Уравнения состояния и выхода соединений
МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1.2.1. Описание сигналов и систем
1. Описание сигналов. Входные, выходные и промежуточные детерминированные сигналы в многомерных системах представляются вектор-функциями времени, например:
, 
,
где 
— 
-мерный входной, a 
— 
-мерный выходной сигналы. В качестве компонент входного сигнала могут использоваться единичные ступенчатые функции (1.2) и дельта-функции (1.1).
2. Описание систем. Многомерныелинейные нестационарные системы в отличие от одномерных имеют входов и выходов (рис. 1.16). Они описываются уравнениями состояния вида
(1.35)
С начальными условиями
(1.36)
И уравнениями выхода
, (1.37)
где 
— 
-мерный вектор состояния; 
— -мерный вектор входных воздействий (управлений); 
— -мерный вектор выхода (вектор измерений); 
— начальное ан-тояние; 
— время; 
— начальный момент времени (момент подачи входного воздействия); 
, 
, 
— матрицы размера 
, 
, 
соответственно.
Рис. 1.16
Многомерную систему можно рассматривать как совокупность 
одномерных систем, каждая из которых связывает один из входов с одним из 
выходов. Если 
и 
, система является одномерной. Если матрицы , , не зависят от времени , система называется многомерной стационарной.
Пример 1.15. Записать уравнения состояния и выхода многомерной системы:
в матричной форме.
□ Определяем размерности сигналов: 
, , и записываем соответствующие уравнения:
, 
.
Пример 1.16. Записать уравнения состояния и выхода многомерной системы
в матричной форме.
□ Определяем размерности сигналов: 
, 
, 
и записываем соответствующие уравнения:
, 
.
Пример 1.17. Записать уравнения состояния и выхода многомерной системы:
в матричной форме.
□ Обозначим 
, 
, 
, 
. Тогда уравнения можно переписать в виде
или в матричной форме ( 
, , ):
, 
.
Уравнения состояния и выхода соединений
Как следует из разд. 1.2.1, многомерная система, описываемая уравнениями состояния и выхода, полностью характеризуется набором трех матриц: , 
, 
. Здесь и далее аргумент для сокращения записи опущен. Две многомерные системы могут образовывать три типа соединений: параллельное, последовательное и с обратной связью, изображенные на рис. 1.17,а — в.
Предполагается, что обе системы, образующие соединения, описываются в пространстве состояний соотношениями:
, 
, (1.38)
, 
, (1.39)
где 
, 
, 
— векторы состояния, входного сигнала и выхода первой системы размерности 
, 
, 
соответственно; 
, 
, 
— векторы состояния, входного сигнала и выхода второй системы, размерности которых 
, 
, 
соответственно.
Рис. 1.17
Требуется заменить соединение эквивалентной системой, описываемой уравнениями (1.35), (1.37) и изображенной на рис. 1.17, г, в которой , , —размерности векторов состояния , входного сигнала и выхода .
1. Параллельное соединение (рис. 1.17, а). Условия соединения:
, 
, 
, 
.
Перепишем соотношения (1.38), (1.39) с учетом того, что :
, 
(1.40)
Полагая 
, 
и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем матрицы
, 
, 
эквивалентной системы размера 
, 
, 
соответственно.
Пример 1.18. Системы, образующие параллельное соединение, описываются уравнениями:
первая система:
, 
,
где 
, 
, 
;
вторая система:
, 
,
где 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Требуется записать уравнение эквивалентной системы.
□ Условия соединения 
, 
выполняются. Согласно (1.40) эквивалентная система имеет вид
, 
,
где 
, 
, 
.
2. Последовательное соединение (рис. 1.17,б). Условие соединения 
, 
. В первом соотношении (1.39) учтем, что 
, а из сравнения рис. 1.17,б и 1.17,г, получаем: 
, 
, 
, 
. Эквивалентная система имеет вид
, 
(1.41)
Полагая матрицы , и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем
, 
, 
эквивалентной системы размера , , 
соответственно.
Пример 1.19. Системы, образующие последовательное соединение, описываются уравнениями: первая система:
, 
,
где , 
, 
, 
, 
, 
;
вторая система:
, 
,
где 
, , .
Требуется записать уравнения эквивалентной системы.
□ Условие соединения 
выполняется. Согласно (1.41) эквивалентная система имеет вид
, 
,
где , 
, 
, 
.
3. Соединение с обратной связью (рис. 1.17, в). Условия соединения: 
, , 
, . В первом соотношении (1.38) положим 
, а в первом уравнении (1.39) 
. Сравнивая рис. 1.17, в и 1.17, г, получаем 
. Эквивалентная система имеет вид
, 
. (1.42)
Полагая 
, и сравнивая с (1.35), (1.37), получаем матрицы
, 
, 
эквивалентной системы размера , , соответственно. Знак «плюс» — для положительной, а знак «минус» — для отрицательной обратной связи.
Пример 1.20. Системы, образующие соединение с отрицательной обратной связью, описываются уравнениями первая система
, 
,
где 
, 
, ;
вторая система:
, 
,
где , , .
Требуется записать уравнения жвивалентной системы.
□ Условия соединения , 
выполняются. Согласно (1.42) эквивалентная система имеет вид
, 
,
где 
, 
, 
.