планеты действует сила тяжести:
(1)
__________________ Ее можно приравнять к силе гравитационного
тяготения : 
. (2)
Откуда 
, (3)
где 
масса Луны, 
(4)
Подставив (4) в (3), получим: 
, (5)
.
Задача №7
Логарифмический декремент затухания камертона, колеблющегося с частотой 
, равен 
. Через какой промежуток времени амплитуда колебаний возбужденного камертона уменьшится в 
раз? Как изменится при этом энергия колебаний?
Решение
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем
по закону: 
, (1)
где 
коэффициент затухания,
_________ 
период колебаний, 
,
- логарифмический декремент затухания.
1) 
С учетом этого формулу (1) можно записать так:
2) 
. (2)
Откуда 
. (3)
Энергия колебаний пропорциональна квадрату, произведения амплитуды и частоте колебаний: 
. (4)
В данной задаче 
поэтому 
. (5)
Проведем вычисления: 
.
ЗАДАНИЕ 2. Молекулярная физика и термодинамика
Основные формулы
· Количество вещества однородного газа (в молях):
, или 
,
где N – число молекул газа; NA – число Авогадро; m – масса газа; М– молярная масса газа.
· Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния газа):
,
где p – давление газа; V – его объем; T – температура; R – молярная газовая постоянная.
· Масса молекулы mi:
· Концентрация молекул (число молекул в единице объема) n0:
,
где N – число молекул, содержащихся в данном объеме; r – плотность вещества.
· Средняя кинетическая энергия движения молекулы:
,
где i - число степеней свободы; k - постоянная Больцмана.
· Основное уравнение кинетической теории газов:
, 
,
где n0 – концентрация молекул; <wп> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
· Зависимость давления газа от концентрации молекул n0 и температуры Т:
.
· Средняя квадратичная скорость молекулы:
.
· Средняя арифметическая скорость молекулы:
.
· Наиболее вероятная скорость молекулы:
,
где m1 – масса одной молекулы.
· Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (сv) и при постоянном давлении (ср):
; 
.
· Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями:
.
· Уравнение Роберта Майера:
.
· Среднее число соударений молекул:
,
где d – эффективный диаметр молекулы.
· Средняя длина свободного пробега молекулы:
.
· Масса, переносимая при диффузии сквозь площадку DS за промежуток времени Dt (закон Фика):
,
где D – коэффициент диффузии; Dr /Dх – градиент плотности.
· Энергия, переносимая вследствие теплопроводности через площадку DS за промежуток времени Dt (закон Фурье):
,
где l – коэффициент теплопроводности; 
– градиент температуры.
· Сила внутреннего трения F, действующая между слоями жидкости, пропорциональна площадке соприкасающихся двух слоев жидкости DS, градиенту скорости 
и коэффициенту внутреннего трения h (закон Ньютона):
.
· Внутренняя энергия газа:
.
· Первое начало термодинамики:
,
где Q – теплота, сообщенная системе (газу); DU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершаемая системой против внешних сил.
· Работа расширения газа:
а) при изобарном процессе: 
= 
;
б) при изотермическом процессе:
= 
в) при адиабатном процессе:
.
· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:
, 
и 
· Термический КПД идеальной тепловой машины:
, или 
,
где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Q2 – теплота, переданная рабочим телом охладителю; Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и охладителя.
· Коэффициент поверхностного натяжения:
,
где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости.
· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:
,
где Q - краевой угол; r - плотность жидкости; R – радиус трубки.
· Изменение энтропии системы при переходе из состояния А в состояние В: 
,
где 
количество теплоты, переданное системой ; Т- температура, при которой происходила теплопередача.
Примеры решения задач
Задача №1
Определить среднюю кинетическую энергию молекулы кислорода, находящейся при температуре 17°С. Найти также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода.
Решение
Средняя кинетическая энергия (поступательного
и вращательного движения) одной молекулы:
(1)
где 
число степеней свободы, двухатомного
_____________________ газа 
( 
на поступательное движение и 
на вращательное движение) ; 
постоянная
Больцмана, 
.
.
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:
, (2)
где 
– число молекул: 
(3)
число Авогадро;
кинетическая энергия вращательного движения:
. (4)
Подставив (3) и (4) в (2), получим: 
.
.
Задача №2
Азот массой m нагревается в одном случае изобарно, а в другом изохорно на DТ. Во сколько раз потребуется больше теплоты в первом случае, чем во втором?
Решение
Теплота, потребляемая при изобарном процессе (P=const):
. (1) Теплота, потребляемая при изохорном процессе (V=const):
, (2)
где СP и CV – молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.
Поделив (1) на (2), получим:
. (3)
Так как
, (4)
, (5)
то подставив (4) и (5) в (3), получим:
.
Таким образом, для любой массы газа при одинаковой разности температур отношения теплот есть величина постоянная.
Задача №3
Определите диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при нормальных условиях равен 
.
Решение
Коэффициент внутреннего трения:
, (1)
где 
- средняя арифметическая скорость;
_________________ 
, (2)
средняя длина свободного пробега молекулы
кислорода:
, (3)
концентрация молекул: 
, (4)
плотность кислорода: 
. (5)
Подставив (2),(3),(4),(5) в уравнение (1), получим:
, откуда 
,
, 
.
Задача №4
1 кг водорода нагрели до температуры 100°С в условиях свободного расширения (P=const). Определите: 1) количество теплоты, сообщенное газу; 2) изменение его внутренней энергии; 3) работу расширения.
Решение
1) Количество теплоты Q, сообщенное водороду при P=const, определим по формуле:
, (1)
где ср – удельная теплоемкость газа при P=const.
, (2)
где i – число степеней свободы, для двухатомного газа i=5. Подставив (2) в (1), получим: 
.
.
2) Внутренняя энергия газа выражается формулой:
,
а изменение внутренней энергии:
, (3)
.
3) Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики:
. (4)
Откуда 
,
.
Задача№5
Азот, находящийся при температуре 27°С и давлении в 1,5 атм, был адиабатически сжат до объема в 5 раз меньше начального объема. Определите давление и температуру азота после его сжатия.
Решение
Давление после сжатия определим по формуле
Пуассона:
, откуда 
, (1)
где 
отношение теплоемкостей при постоянном
_________________ давлении и при постоянном объеме:
, (2)
где число степеней свободы,
для двухатомного газа.
Температуру 
- после сжатия определим из формулы:
, откуда 
.
Произведем вычисления: 
.
ЗАДАНИЕ 3. Электростатика и постоянный ток
Основные формулы
По закону Кулона сила взаимодействия F между точечными зарядами Q1 и Q2, находящимися на расстоянии r один от другого в среде с диэлектрической проницаемостью e,
,
где e0 = 8,85 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
· Напряженность электрического поля:
,
где F – сила, с которой поле действует на пробный заряд Q.
· Напряженность поля точечного заряда Q, или поля вне равномерного заряженного шара:
,
где r – расстояние от заряда Q или от центра шара до точки, в которой определяется напряженность.
· Напряженность поля прямолинейной равномерно заряженной бесконечно длинной нити:
,
где t – линейная плотность заряда нити; r – расстояние от нити до точки, в которой определяется напряженность поля.
· Напряженность поля, образованного равномерно заряженной бесконечной плоскостью:
,
где s – поверхностная плотность заряда плоскости.
· Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из одной точки плоя в другую:
,
где А – работа перемещения заряда Q.
· Потенциал поля точечного заряда:
,
где r – расстояние от заряда Q, создающего поле, до точки, в которой определяется потенциал.
· Для плоского конденсатора связь между напряженностью поля Е и разностью потенциалов U его пластин:
,
где d – расстояние между пластинами.
· Электроемкость уединенного проводника:
.
· Емкость плоского конденсатора:
,
где S - площадь пластины конденсатора.
· Емкость уединенного проводящего шара:
,
где r – радиус шара.
· Емкость С системы конденсаторов связана с емкостями Сi, входящих в нее конденсаторов, соотношениями:
а) при последовательном соединении:
, или 
;
б) при параллельном соединении:
, или 
· Энергию W уединенного заряженного проводника можно определить по следующим формулам:
где Q, j и С – соответственно заряд, потенциал и емкость проводника.
Для плоского конденсатора
где S – площадь пластины; U – разность потенциалов между пластинами; s – поверхностная плотность заряда пластины; Е – напряженность электрического поля конденсатора.
· Плотность энергии электрического поля:
· Сила постоянного тока I связана с количеством электричества Q, проходящим через поперечное сечение проводника за время t, следующим соотношением:
· Плотность тока:
где S – площадь поперечного сечения проводника.
· Сопротивление проводника длиной l и площадью поперечного сечения S:
где r – удельное сопротивление материала проводника.
· Закон Ома для участка цепи:
где U – разность потенциалов на концах участка; R – его сопротивление.
· Закон Ома для полной цепи:
где x – электродвижущая сила источника тока; R – внешнее сопротивление цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока.
· Удельное сопротивление r проводника связано с температурой t соотношением:
где r0 – удельное сопротивление при 0°С; a – температурный коэффициент сопротивления.
· Работа тока А на участке цепи (или количество теплоты, выделенное в нем при прохождении тока) определяется формулами:
где t – время прохождения тока.
· Мощность тока, выделяемая на участке цепи, определяется соотношением:
· Полная мощность, выделяемая в цепи:
· Для расчета разветвленных цепей применяются два правила Кирхгофа.
Первое правило для алгебраической суммы токов в узле:
Второе правило для алгебраической суммы произведений токов на сопротивление участков и алгебраической суммы электродвижущих сил в контуре:
· Масса m вещества, выделившегося на электроде, пропорциональна химическому эквиваленту А/n, силе тока, протекающего через электролит, и времени прохождения тока:
,
где F – число Фарадея,
М – молярная масса,
n - валентность.
Примеры решения задач
Задача №1
Два заряда Q1 = +8 нКл и Q2 = -6 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 10 см от каждого заряда.
Решение
Напряженность электрического поля в точке А равна геометрической сумме напряженностей 
и 
, создаваемых зарядами Q1 и Q2.
Модуль результирующей напряженности Е по теореме косинусов определяется как диагональ параллелограмма, построенного на векторах 
и 
:
(1)
Абсолютные значения напряженностей и cosa определяем по формулам:
, 
(2)
По теореме косинусов:
(3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
.
Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов j1 и j2 полей, создаваемых зарядами Q1 и Q2:
(4)
Потенциал поля точечного заряда
(5)
Подставив (5) в (4), получим:
(6)
Вычислим:
.
Задача №2
На помещенный между обкладками конденсатора заряд Q=2,5 нКл действует сила F=50 мкН. Площадь каждой пластины 100 см2, расстояние между пластинами d=3 см. определить: 1) емкость конденсатора; 2) напряженность между обкладками; 3) разность потенциалов между обкладками; 4) энергию конденсатора; 5) объемную плотность энергии.
Решение
1) Емкость конденсатора:
(1)
2) Напряженность между обкладками:
(2)
3) Разность потенциалов:
(3)
4) Энергия конденсатора:
(4)
.
5) Объемная плотность энергии:
. (5)
.
Задача №3
Сколько времени потребуется для нагревания воды массой 1,0 кг от начальной температуры 100 С до кипячения в электрическом чайнике с нагревателем мощностью 800 Вт, если его КПД равен 90%? Какова сила тока в электрической спирали, если напряжение в сети 220 В.
m=1,0 кг Решение
t1 = 100C 1) Количество теплоты, необходимой для нагревания
t2 = 1000C воды: Q = cm(t2-t1)=cmΔ t .(1)
N = 800 Bт Она связана с мощностью нагревателя:
с = 4,2*10 3 Дж/кг*К Q=ηN t (2)
η = 90 % = 0,9 Приравняв (1) и (2), получим:
____________________ 
,
1) t = ? 2) I = ? 
.
2) Сила тока: 
Задача№4
Внутреннее сопротивление аккумулятора 1 Ом. При силе тока 0,5 А его КПД равен 0,8. Определите ЭДС аккумулятора.
Решение
r=1Ом КПД источника тока: 
. (1)
J=0,5А Отсюда 
. (2)
Закон Ома для замкнутой цепи: 
(3)
___________ Подставив (2) в (1), получим:
Е - ? 
; 
Задача№5
Два одинаковых источника тока соединены в одном случае последовательно, в другом параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление 10 Oм. При каком внутреннем сопротивлении источника сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинаковой?
Решение
При последовательном соединении 
,
а внутреннее сопротивление 
.
По закону Ома: 
________ При параллельном соединении 
,
а внутреннее сопротивление 
По закону Ома: 
По условию или 
; 
, 
,
Отсюда 
.
ЗАДАНИЕ 4. Электромагнетизм и переменный ток
Основные формулы
· Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля:
где m0 – магнитная постоянная, m0 = 4p*10-7 Гн/м,
m – относительная магнитная проницаемость среды.
· Закон Био-Савара-Лапласа:
где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника длиной dl с током J; r – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой вычисляется магнитная индукция; a - угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника.
· Магнитная индукция в центре кругового тока:
где R – радиус кругового витка.
· Магнитная индукция поля прямого тока:
где r0 – расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.
· Магнитная индукция поля, создаваемая отрезком провода с током J:
где a1 и a2 – углы между направлением тока и радиус – вектора, проведенные из начала и конца проводника в рассматриваемую точку.
· Напряженность магнитного поля внутри соленоида:
где п – число витков на единицу длины соленоида, N – общее число витков,
L – длина соленоида.
· Поток магнитной индукции, связанной с контуром:
где S – площадь, ограниченная контуром, a – угол между нормалью к плоскости контура и направлением вектора магнитной индукции.
· На прямолинейный проводник длиной l c током J, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера:
где a – угол между направлениями тока и вектора индукции.
· На заряженную частицу, движущуюся со скоростью n в магнитном потоке, действует сила Лоренца:
где q - заряд частицы, a - угол между направлением поля и скоростью частицы.
· При перемещении проводника с током J в магнитном поле (перпендикулярно полю) совершается работа:
где DФ – магнитный поток через площадь, описываемую проводником при перемещении.
· Закон Фарадея для электродвижущей силы индукции:
где 
– скорость изменения магнитного потока через площадь, ограниченную кругом.
· Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции:
где L – индуктивность в контуре, 
– скорость изменения тока в контуре.
· Индуктивность соленоида:
где N – число витков, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида.
Индуктивность контура L связана с пронизывающим его магнитным потоком Ф следующим соотношением:
,
где I – ток в контуре, обуславливающий магнитный поток.
Энергия магнитного поля, создаваемого током I в контуре и индуктивностью L:
.
· Плотность энергии магнитного поля:
где Н – напряженность, В – индукция магнитного поля.
ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S, содержащей N витков, при вращении ее с угловой скоростью w в магнитном поле с индукцией В определяется соотношением:
где wt – угол поворота рамки к моменту времени t.
Период собственных колебаний в контуре, не содержащих омическое сопротивление (ф.Томсона):
Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные омическое сопротивление R0, индуктивность L и емкость:
.
Примеры решения задач.
Задача №1
Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной = 20 см, если по рамке течет ток 3А.
Решение
= 20 см=0,2 м Индукция магнитного поля в центре
I = 3A рамки равна векторной сумме ______________ индукций магнитного поля,
B -? создаваемых всеми её сторонами
.
Все эти факторы направлены в одну сторону перпендикулярно к плоскости рамки и вследствие симметрии B = 4Bj
, где 1 = 45º , 2 = 180º - 45º = 135º
Окончательно имеем: 
Задача №2
Катушка длиной l = 40 см и диаметром 5 см содержит 300 витков. По катушке течет ток I = 1A. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь её поперечного сечения.
Решение
l=40 cм=0,4м 1) Индуктивность соленоида:
d=5cм=5*10-2м L=μ0 μ 
(1)
N=300 витков Площадь поперечного сечения:
I=1A 
(2)
μ0=4π*10-7Гн/м С учетом (2) индуктивность:
_________________ 
(3)
1) L-? 2)Ф - ? 
2) Магнитный поток: 
, (4)
.
Задача №3
В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки 200 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна направлению магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.
Решение
B = 0,1 Тл
n = 600 об/мин=10 об/с
N = 1000 витков
S = 200 см2=2*10-2м2
_________________
E max - ?
ЭДС по закону Фарадея: 
Ф=NBS cos, = ωt = 2πnt
Окончательно имеем: 
. Emax – при sin 2πnt.
Emax=2πnNBS=6.28*10*1000*0.1*2*10-2=125B
Задача №4
По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Площадь поперечного сечения S = 10 см2 и число витков N = 1000. Определить внутри соленоида: 1)энергию магнитного поля; 2) магнитную индукцию.
Решение
1) Энергия магнитного поля: 
(1) 
2) Индукция магнитного поля соленоида: 
, (2)
где Н – напряженность магнитного поля.
Зная индуктивность, можно определить магнитную
проницаемость: 
,
откуда 
, (3)
где l – длина соленоида.
Напряженность магнитного поля: 
(4)
Подставив (4) и (3) в (2), получим: 
(5)
Вычислим В: 
ЗАДАНИЕ 5. Оптика. Физика атома и атомного ядра