Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы 
и 
:
Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.
Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: 
.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: 
. Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой вектор 
плоскости единственным образом выражается в виде:
, где 
– числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .
Ужин подан:
! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!
Начнем с первой буквы 
алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: 
и 
;
2) сложение векторов по правилу треугольника: 
.
А теперь мысленно отложите вектор 
от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение 
будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы 
не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.
Векторы 
, 
иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором 
, вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору 
. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
А базисные векторы, к слову, так: 
(по сути, они выражаются сами через себя).
И, наконец: 
, 
. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: 
, 
. Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.
Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением векторав системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:
Или со знаком равенства: 
Сами базисные векторы записываются так: 
и 
То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.
Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, 
и 
– это ведь два разных вектора.
С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Перед вами ортонормированный базис 
трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы 
данного базиса попарно ортогональны: 
и 
. Ось 
наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методичкиГрафики и свойства функций.
Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: 
(красная стрелка), 
(зеленая стрелка) и 
(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: 
. Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).
Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».
Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: 
либо 
.
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.
А мы переходим к практической части: